控制测量概述及坐标计算

一 控制测量概述

根据测量工作的基本原则，测绘地形图或工程放样，

都必须先在整体范围内进行控制测量，然后在控制测量的基础上进行碎部测量或施工放样。因此控制测量的目的就是为地形图测绘和各种工程测量提供控制基础和起算基准，其实质是测定具有较高精度的平面坐标和高程的点位，这些点称为控制点。控制测量提供了控制点的精确位置，并以控制点的位置来确定碎部点的位置。测定地物地貌特征点位置的工作称为碎部测量。

控制测量分为平面控制测量和高程控制测量。平面控制测量的任务是在某地区或全国范围内布设平面控制网，精密测定控制点的平面位置。高程控制测量的任务是在某地区或全国范围内布设高程控制网，精密测定控制点的高程

一、国家控制测量

国家测绘部门按照逐级控制逐级加密的原则，在全国范围内布设了一系列控制点，由这些控制点组成全国统一的控制网，用最精密的仪器和最严密的方法测定其坐标和高程构成骨架，而后，先急后缓，分期分区逐级布设低一级控制网。

国家平面控制网建立的主要方法有三角测量、精密导线测量及GPS定位测量。

三角测量是将相邻控制点连接成三角形，组成网状，称

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平面三角控制网，三角形的顶点称为三角点，如图形5—1（a）所示。在平面三角控制网中，量出一条边的长度，测出各三角形的内角，然后用三角学中的正弦定理逐一推算出各三角形的边长，再根据起始点的坐标和起始边方位角以及各边的边长，推算出各控制点的平面坐标，这种测量方法称为三角测量。

精密导线测量是将一系列相邻控制点连成折线，如图形5—1（b）所示。采用精密仪器测角并用测距仪测距，然后根据已知坐标和坐标方位角精确地计算出各点的平面位置，这种测量称为精密导线测量。精密导线已成为国家高级网的布设形式之一，因为它比三角测量方便、迅速、灵活。

GPS定位是卫星全球定位系统的简称。GPS定位测量具有高精度、全天候、高效率、多功能、操作简便的特点，可同时精确测定点的三维坐标（X，Y，H），与常规控制测量（三角测量、三边测量、导线测量）相比，有许多优点。目前，经典的平面控制测量正逐渐被GPS定位测量所取代。

（a） (b)

图5—1 三角网与导线

国家控制网根据它的精度不同，分为一、二、三、四等。一等三角网为条带形的锁状，

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称一等三角锁，沿着经纬线方向纵横交叉地布满全国，形成统一的骨干控制网。在一等锁环内逐级布测二、三、四等三角网。一等三角网的精度最高，除作低等级的平面控制外，还为研究地球形状和大小以及人造卫星的发射等科研问题提供资料；二等三角网作为三、四等三角测量的基础；三、四等三角网是测图时加密控制点和其他工程测量之基础。各点均埋设有标石，竖立觇标。这些控制点将长期保存，作为全国一切测量工作的基本依据。

新中国成立后，我国的测绘工作者通过艰苦奋斗，按照中华人民共和国大地测量法式和规范，在全国布测了一、二等三角点和导线点约五万个；根据地形测图和工程测量的需要，在一、二等网内加密了数以万计的三、四等三角点。在我国幅员辽阔的土地上，已经形成了一个以三角网和精密导线网混合组成的高精度的平面控制体系。1982年我国测绘工作者采用了大型电子计算机计算全国大地控制网，将一百多万个原始数据输入计算机，解算了三十一万个矛盾方程组，解出了十六万个未知数，从而完成了五万个三角点和导线点的大地平面坐标计算任务。其计算规模之大不仅在我国前所未有，在国际上也实属罕见。这些控制测量成果在我国四个现代化的建设中，起着十分重要的作用。

国家高程控制网是用水准测量方法建立的，所以又称为国家水准网。国家水准网按控制次序和施测精度分为一、二、三、四等，其中一、二等构成全国高程控制的骨干，三、四等直接为测图和工程提供高程控制点。

一等水准网：沿地质构造稳定、交通不太繁忙、地势平缓的交通路线布设构成网状，环线周长1000～2000㎞，视地形条件而定。

二等水准网：是国家高程控制的全面基础，在一等水准环内沿主要公路、铁路及河流布设，环线周长500～750㎞。

三、四等水准网：在高等水准环内进一步加密。三等水准网布设成附合路线，并尽量交叉，环线长不超过300㎞，单独的附合路线不超过200㎞。四等水准一般以附合路线形式

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布设在高等水准点之间，附合路线长不超过80㎞。

二、矿区控制测量概述

在一个矿区内，当国家控制点较少时，为了满足地质勘探、矿井建设和生产的需要，应根据矿区范围的大小，顾及发展远景，在国家控制点的基础上，加密矿区首级控制网，网中的控制点也要埋石造标，永久保存。控制点的测算成果是矿区一切测量工作的基本依据。

