数学思维方法复习资料

1.思维的概念：思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反应

特征：方向性、概括性和间接性（P2）

2.数学思维的概念：一般地说，数学思维就是数学活动中的思维。更确切地说，数学思维是人脑在数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。（P4）

特征：高度抽象性、形式化的严谨性和表现方式的多样性（P7）

3.数学思维方法的概念：是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。数学思维方法具有一般科学的方的特征，作为特定的数学形式，它又有着自身的特殊形式。（P8）

4.现代数学教育中，数学思维的教学有如下三个方面的意义：(p21)

①数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。

②数学思维的教学可以使人们在处理问题时迅速抓住事物本质，从而找到解决问题的办法。

③数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。

5.空间几何思维方法与代数思维方法的结合，对数学的发展起到了巨大的（推动作用）。

P34

6.变量数学思维的意义①变量数学的确立，使人们对世界的思考由对静止物体的数学思维发展到对运动物体的数学思维②变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用。③无限的观念、无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了提高。

7.中国古代数学的思维方法对我们今天的数学教育，尤其是对今天的初等数学教学有着极大的（借鉴意义）。P55①唯理性的追求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式；②直观性、实用性是初等数学的重要特征；③筹算运演性工具性特征的启示。

8.数学中的逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑（P61）

9.数学中的非逻辑思维类型：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象（P78）

10.创造性思维在数学中的表现一般具有如下四个特点：（P97）①创见性、新颖性是创造性思维的主要标志。②发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式。③积极地创造性想象与现实统一是创造思维的重要环节。④专注与灵感是创造性思维的重要特点。

11.模型方法的概念：模型是指人们为某种特定的目标而对认识对象进行的一种形象描述，我们通常把这种建立或构造模型的过程称之为模型方法。（P184）

数学模型方法是模型方法的一种特殊形态，是在数学范围及意义上提出来的一种模型化方法。

12.模型方法的意义：（ P185）①模型方法是一种特殊的有效的思维方法。②模型方

法有助于人类深入地认识宏观和微观世界。③模型方法提供了使思维定量化、形式化和科学化发展的具体措施。④模型方法促进了模拟、类比方法的现代化。

13.数学模型构建的步骤：①掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。②确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的实质。③建立数学模型。④对数学模型进行运演和检验。

14.对于中小学数学模型方法的教学，我们应当注意以下几点：①通过对数学模型的构造能够深入地认识和理解数学的本质特征。②运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力。③引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题。

15.化归法的运用（P218）化归法是一种间接解决问题的方法，它在数学中的关键作用在于转化，即把要解决或未解决的数学问题通过变形、分割、映射等方式，使其归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去。注意以下三方面的问题：①化归法的核心思想。②好化归的方向及目标。③归法中的局限性。

16.作为数学方法的学习与教学，许多相关的数学方的著作中越来越关注逐次渐进（有的学者也称之为逐步逼近方法）的方法。应当注意的是，与前几章具体讲授公理化方法、模型法、化归法的内容不同，逐次渐进方法不是一个具体的有明确步骤的操作过程，它表现的是一种运用其他数学方法（如公理化方法、模型法、化归法等）按照逐次渐进的思维模式，从问题的条件、问题的解决程序、问题的结论等不同方面，化难为易、化繁为简、缩小范畴、选定特殊状态等方面逐次逼近地解决问题。正是由于这种方向性的思维特征，有的学者也把它称之为逐次渐进原则。从数学思维的层面，我们可以把它看作是一个重要的数学思维方法。（P253）

17.分析法的概念：分析法是把研究对象分解成各个组成部分、各个不同的因素、各个不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而深刻地认识和理解事物的一种方法。(P283)

18.综合法的概念：综合法是把研究对象的各个部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑，从而在整体上认识和掌握事物的本质和规律的一种思维方法。（P287）

19.演绎法在数学、初等教育中的作用（P299）

演绎法是指演绎推理的方法，即从一般原理推出个别结论的逻辑方法。

法是数学论证表述的基本方法，这种方法在中小学的数学中也有明显的体现。小学数学只在有关逻辑推理中运用一点演绎法的形式，但在中学数学中，演绎法可谓一统天下，无论是教材的编排，还是教师的课堂教学，直至学生的解题过程，都在运用演绎法。这些现象表明：①绎法是数学中的一个重要方法，无论是数学的学习、教学都应当高度重视它。

②确处理好演绎法的教学方式，使学生可以比较容易地学习和运用演绎法。

20.数学建模的基本方法和步骤（P319）方法：机理分析法、测试分析法

步骤：①模型准备（问题分析）；②模型假设；③模型建立；④模型求解；⑤模型仿真分析

⑥模型检验与应用；⑦写报告作结论

21.数学建模与列方程解应用题的差异：（P326）

①列方程解应用题是经过数学教师加工提炼出来的，问题比较明确，问题中给出的条件一般是充分的。而数学建模的问题一般是来自于实际，问题中的条件往往是不充分的，有时甚至要求同学自己动手来收集数据，才能完成对问题的解答。②数学建模过程中，为使问题更加明确或便于解决，需要对问题作出必要的简化与假设。而列方程解应用题一般不需要这个步骤。③数学模型的讨论与验证，要比列方程解应用题中的验证复杂得多。数学建模不仅要验证是否有增根或不合题意的根，而且还要考察它们与假设是否矛盾，与实际情况是否吻合等。④列方程解应用题只要求写出答案，而数学建模则要以对实践问题的解决程度、使用数学理论的合理程度、运用数学方法的准确程度等方面作为验证的标准，同时要以一篇论文形式作为解答的完成。

22.关于数学思维方法研究与教学的几点启示：（P378）①数学文化的研究拓宽了数学思维方法研究的领域。②数学文化的研究表明，由于中西数学价值观的差异，中西数学思维方法在其文化系统中的作用是不相同的。③数学文化中数学价值观的研究表明，一个民族的数学价值观的改变要经过很长时间的历史演变。

23.数学美及其分类（P384）①数学美的存在 ②数学美的感受与反映③数学美的创造与追求

分类：结构美、语言美、 方法美

24.数学美的特征（P386） 简洁性、统一性、对称性、整齐性、奇异性和思辨性。

25.审美教育与中小学数学的关系①数学活动就是一种心智的运动，它自身就带有理性审美的要求。数学教育尤其是中小学数学教育应当把它明示出来，使人们以带有艺术的审美观念看待、理解和运用数学。②数学教育的目的之一，就是让学生对数学的活动有兴趣、

有爱好，有一种发自内心的对数学的自信力和创造力。