2019中考数学专题训练 第一章 数与式 第1讲 数与式

第一章 数 与 式

第1讲 实 数

3－

1. (2014，河北)若实数m，n满足|m－2|＋(n－2 014)2＝0，则m1＋n0＝( ).

2

13

【解析】 根据题意，知|m－2|＝0，(n－2 014)2＝0，∴m＝2，n＝2 014.∴m－1＋n0＝＋1＝.

22

2. (2016，河北)点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b.对于以下结b

论：甲：b－a<0；乙：a＋b>0；丙：|a|<|b|；丁：＞0.其中正确的是(C)

a

第2题图

A. 甲、乙 B. 丙、丁 C. 甲、丙 D. 乙、丁

b

【解析】 观察数轴，得b＜0，a＞0，|a|＜|b|，∴b－a＜0，a＋b＜0，＜0.∴甲、丙正确．

a

3. (2017，河北)下列运算结果为正数的是(A) A. (－3)2 B. (－3)÷2 C. 0×(－2 017) D. 2－3 【解析】 A. 原式＝9，符合题意．B. 原式＝－1.5，不符合题意．C. 原式＝0，不符合题意．D. 原式＝－1，不符合题意．

4. (2017，河北)如图所示的是张小亮的答卷，他的得分应是(B) 姓名：张小亮 得分： ？ 填空(每小题20分，共100分) ①－1的绝对值是 1 ． ②2的倒数是 －2 ． ③－2的相反数是 2 ． ④1的立方根是 1 ． ⑤－1和7的平均数是 3 ． A. 100分

B. 80分

第4题图 C. 60分

D. 40分

1

【解析】 －1的绝对值是1；2的倒数是；－2的相反数是2；1的立方根是1；－1和7

2的平均数是3，只有②错误．故小亮得了80分．

5. (2018，河北)一个整数81 555 0…0用科学记数法表示为8.155 5×1010，则原数中“0”的个数为(B)

A. 4 B. 6 C. 7 D. 10

【解析】 原数为81 555 000 000，所以有6个“0”．

1

实数的分类

例1(2018，秦皇岛海港区模拟)下列各数是无理数的是(A) A. π

1 B. －

3

C. 4

D. －1

1

【解析】 －，4＝2，－1都是有理数；π是无理数.

31

针对训练1 (2018，广州)四个数0，1，2，中的无理数是(A)

2A. 2

B. 1

1

C. 2

D. 0

1

【解析】 0，1，都是有理数；2是无理数.

2

实数的有关概念

例2 (2015，河北)下列说法正确的是(A) A. 1的相反数是－1 B. 1的倒数是－1 C. 1的立方根是±1 D. －1是无理数

【解析】 1的相反数是－1，选项A正确.1的倒数是1，选项B错误.1的立方根是1，选项C错误. －1是有理数，选项D错误.

针对训练2 (2018，重庆B)下列命题是真命题的是(A)

A. 如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0 B. 如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0

D. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0

【解析】 相反数等于它本身的数是0；倒数等于它本身的数是1或－1；平方等于它本身的数是0或1；算术平方根等于它本身的数是0或1.

数轴

例3 (2018，北京)实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是(B)

例3题图

A. |a|＞4 B. c－b＞0 C. ac＞0 D. a＋c＞0

【解析】 从数轴上可以看出，a|a|＞|c|＞|b|，进而判断出选项A，C，D错误，

2

选项B正确.

针对训练3 (2018，石家庄43中三模)有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式中错误的是(C)

A. b＜a

B. |b|＞|a|

训练3题图 C. a＋b＞0

D. ab＜0

【解析】 从数轴上可以看出，b<0实数大小的比较

例4 (2018，保定竞秀区一模)下列四个数中，最大的数是(A) A. 2

B. 3

C. 0

D. －2

【解析】 2>3>0>－2.

针对训练4 (2018，海南)比较实数的大小：3 ＞ 5.(填“＞”“＜”或“＝”) 【解析】 3＝9>5.

数的开方

例5 (2018，广东)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝ 2 .