矿区控制网的主要作用，在于保证矿区开发的各个阶段中所进行的地形测图和工程测量的需要。例如在地质勘探阶段，需要测绘比例尺为1：5000或者1：10000的地形图；在矿井设计、施工和生产阶段，需要测绘1：500～1：5000的地形图。而且各个阶段有许多工程需要进行施工测量，例如钻孔位置的标定，矿区内的公路、铁路、输电线测量，井口定位、工业广场的布置以及两井间的巷道贯通等等，都要以矿区控制网为依据。

我国矿区进行的大量的平面控制测量工作，都是严格按照国家有关规范测设的，例如《1：1000 1：2000 1：5000比例尺地形测量规范》、《工程测量规范》、《城市测量规范》等等。这些都是建立矿区测量控制网的重要技术文件。表5-1是矿区平面控制测量的主要技术规格与精度要求。

表5-1 平面控制测量的主要技术规格与精度要求 等 级 平均 边长 KM 三 四 5\" 10\" 测 角 最弱边的 测 回 数 J1 J2 J6 三角形最大闭合差 \" 9 6 12 9 3 6 7 9 15 中误差 相对中误差 （\"） 1/80000 1/50000 1/20000 5～8 1.6 2～5 2.5 0.8～2 5 4 / 17

0.5～1 10 1/10000 2 3 30

目前，各地小煤矿发展较快。那些面积小于10平方公里的小矿区，由于附近缺少国家控制点，又缺少原始测量资料，联测比较困难。遇到这种情况时，参照表5-1测设的5″或10″小三角作为矿区首级平面控制网（参见第一章第一节）。采用平面直角坐标系统，合理选择坐标原点，将测区置于第一象限内，避免X，Y值出现负数。可假定网中某点的起算坐标精确测量出网中三角形某边的磁方位角作为起算方位角，该边的磁北方向即为坐标纵轴方向。这样布测的小矿区首级控制网是小矿区一切测量工作的基本依据。

矿区基本高程控制应在国家等级水准点的基础上建立。一般来说，大矿区应测设三等水准作为基本高程控制，中等矿区应测设四等水准，小矿区可用等外水准作为基本高程控制。由于矿区需要测绘大比例尺的地形图，以及要进行井上、下各种工程建筑物的定位和施工放样工作，因此，作为矿区基本高程控制的水准路线长度应予适当缩短，以加大水准点的密度，保证各种高程测量的精度。矿区各级水准路线的布设长度，一般不应超过表5-2的规定。

三、图根控制测量概述

直接用于测绘地形图的控制点称为图根控制点，简称图根点。对图根点进行的平面测 表5-2 矿区各级水准路线的布设要求 等 级 闭合环线周长与高级点间路线长km 结点间路线长 km 支线长 km 5 / 17

三 等 水 准 四 等 水 准 等 外 水 准 60 25 10 35 15 6 15 10 4 量和高程测量称为图根控制测量，其任务是通过测量和计算，得到各点的平面坐标和高程，并将这些点精确地展绘在有坐标方格网的图纸上，作为测图控制。

测图平面控制网（或称图根网）是在国家三、四等三角点或矿区首级控制点的基础之上加密测设的。这些高等级点的分布密度比较稀，不能满足测图的要求。以四等三角点为例，相邻两点间的距离通常为2～5Km，而地形图要求两图根点的平均距离对1：5000的比例尺来说应不大于500m，对1：2000的比例尺应不大于350m，对1；1000的比例尺应不大于170m，对1；500 的比例尺应不大于100m，因此需要在等级控制网以下进一步加密，建立等级更低的控制。加密图根控制点的主要方法有小三角测量、导线测量，其次是交会定点。目前多数测绘单位已用GPS测量代替图根控制测量。

图根高程控制测量是以三、四等水准网作为基本高程控制，其下布设等外水准和三角高程网即可作为小测区的首级控制，又可作为测图控制。等外水准测量和三角高程测量的精度施测要求见本书第三章。

二 计算坐标与坐标方位角的基本公式

控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式。

一、坐标正算和坐标反算公式 1．坐标正算

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根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。

如图5—5所示，已知A点的坐标为xA、yA，A到B的边长和坐标方位角分别为SAB和AB，则待定点B的坐标为

xBxAxAByByAyAB ｝ （5—1）

式中 xAB 、yAB——坐标增量。

由图5—5可知

式中 SAB——水平边长；

xABSABcosAByABSABsinAB ｝ （5—2）

AB——坐标方位角。

将式（5-2）代入式（5-1），则有

xBxASABcosAByByASABsinAB ｝ （5—3）

当A点的坐标xA、yA和边长SAB及其坐标方位角AB为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B的坐标。式（5—2）是计算坐标增量的基本公式，式（5—3）是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式。

