沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第1讲 二次根式的概念及性质(解析版)

二次根式的概念及性质

内容分析

二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．

知识结构

模块一：二次根式的概念

知识精讲

1、二次根式的概念

（1）代数式a（a0）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数． （2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．

例题解析

【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （

）

x；x210x30；6x． 31.2；xy2；m2n2； A．2个

B．3个 C．4个 D．5个

x、6x不一定是二次 3【答案】B．

【解析】1.2、m2n2、x210x30是二次根式，xy2、 根式，当x0时就不是．

【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．

【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？

（1）x4；

（2）1； （3）x2y3； 1|x|（4）|x|1． 4【答案】（1）x4；（2）1x1；（3）y0；（4）x11或x．

44【解析】（1）由x40，得x4； （2）由1x0，得1x1； （3）由x2y30，得y0；（4）由x1110，得x或x． 444【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．

【例3】对于a下列说法中正确的是（

）

A． 对于任意实数a，它表示的是a的算术平方根 B． 对于任意的正实数a，它表示的是a的算术平方根 C． 对于任意的正实数a，它表示的是a的平方根 D． 对于任意的非负实数a，它表示的是a的算术平方根 【答案】D．

【解析】a(a0)表示a的算术平方根． 【总结】本题考查算术平方根的概念． 【例4】等式xx2xx2成立的条件是（）

A．

x0 B．x0 C．x2 D．x2 x2【答案】D．

【解析】由x0，x20，得x0，x2，∴x2．

【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．

【例5】求使下列二次根式有意义的实数x的取值范围．

1（1）1；

x （2）2x1． 1|x|【答案】（1）x1或x0；（2）x1且x1． 22x1011【解析】（1）由10，得x1或x0； （2）由，得x且x1．

x21x0【总结】二次根式有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．

【例6】实数x、y满足，y【答案】3．

【解析】由x30，3x0，得x3；∴yx3；∴y33333．

13x3x3x，求的值．

y【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零．

【例7】已知x2|x23y13|0，求(xy)2017的值． 【答案】1．

x20x2【解析】由题意得：2，解得：，∴(xy)2017(1)2017-1．

x3y130y3【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零．

【例8】如果代数式m( )

1mn有意义，那么在平面直角坐标系中P(m，n)的位置在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C． 【解析】

mn0，m0且n0，m0，m0．

又mn0， n0．故点P在第三象限． 【总结】二次根式的被开方数为非负数．

【例9】如果yx323x，求xy的值． 【答案】6．

【解析】∵x3，x3， x3，y2， xy6．

【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．

1【例10】 已知xy1z2(xyz)，求x、y、z的值．

2【答案】x1， y2，z3．

【解析】由题意得：2x2y12z2xyz， ∴x2xy2y1z2z20， 即 ∴x1， y2，z3．

【总结】本题主要考查利用配方将原式化为几个非负数和为零的形式． 【例11】 若ab23，bc23，求2(a2b2c2abbcac)的值． 【答案】30． 【解析】

x12y112 z210，

2ab23，bc23，ac4．

 原式=2a22b22c22ab2bc2ac =abbcac=23 =74374316 =30．

【总结】本题主要考查三项完全平方式的运用以及二次根式的计算．

【例12】 若z适合3x5y23z2x5y3zx2016y2016xy，

222223242

求z的值． 【难度】★★★ 【答案】3358． 【解析】 又

x2016y0， ∴xy2016．

2016xy0， xy2016， xy2016．

3x5y23z2x5y3z0．

x23x5y23z0（）1 即， 解得：y2014．

2x5y3z0（2）z3358 【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出xy2016，又考查当两个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零．

1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：

性质1：a2a(a0)； 性质2：(a)2a(a0)；

性质3：abab（a0，b0）；

abab模块二：二次根式的性质

知识精讲

性质4：（a0，b0）．

a(a0)2（2）a2与a的关系：aa0(a0)．

a(a0)

