韦达定理的应用

韦达定理及其应用

【趣题引路】

韦达，10年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

ab2b212004

已知：①a+2a-1=0,②b-2b-1=0且1-ab≠0,求()的值。

a2

4

2

2

解析 由①知1+2 即(

11-=0, aa2121)-2·-1 =0,③ aa 由②知(b2)2-2b2-1=0,④

12

,b为一元二次方程x2-2x-1=0的两根. a112

由韦达定理,得 +b2=2, ·b=-1.

aa ∴

ab2b2112b22004

∴=[(+b)+ ]=(2-1)2004=1.

aaa点评

本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.

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一、

知识要点

1、若一元二次方程ax2bxc0a0中，两根为x1，x2。则x1x2b， ax1x2c，；补充公式x1x2 aa2、以x1，x2为两根的方程为x2x1x2xx1x20 3、用韦达定理分解因式axbxcax22bcxaxx1xx2 aa【知识延伸】

例1 已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7 解析 设方程的两实根为x1,x2,根据韦达定理,有

1,求a的值. 4axx,122 

2a1xx.12222 于是,xx1=(x1+x2)2-2x1·x2 x2 =(- =

a22a1)-2· 221（a2+8a-4） 411依题设,得(a2+8a-4)=7.

44解得a=-11或3.

注意到x1,x2•为方程的两个实数根, 则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0; a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0, 故a=3. 点评

韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足△≥0这一前提条件.

例2 已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,•方程的两个根一个

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大于1,另一个小于1.

解析 (1)据题意知,m应当满足条件

4m24(m2)0, 

x1x2m20. 即 ①② (m1)(m1)0,

m2. 由①,得m>2或m<-1, ∴m<-2.

(2)m应当满足的条件是

4m24(m2)0, x1x22m0,

xxm20.12m2或m1, 即m0,

m2. ∴-24m24(m2)0, (3)m应当满足的条件是

(x11)(x21)0. 即m2或m1,

m2(2m)10. ∴m2或m1,

m1. ∴m<-1. 点评

若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.

【好题妙解】

佳题新题品味

例 已知△ABC的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b为正整数,若a2+b2+c2=84,求b的值.

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解析 依题设,有

a+c=2b, ① a2+b2+c2=84. ②

②可变为(a+c)+2-2ac=84-b2, ③

5b284 ①代入③,得 ac=, ④

25b284 ∴a、c是关于x的一元二次方程x-2bx+=0的两个不相等的正实数根.

22

5b28424b40,2  25b840.2 即16又b为正整数,故b=5. 点评

韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-

bc，x1·x2=,那么x1·x2•是一元二次方程aaax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84•转变为

5b284ac=,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.

2

中考真题欣赏

例1 (2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,求以y1，y2为根的一元二次方程.

解析 ∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △=(4b)2-4×4×7b=0, 即b2-7b=0. ∴b1=0,b2=7.

当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解.

当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=4,y2=1.

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则y1+y2=3，y1·y2=2 y1，y2为根的一元二次方程为y2-3y+2=0.

∴ 以点评

本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.

例2 (2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;•若不能同号,请说明理由.

解析 ∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根, ∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0, ∴m≤

1. 212 m4 又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根. ∴x1+x2=-(m-1),x1·x2=

假设x1,x2同号,则有两种可能: ①若x1>0,x2>0,则

(m1)0,x1x20,  即12

m0.x1x20.4 ∴m<1且m≠0,此时,m≤ ②若x1<0,x2<0则有

1且m≠0; 2(m1)0,x1x20, 即12

m0.x1x20.4 而m≤

1时方程才有实数根, 21且m≠0时,方程的两实根同号. 2 ∴ 此种情况不可能.

综上所述,当m的取值范围为m≤

点评

存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.

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竞赛样题展示

例 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k值:使关于x•的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.

解析 (1)当k=0时,方程为x-1=0,有整数根1;

(2)当k≠0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x1,x2,则

k11xx1,12kk 

k11xx1.12kk 由①-②,得x1+x2-x1·x2=-2, 即(x1-1)(x2-1)=3. ∵x1,x2为整数, ∴② ① x111,x111,x113,x113,或或或

x213,x213,x211,x211.x12,x10,x14,x12, 解得或或或

x4,x2,x2,x0.2222 代入①得k= -

1或k=1. 71,k=1时都大于0. 7 又∵△=(k+1)2-4k(k-1)=-3k2+6k+1,当k= - ∴满足条件的k值为k=0或k= -

1或k=1. 7点评

注意到方程二次项系数是参变数k所以方程可能是一次方程,也可能是二次方程应分别讨论.求参数时,通常由根与系数的关系列出关于k的式子,消去k,然后因式分解及因数分解求出整数根,从而求参数k.