从图5—5可以看出xAB是边长SAB在x轴上的投影长度，yAB是边长SAB在y轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A量到B得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种 情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5—6所示。从式（5—2）知，由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3。

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图5—5 坐标计算 图5—6 坐标增量符号 表5—3 坐标增量符号表

坐标方位角 （°） 0～90 90～180 180～270 270～360 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 所在象限 坐标增量的正负号 ⊿x ＋ － － ＋ ⊿y ＋ ＋ － － 例1 已知A点坐标xA=100.00m，yA=300.10m；边长sAB=100m，方位角AB=330°。求B点的坐标xB、yB。

解：根据公式（5—3）有

xBxAsABcosAB100100cos330186.1myByAsABsinAB300.1100sin330249.6m

2、坐标反算

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由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长，这种计算称为坐标反算。

由式（5—1）有

xABxBxAyAByByA ｝ （5—4）

该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5—5中xAB 表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量； yAB表示由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。

在图5—5中如果A点到B点的坐标已知，需要计算AB边的坐标方位角AB和边长时

SAB，

则有

tanABSAByByAyABxBxAxAB

xAByAB ｝ (5—5)

cosABsinAB或 SABxAB2yAB2

公式（5—5）称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（5—5）中第一式计算的角是象限角R，应根据⊿x、⊿y的正负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式（5—5）中的第一式还可表示为：

RABarctanyByAyarctanAB

xBxAxAB例2．已知xA=300m, yA=500m,xB=500m,yB=300m,求A、B二点连线的坐标方位角AB和边长SAB。

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解：由公式（5-5）有

RABarctanyByA300500arctanarctan(1)

xBxA500300因为xAB为正 、yAB为负，直线AB位于第四象限。所以RABNW45 根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得：

AB36045315

AB边长为：

SAB(xBxA)2(yByA)2(500300)2(300500)2282.8m

坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式，应用十分广泛。 在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。

二、坐标方位角的推算公式

由公式（5-2）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素，其中边长是 在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。

如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧的角称为右观测角，简称右角。

1.观测左角时的坐标方位角计算公式

在图5—7与5—8中，已知AB边的方位角为AB，左为左观测角，需要求得BC边的方位角BC。左是外业观测得到的水平角，从图上可以看出已知方位角AB与左观测角

左之和有两种情况：即大于180°或小于180°。图5—7中为大于180°的情况，图5—8

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中为小于180°的情况。

图5—7坐标方位角推算 图5—8坐标方位角推算 从图5—7可知，BC边的坐标方位角为

BCAB左180

从图5—8可知，BC边的坐标方位角为

BCAB左180

综上所述两式则有

前后左180 （5—6）

式（5-6）是按照边的前进方向，根据后一条边的已知方位角计算前一条边方位角的基本公式。公式说明：导线前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观测角，其和大于180°时应减去180°，小于180°时应加上180°。

2.观测右角时的坐标方位角计算公式 从图5-7 或图5-8可以看出

左360右

将该式代入式(5- 6),得

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前(后右180)360

当方位角大于360°时，应减去360°，方向不变。所以上式变为

前后右180 （5—7）

上式说明：导线中，前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角减去右观测角， 其差大于180°时应减去180°，小于180°时应加上180°。

使用式（5-6）与(5-7)时，还应注意相应两条边的前进方向必须一致，计算结果大于360°时，则应减去360°，方向不变。

例3 图5-9 为一条支导线，已知A点的坐标方位角BA =101°28´,导线A点的左观测角左 =108°32´，M点的右观测角 右 =75°。试推算坐标方位角 AM、MN。

图5—9 支导线 解 ：由式（5-6）得

AMBA左180

AM10128'10832'18030

则有 由式（5-7）得

MNAM右180

则有 MN3075180135

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利用多面体的顶点坐标计算多边形面积

南海区大沥高级中学 江福松 2006年6

月26日

在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，经常会遇到需要求某个多边形的面积或多面体的体积问题。但是有时题目给的却是多面体或多边形的顶点的坐标。尤其是三维空间坐标。计算其面积时会比较麻烦。下面利用多面体的顶点坐标利用向量方法推导多边形的面积。 一、平面直角坐标系中坐标求面积公式的推导：

（1） 三角形面积：

设三角形ABC的三个顶点坐标分别是（x1,y1）,(x2,y2),(x3,y3) A则AB(x2x1,y2y1),AC(x3x1,y3y1)。 令x2-x1=m, y2 -y1=n ； x3-x1=p, y3 -y1=q则