【例13】 计算下列各式的值：

（1）32； （5）(（2）(3)2；

例题解析

（3）(3)2； （4）(3)2；

12)； 5（6）x22x1(x0)．

1【答案】（1） 3； （2） 3； （3） -3； （4）3； （5）；（6）x1．

5【解析】根据二次根式性质2即可得出结果． 【总结】考查二次根式性质2的运用．

【例14】 化简：

（1）20a3(a0)； （3）a2b5c4(a0)；

（2）20a2b3；

（4）(ab)2b2（a0，b0）．

【答案】（1）2a5a；（2）2ab5b；（3） ab2c2b；（4）a． 【解析】（1）原式=4a25a2a5a； （2）原式=4a2b25b2ab5b； （3）原式=a2b4c4bab2c2b；

（4） a0，b0，ab0，原式=abba．

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【例15】 化简：

（1）(a21)2 ；

（2）(ab)2；

（4）(x2)2(x5)2(2x5)．

（3）2aa2(a0)；

abab0【答案】（1）a21；（2）0(ab0) ；（3）3a；（4）3．

abab0abab0【解析】（1）(a21)2a21； （2）(ab)2ab0(ab0)；

abab02 （3）2aa2aa3a； （4）(x2)2(x5)2x25x3．

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【例16】 化简：

（1）x22x1(x0)；

（2）x22x1x24x4(x2)2．． 1x0x1【答案】（1）； （2）x1．

x1x11x0x12x2x1x11【解析】（）； x1x1 （2）x20，x2．

∴原式=x1x2x2=x1x2x2x1．

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．

（1）3111（2）a；（3）2a；（4）(x1)． 8；2a1xa2【答案】（1）2； （2）a；（3）6a；（4）1x． 【解析】（1）

182； 211a2.a； aa33.4a26a； 2a2a112.1x1x． 1x1x（2）a（3）2a（4）(x1)【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发掘．

【例18】 化简：

（1）a3bc3(ab0，bc0)； （2）a42a2b2b4(ab0) 【答案】（1）acabc；（2）a2b2．

【解析】（1）原式=acabcacabcacabc； （2）原式=a2b2a2b2．

【总结】考查二次根式的化简，注意被开方出来的结果一定非负．

【例19】 已知x2y3x2y80，求(xy)x的值． 【答案】9．

x2y0x2【解析】由题意得：， ．

3x2y80y1 xy219．

【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零．

x2

【例20】 已知x、y是实数，且yx11x【答案】1．

【解析】由题意得：x1，y|1y|1y1；∴1．

y1y121|1y|，求的值． 2y1【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．

【例21】 已知1xx28x162x5，求x的取值范围． 【答案】1x4．

【解析】由题意得：1xx42x5；零点分段法分类讨论即可．

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【例22】 如果x3xy3x7成立，求xy的值． 【答案】30．

【解析】由题意得：x3，y10，∴xy30．

【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，再利用去绝对值的知识就可以解决．

x28x16【例23】 已知x23，求代数式2的值．

x5x4【答案】13． 22x4，又∵x28x16 【解析】∵2x23，∴x4234320．x5x4x4x1 ∴原式=

4x1113．

2x4x1x113【总结】考查二次根式的化简求值，注意被开方出来的结果一定非负．

【例24】 已知x213x10，求x4x4的个位数字． 【答案】7． 【解析】∵x1310， x2∴x113． x11 ∴x2x21322167，

xx211 ∴x4x22216722，

xx42 ∴个位数字为7．

【总结】本题考查了完全平方公式的变形及计算．

【例25】 （1）在△ABC中，a、b、c为三边，且满足a212a368b0，求最大

边c的取值范围；

（2）已知实数x、y，满足(xy)2与5x3y16互为相反数，求x2y2的平方根． 【答案】（1）8c14；（2）22．

【解析】（1）根据题意，即为a68b0，由此a60，8b0，解得：a6， b8，根据三角形三边关系，且c为最大边，可知bcab，即8c14． x2xy0（2）由题意得：(xy)25x3y160，∴，解得：，

y25x3y160 ∴x2y2822．

【总结】考查非负数相加和为零的模型，则这几个式子都为零，然后根据三角形三边关系即可确定取值范围．

【例26】 已知：r4，a的大小． 【答案】abc． 【解析】由题意得：a(

∴ab；

又∵

br1rr(rr1)r(r1r)r1， c1r1rr1rr111111，b，c，试比较a、b、crr1rr1r(rr1)1rr1rr11111∵r4， ∴1，

rr145)2(1)2(11)(1r1r1)，

∴bc， ∴abc．

【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

【例27】 已知1yb1b． ，求y26y5的值（结果用含b的式子表示）

1b2【答案】．

b【解析】∵1y1bb21bb， ∴1y1bb2，

2 ∴原式=y1y5y1y14=1bb1b4bb1bbb1b21b2． b【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