全能训练

A卷

1.已知方程x2+3x+m=0的两根之差为5,求m的值.

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2.已知x1,x2是方程3x2-mx-2=0的两个根,且

1133+=3,求x1的值. x2x1x2

3.已知方程x2-4x+2-k2=0,且k≠0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根大于1,另一根小于1.

4.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多1.

5.关于x的方程x2-4nx-3n-1=0 ①,x2-(2n+3)x-8n2+2=0 ②,若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根,求n的值.

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6.若a2+11a+16=0,b2+11b+16=0,求

A卷答案 1.-4 2.-12

∵x1、x2为方程3x2-mx-2=0的两根,∴x1+x2= 而

ba-. abm2,x1·x2=- 3311+=3,∴m=-6. x1x2 因此x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[(x=1+x2)2-3x1x2]=-12. 3.(1)∵△=(-4)2-4(2-k2)=4k2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根; (2)(x1-1)(x2-1)=x1·x2(x1+x2)+1=2-k2-4+1=-k2-1<0, ∴x1-1,x2-1中必有一个正数,一个负数. 即x1,x2中必有一个大于1,另一个小于1. 4.9y2-40y+40=0.

设方程3x2+2x-3=0的根为x1,x2,所求方程的根为y1,y2,而x1+x2=- ∴y1+y2=(x12+1)+(x22+1) =(x1+x2)2-2x1x2+2 =(-

2,x1·x2=-1, 32240)-2×(-1)+2= 39y1·y2=(x12+1)(x22+1)

=(x1·x2)2+(x12+x22)+1

=(x1·x2)+(x1+x2)2-2x1x2+1=

40 9- 8 -

∴所求方程为y2-

4040y+=0, 99即9y2-40y+40=0.

5.0.提示:设方程①的两根为x1,x2,则x1+x2=4n,x1·x2=-3n-1. ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(4n)2-2(-3n-1) =16n2+6n+2.

解方程②得x1=4n+2,x2=1-2n.

(1)当16n2+6n+2=4n+2时,n1=0,n2=-把n1=0,代入x1=4n+2,得x1=2; 把n2=-∴n=-

1, 813 代入x1=4n+2,得x1=不是整数, 821舍去; 8(2)当16n2+6n+2=1-2n时,n1=n2=-把n=-

1. 413代入x2=1-2n,得x2=不是整数, 421∴n=-舍去.

4 当n=0时,方程①的△1=4>0, ∴n的值为0. 6.0或57. 4 (1)当a=b时,

ba-=1-1=0;

ab(2)当a≠b时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根， 从而有ab11,

ab16.1ba1=(b-a)=±

4ab4(ab)24ab=±原式＝14121=±57. 4B卷

1.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求

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2+3β2的值.

2.已知两数之积ab≠1,且2a2+12234 567 0a+3=0,3b2+1234 567 0b+2=0,求

223.已知x1,x2是方程x2-2(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两实根,求x1的最小值. x2a. b

4.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,•求实数m的取值范围.

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5.若方程(x2-1)(x2-4)=k有四个非零实根,•且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k值.

6.已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.

B卷答案 1.

1(403-8517). 8由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17, 又α>β,故α-β=17.

令A=

2+3β2,B=

2+3α2,则

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A+B=

2+

2-

+3(α2+β2) =

2() +3(α2+β2)=

27403+3×33=, ① 84A- B==

22+3β2 -3α2=

2()+3(β-α)(β+α)

=(β-α)[

228517+3(β+α)]=- 17(+3×7)=- . ②

841(403-8517). 8 ①,②两式相加,得A=2.

3. 2设1 234 567 0=m,则有2a2+ma+3=0,3b2+mb+2=0,即2(又a≠

121)+m·+3=0 , bb1, b113a故a与是二次方程2x2+mx+3=0的两个不等实根,故=a·=.

bb2b4503. .由韦达定理得, 49x1+x2=2(k-2),x1·x2=k2+3k+5.

∴x12+•x22=•(•x1+•x2)2-2x1x2=4(k-2)2-2(k2+3k+5)=2(k-又△=4(k-2)2-4(k2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤-故只有k=-4.

112109)-

221, 71450时,x12+x22取最小值为. 7493•x3-x2

即1>(x3x2)=(x3x2)4x2x3=44m,解得m>

223. 4 又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴5.

3设x2=y,原方程变为y2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) , 则原方程的四个实根为±,±,

由于它们在数轴上等距排列,

-=-(-) 即β=9α,①

5又 4k由此求得k=

②③ 7且满足△=25+k-16>0. 46.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,

∴a、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根, 即为方程x2+(c+d)x+cd-•1=0的两个实根, ∴a+b=-(c+d),ab=cd-1. ∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2 =(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.

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