AB(m,n)，AC(p,q)

设AB，AC夹角为，则三角形ABC的面积为： S= =

BC11|AB||AC|sin=|AB||AC|1cos2 22(m,n)(p,q)1)2 |AB||AC|1(2m2n2p2q2 =

12m2n2p2q21((m,n)(p,q)m2n2p2q2)2

121 =2 =

(m2n2)(p2q2)(mpnq)2 (mqnp)2=|mqnp|

(2)平行四边形ABCD面积：（可以看作两个相等三角形面积之和） S=SABDSBCD=2SABD=|mqnp|

同理，对梯形，五边形，六边形等平面图形，都可以将它们转化为求三角形面积进行求解。

二、空间直角坐标系中用坐标求面积公式的推导：

在空间直角坐标系中由三角形ABC的三个顶点坐标分别求得（x1,y1, z1）,(x2,y2, z2),(x3,y3, z3).

AB=（m,n,e），AC=(p,q,f)

则三角形ABC的面积为： S=

11|AB||AC|sin=|AB||AC|1cos2 2214 / 17

=

(m,n,e)(p,q,f)1)2 |AB||AC|1(2m2n2e2p2q2f2=

12 =

m2n2e2p2q2f2121 =21((m,n,e)(p,q,f)m2n2e2p2q2f2)2

(m2n2e2)(p2q2f2)(mpnqef)2 (mqnp)2(mfep)2(nfep)2

与求平面图形面积一样可以求出四边形，五边形，六边形面积等。 或者可以这样记法：

若AB=（x1,y1,z1），AC=(x2,y2,z2) 则三角形ABC的面积为 S=

12(x1y2x2y1)2(x1z2x2z1)2(y1z2y2z1)2

公式中三组数的平方对应如下： （

(

二、例题应用：

例1（二维空间面积的求法）：已知平行四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是：A（1，2），B（3，4），C（4，7），D（2，5）。求平行四边形ABCD的面积。 解：由已知：

x1,y1,z1） （x1,y1,z1） （x1,y1,z1）

x2,y2,z2) (x2,y2,z2) (x2,y2,z2)

AB=（2，2） AD=(1，3)

所以，平行四边形ABCD的面积：

S=SABDSBCD=2SABD=|mqnp|=|2321|=4

例2（三维空间面积的求法）：在空间直角坐标系中，已知三角形ABC的坐标分别是A（2，1，3），B（3，1，-2），C（5，2，4）求三角形ABC的面积。 解：由已知：

AB=（1，0，-5 ）， AC=(3，1，1 )

所以，三角形ABC的面积为：

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1(x1y2x2y1)2(x1z2x2z1)2(y1z2y2z1)2 21 = (1103)2(11(5)3)2(01(5)1)2

21282 =2例3：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA底面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=4，BCAB，ADAB，点M，N分别是PD，PC的中点。求四棱锥P-AMN的

S=

体积。

分析：建立空间直角坐标系如图： 易知，各点的坐标如下： M（0，2，1），N（1，1，1），A（0，0，0），P（0，0，4） 如果要求四棱锥P-AMN的体积，关键是要求出：

1、 其中一个底面的面积。2、该底面对应的顶点到底面的距离。

当多边形的底面不是特殊的规则图形（如直角三角形、等边三角形、平行四边形梯形等等）时求面积可能就不是那么容易。但是如果用三角形的空间坐标公式，就不用考虑图形的具体情况了，我们要的只是三角形的顶点坐标而已。 P(0,0,4) 对于三角形ANM，显然：

AM=（0，2，1）， AN=(1，1，1 )

三角形AMN的面积： S=

M(0,2,1)N(1,1,1)D(0,4,0)A(0,0,0)BC(2,2,0)1(x1y2x2y1)2(x1z2x2z1)2(y1z2y2z1)2 21 = (1210)2(1112)2(1110)2

2 =6

而点P到面AMN的距离可以用法向量方法求解： 设面AMN的法向量为n=（x,y,z）。则有：

(x,y,z)•(0,2,1)0xyz0n•AM0 即 从而 令y=1,则z= -2, x = 1,(x,y,z)•(1,1,1)02yz0n•AN0所以：n=（1, 1, -2） .

所以点P到面AMN的距离

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d=

|AP•n||(0,0,2)•(1,1,2)|26==

36|n|

由锥体的体积公式得：

1124VSh66

3333

特别地，对于一些不规则的多边形或非特殊形状的多边形，如果能求出它们的各个顶点的坐标，利用多面体的顶点坐标计算多边形面积，可以避免许多比较复杂的常规运算。多面体的顶点坐标计算多边形面积的公式的运用可以将复杂的问题简单化。

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