【解析】 根据一个正数的两个平方根互为相反数，得x＋1＋x－5＝0.解得x＝2. 针对训练5 (2018，恩施州)的立方根为(C) A. 8

B. －8

C. 4

D. －4

【解析】 ∵43＝，∴的立方根是4.

实数的运算

例6 (2018，菏泽)计算：－1

2 018

1＋2－|3－2|－2sin 60°.

－2

【思路分析】 利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质进行化简得出答案．

解：原式＝－1＋4－(2－3)－2× ＝－1＋4－2＋3－3

＝1

3

3 2

针对训练6 (2018，邵阳)计算：(－1)2＋(π－3.14)0－|2－2|.

【思路分析】 利用有理数乘方的法则、零指数幂的性质和绝对值的性质计算即可． 解：原式＝1＋1－(2－2) ＝2－2＋2 ＝2. 科学记数法

例7 (2018，黔西南州)据统计，近十年中国累计节能1 570 000万t标准煤，1 570 000这个数用科学记数法表示为(B)

A. 0.157×107 C. 1.57×107

B. 1.57×106

D. 1.57×108

【解析】 科学记数法前面的乘数只有一位非零整数，原数的整数位减1，就是10的指数. 针对训练7 (2018，恩施州)已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 823 m，将0.000 000 823用科学记数法表示为(B)

－－

A. 8.23×106 B. 8.23×107 C. 8.23×106

D. 8.23×107

【解析】 对于绝对值很小的数，用科学记数法表示时，10的指数是负整数，其绝对值是非0数字前的0的个数．

一、 选择题

1. (2018，义乌)如果向东走2 m记为＋2 m，那么向西走3 m可记为(C) A. ＋3 m

B. ＋2 m

C. －3 m

D. －2 m

【解析】 用正负数表示具有相反意义的量． 2. (2018，重庆B)下列四个数中，是正整数的是(D) A. －1

B. 0

1

C. 2

D. 1

1

【解析】 －1是负数，0既不是正数也不是负数，是分数，1是正整数．

23. (2018，聊城)下列实数中的无理数是(C)

3

－8

C.

－3 2

A. 1.21

B.

3

D.

22 7

4

【解析】 1.21＝1.1，

3

3

－8＝－2，－322

是无理数，是分数． 27

4. (2018，眉山)绝对值为1的实数共有(C) A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 4个

【解析】 绝对值为1的数是1和－1.

5. (2018，临安)如果a与－2互为相反数，那么a等于(B) A. －2

B. 2

1

C. －

2

1D. 2

【解析】 －2的相反数是2.

6. (2018，唐山丰南区二模)若实数m，n互为倒数，则下列等式中成立的是(B) A. m－n＝0 B. mn＝1 C. m＋n＝0 D. mn＝－1 【解析】 乘积等于1的两个数互为倒数．

7. (2018，枣庄，导学号52921)实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是(B)

A. |a|＞|b|

B. |ac|＝ac

第7题图

C. b＜d

D. c＋d＞0

【解析】 由数轴，可知aB. －1

C. 0

D. 2

【解析】 因为－2<－1<0<2，所以2最大． 9. (2018，凉山州)比1小2的数是(A) A. －1

B. －2

C. －3

D. 1

【解析】 1－2＝－1.

10. (2018，滨州)若数轴上点A，B分别表示数2，－2，则A，B两点之间的距离可表示为(B)

A. 2＋(－2)

B. 2－(－2) C. (－2)＋2 D. (－2)－2

【解析】 数轴上两点间的距离等于大数减小数(右边的数减左边的数)． 11. (2018，绵阳)(－2 018)0的值是(D) A. －2 018

B. 2 018 C. 0 D. 1

5

【解析】 非零实数的0次幂等于1.

12. (2018，北京)被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7 140 m2，则FAST的反射面总面积约为(C)

A. 7.14×103 m2 B. 7.14×104 m2

C. 2.5×105 m2 D. 2.5×106 m2

【解析】 7 140×35＝249 900＝2.499×105≈2.5×105(m2)．

二、 填空题

13. (2018，唐山丰南区一模，导学号52921)如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2

－10的立方根为 －2 .