【例28】 化简：2a2b22aa2b2a22ba2b2(a2b0)．

【答案】ab． 【解析】原式= = =a2b22aa2b2a2a2b2b2 aba222abb222 a2b2aa2b2b，

又∵a2b0，∴原式=a2b2aa2b2b=ab．

【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

m44m38m28m24【例29】 已知：m=1465，求的值．

m26m7【答案】8．

【解析】由题意得：m35；∴m35，∴(m3)25，∴m26m4， 把m26m4代入原式，合并同类项得：原式=8．

【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

【习题1】 下列计算中正确的是（

A．(2)22 B．(22)22

）．

C．(22)22

随堂检测

11D．()2

42【答案】A．

【解析】根据二次根式性质1即可得出结果． 【总结】考查二次根式的性质1．

【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？

（1）4； （4）

（2）a1；

（3）a2；

1； a21（5）x22x3；

（6）x22x(x0)．

【答案】（1）是； （2）不是 ； （3）是； （4）是； （5）是；（6）是．

【解析】二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．

【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？

1 （1）43x； （2）；

2a1

（4）

（3）a2； （6）x． x121； 43x

（5）x22x；

【答案】（1）x414；（2）a； （3）a为任意实数；（4）x；（5）x2； 323411； （2）由0得：a； 32a12140得：x； 43x3 （6）x0．

【解析】（1）由43x0得：x （3）a为任意实数； （4）由 （5）x2； （6）x0．

【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．

【习题4】 化简：

4（1）()2；

9

（2）((2a)2)2； （4）(a3)2．

1（3）4x24x1； （x）2a3a34【答案】（1）； （2）4a2； （3）2x1； （4）a30a3．

93aa3444【解析】（1）()2=； （2）((2a)2)24a2；

999a3a3 （3）4x24x12x12x1； （4）(a3)2a30a3．

3aa3【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【习题5】 化简下列二次根式：

（1）75x3y2(x0，y0)；

（2）(3.14π)2；

2 （3）aa(a0)．

【答案】（1）5xy3x； （2）3.14； （3）2a． 【解析】（1）75x3y225x2y23x5xy3x； （2）(3.14π)23.14π3.14； （3）a2aaa2a．

【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【习题6】 已知25的整数部分是a，小数部分是b，那么(25)ba的值是多少? 【答案】5．

【解析】∵459，∴253，∴4255， ∴a4，b25452， ∴(25)ba255245．

【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．

【习题7】 已知x53，则x26x5的值是多少？ 【答案】1．

【解析】x26x5x26x94 = 代入x53， 原式=x3224，

5334=1．

【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

【习题8】 已知3x(y2)20，求2x23xyy2的值． 【答案】40．

x33x0【解析】∵， ∴．

y2y20 ∴代入得：2x23xyy2=232332240．

【总结】本题主要考查当两个非负数的和为零时，则说明这两个非负数均为零．

【习题9】 已知非零实数x、y满足条件2x4y2 值． 【答案】1．

【解析】∵x3y20，∴x30，即x3，∴2x40， ∴2x4y22x3y22x4，求xy的

x3y22x4，即

y2x3y20，

y20x3 ∴， 解得：．

y2x30 ∴xy3(2)1．

【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．

【习题10】 设等式a(xa)a(ya)xaay在实数范围内成立，且a、x、y

3x2xyy2是两两不同的实数，则2值等于 __________．

xxyy21【答案】．

3axa0aya0【解析】由题意知： xa0ay012a0， 解得：．

xy343x2xyy23y2y2y212． ∴2xxyy2yy2y23【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