第13题图

【解析】 由题意，得x＝－2.∴x2－10＝－8，－8的立方根是－2.

14. (2018，张家界)目前世界上能制造芯片的最小工艺水平是5 nm，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16 nm.已知1 nm＝109 m，用科学记数法将16 nm表示为 1.6×10－

－8

m.

【解析】 16 nm＝16×10－9 m，16×10－9＝1.6×10－8. 15. (2018，襄阳)计算：|1－2|＝ 2－1 . 【解析】 1－2是负数，其绝对值等于它的相反数．

16. (2018，黔西南州)如图所示的是洪涛同学的小测卷，他的得分应是 100 分．

姓名：洪涛 得分： ？ 填空(每小题25分，共100分) ①2的相反数是 －2 ． ②倒数等于它本身的数是 1和－1 ． ③－1的绝对值是 1 ． ④8的立方根是 2 ．

第16题图

【解析】 根据相反数的定义、倒数的定义、绝对值的性质及立方根的定义逐一判断即可．

三、 解答题

1－1

17. (2018，广东)计算：|－2|－2 0180＋2.

【思路分析】 直接利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质化简得出答案．

6

解：原式＝2－1＋2

＝3.

1

－1＋2－2. 18. (2018，枣庄)计算：|3－2|＋sin 60°－27－2【思路分析】 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、有理数的乘方和负整数指数幂的性质计算．

解：原式＝2－3＋

73

＝－. 2

19. (2018，石家庄长安区一模)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km 到达学校，最后又向东，跑回自己家．

(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；

第19题图

(2)求小彬家与学校之间的距离；

(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？

【思路分析】 (1)在数轴上，1个单位长度表示1 km，向右即向东，向左即向西，以小明家为原点，则小彬家为2，小红家为3.5，学校为－1.(2)数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数．(3)跑的路程不考虑方向，只将绝对值相加即可．

解：(1)如答图．

第19题答图

(2)小彬家与学校之间的距离是2－(－1)＝3(km)．

(3)2＋1.5＋4.5＋1＝9(km)，9 km＝9 000 m，9 000÷250＝36(min)． 所以小明跑步一共用了36 min.

1. (2018，秦皇岛海港区一模)如图，点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，且AB＝BC.若|a|＞|c|＞|b|，则原点O的位置应该在(C)

第1题图

A. 点A的左边 B. 点A与点B之间 C. 点B与点C之间，距离点B较近 D. 点C的右边

【解析】 ∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小．∵AB＝BC，∴原点O的位置是在点B，C之间且靠近点B的地方．

7

2

391

－33－＋ 244

2. (2018，石家庄质检，导学号52921)如图，数轴上的四个点A，B，C，D对应的数为整数，且AB＝BC＝CD＝1.若|a|＋|b|＝2，则原点的位置可能是(B)

A. A或B

B. B或C

第2题图 C. C或D

D. D或A

【解析】 ∵AB＝BC＝CD＝1，∴当点A为原点时，|a|＋|b|＞2，不符合题意；当点B为原点时，|a|＋|b|＝2，符合题意；当点C为原点时，|a|＋|b|＝2，符合题意；当点D为原点时，|a|＋|b|＞2，不符合题意．

3. (2018，义乌改编，导学号52921)某校建立了一个身份识别系统，下图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，

c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23＋b×22＋c×21＋d×20.如图所示的第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，则班级序号为0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是(B)

第3题图

A B C D 【解析】 根据班级序号的计算方法计算即可．

4. (2018，凉山州，导学号52921)我们常用的数是十进制数，如4 657＝4×103＋6×102

＋5×101＋7×100，数要用10个数码(又叫数字)：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1.如二进制中110＝1×22＋1×21＋0×20等于十进制的数6，110 101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20等于十进制的数53，那么二进制中的数101 011等于十进制中的哪个数？

【思路分析】 观察两个已知的式子，找出规律，按照规律进行计算． 解：101 011＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20

＝32＋0＋8＋0＋2＋1 ＝43.

8