【习题11】 求满足a26xy的自然数a、x、y的值． 【答案】x6，y1，a7或x3，y2，a5． 【解析】由题意得：a26xy2xy(1)

∵a26是无理数，假设xy是有理数，则xy2xy是有理数，这与（1）式矛盾， xya ∴xy为无理数，∴，

xy6 又∵a26xy，

∴xy．

∴x6，y1，a7或x3，y2，a5．

【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

课后作业

【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？

（1）x； 2 （2）

2； x （3）x1(x1)； （6）22a2．

（4）b24b4； （5）3a21；

【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）是． 【解析】根据二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数，即可判断出来．

【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．

【作业2】 将x移到根号内，不改变原来的式子的值：

12(x2)． （1） （2）(x2)2x1(x1)；

x4x4x【答案】（1）2x2；（2）1． x22x122x21x1(x2)【解析】（1）；（2）xx2x2x24x4x22x221．

【总结】把式子移入根号中，要保持式子的正负值不变化，同时注意题目中的隐含条件的发

掘．

【作业3】 若(x11)1有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x1且x0． 【解析】∵(x11)11x11，

x10x1，解得： ∴． x0x110【总结】式子有意义的条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．

【作业4】 计算：(52)2015(52)2016． 【答案】52．

【解析】(52)2015(52)20165252201552=52．

【总结】当碰到次数较大的时候，想到去用公式，本题运用平方差公式和二次根式的计算即可．

【作业5】 化简：

1 （1）27xy2(y0)；

6【答案】（1） （2）6y． 12x33xyy3x； （2）2．

x21y【解析】（1）原式=3y3x3x；

626y63xy3xy6x2x22x3x （2）原式6y3xy2x3xx2x0，∴6x03xyy． 12x3x2【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．

【作业6】 已知x为非零实数，且xx【答案】a22． 【解析】∵xx12121212x21=________． a，则xa， ∴x1xa， ∴x12a2， x1 ∴xa22，

xx211∴xa22．

xx【总结】本题考查完全平方公式的变形和二次根式的综合． 【作业7】 若代数式|a2|b40，求a3b的立方根． 【答案】34．

【解析】由题意得：a2,b4，∴a3b323434．

【总结】本题主要考查当几个非负数的和为零时，则这两个式子必然都等于零的基本模型，还考查了去绝对值的知识．

【作业8】 m是22的小数部分，求m2【答案】2．

【解析】由题意得：m21，∴m211212(m)m2． 2mmm12的值． m2【总结】考查根号中套根号类型的式子，注意观查，部分可转化为一个数字的平方，同时对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．

【作业9】 已知a、b、c为有理数，且等式ab2c3526成立，

求2a999b1001c的值．

【答案】2000．

【解析】∵52623，∴ab2c323，

∴a0，b1，c1， ∴2a999b1001c99910012000．

【总结】部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解解决问题．

【作业10】 已知a【答案】2． 【解析】(a1a)2a12422， a1a0，∴a1a2．

11的值． 4(0a1)，求aaa ∵0a1，∴a【总结】本题考查完全公式的变形和无理数、二次根式的综合．

【作业11】 已知|x8y|(4y1)28z3x0，求2xy3z的值． 【答案】1．

x2x8y0113【解析】由题意得：4y10，解得：y，代入得2xy3z21．

4228z3x03z4【总结】考查二次根式有意义的条件，两互为相反数的式子作为被开方数，则这两个式子必然都等于零，还考查了去绝对值的知识．

【作业12】 化简： （1）945；

（2）1a21a2a4．

【答案】（1）52；（2）2(a2a1a2a1)． 2【解析】（1）9459220(5)2254(4)252；

22a221a2a4

2 （2）1a1aa224(a2a1)2(a2a1)(a2a1)(a2a1) = 2(a2a1a2a1)2 = 2 =2(a2a1a2a1)． 2【总结】本题主要考查复合二次根式的化简，注意观察，部分可转化为一个数字的平方，即ab2abab，由此可进行化简计算，注意观察根号中数字的因数，分解即可

得到相关计算结果，同时根据二次根式性质进行相关变形计算．