【高三总复习】2013高中数学技能特训：2-2 函数的单调性与最值(人教B版) 含解析

2-2函数的单调性与最值

基础巩固强化

1.(2012·陕西文)集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )

A．(1,2) C．(1,2] [答案] C

[解析] 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1[点评] 对于对数方程或对数不等式的求解一定不要忽略要使函数有意义，应有真数>0.

2．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值( )

A．恒为正数 C．恒为0 [答案] A

[解析] ∵f(x)在R上有意义，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x)为增函数，∴f(1)>f(0)＝0.

3．(文)若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( )

A．(－∞，0] C．{2} [答案] C

[解析] f ′(x)＝3x2－6a，

若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；

B．[1,2) D．[1,2]

B．恒为负数 D．可正可负

B．[－2,2] D．[2，＋∞)

若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－2a∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2， ∴a＝2.

[点评] f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f ′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.

(理)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( ) 3

A．(－∞，2] 3

C．(－1，2] [答案] D

[解析] 由4＋3x－x2>0得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)32253

＝－x＋3x＋4＝－(x－2)＋4的减区间为[2，4)，∵e>1，∴函数f(x)

2

3

B．[2，＋∞) 3

D．[2，4)

3

的单调减区间为[2，4)．

[点评] 可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)1－0.84．(文)(2012·天津文)已知a＝2，b＝(2)，c＝2log52，则a、

1.2

b、c的大小关系为( )

A．c[解析] 本题考查指数、对数值的大小比较．

B．c1－0.8

a＝2>2＝2，b＝(2)＝20.8<21＝2，b＝20.8>20＝1，c＝2log52

1.2

1

＝log522＝log1－

(理)(2012·大纲全国理)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e2 ，则( ) A．x1

－112[解析]∵y＝log52＝log5，z＝e ＝且e<2e2∴y1，∴y[点评] 比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解．解题时，应注意观察判断数的正负，正数区分大于1还是小于1，再找出同底数的、同指数的、同真数的，区别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较，有时需要先进行变形再比较．

1

1

5．给定函数①y＝x2 ，②y＝log2(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )

A．①② C．③④ [答案] B

1

[解析] ①y＝x2 为增函数，排除A、D；④y＝2x＋1为增函数，排除C，故选B.

6．已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则( )

B．zB．②③ D．①④

777A．f2777B．f5777C．f3777D．f5

[答案] B

[解析] 由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数，∵f(x)为偶函数，

7711∴f2＝f2－4＝f－2＝f2， 771f3＝f3－2＝f3， 

7733f5＝f5－2＝f－5＝f5， 

113∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f3>f2>f5，

777∴f3>f2>f5. 

7．(2012·湖北八校联考)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)a

满足对任意的x1、x2，当x1[答案] 1a

[解析] 由题意知函数f(x)＝loga(x－ax＋5)在(－∞，2]上递减，

2

a

又因为函数y＝x－ax＋5在(－∞，2]上递减，由对数函数的性质可

2

a2

知a>1.又真数大于零，所以函数y＝x－ax＋5的最小值大于零，即(2)

2

a

－a×2＋5>0，所以－258．(2011·德州月考)已知函数

1x x≤0，

f(x)＝2

log2x＋2 x＞0.

若

f(x0)≥2，则x0的取值范围是____________．

[答案] (－∞，－1]∪[2，＋∞)．

1

[解析] 当x0≤0时，f(x0)≥2化为(2)x0≥2， 11

即：(2)x0≥(2)－1，∴x0≤－1，

当x0＞0时，f(x0)≥2化为log2(x0＋2)≥2， 即log2(x0＋2)≥log24，∴x0＋2≥4，∴x0≥2， ∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．

－xe－2，x≤0，

9．(2011·淮南一模)已知函数f(x)＝(a是常数且

2ax－1，x>0，

a>0)．对于下列命题：

①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若1

f(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x1＋x2fx1＋fx2x2<0且x1≠x2，恒有f(2)<. 2

其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ①③④ [解析]

(数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；1

函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在[2，＋∞)上恒1

成立，则2a×2－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对x1＋x2fx1＋fx2

任意的x1>0，x2<0且x1≠x2，恒有f(2)<成立，故④正2确．

10．(文)(2012·南通市调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)11121＝－3t＋3(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)＝4t＋22(1≤t≤40，1

t∈N)，后60天价格为f(t)＝－2t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．

[解析] 当1≤t≤40，t∈N时，

112×2211121121

S(t)＝g(t)f(t)＝(－3t＋3)(4t＋22)＝－12t＋2t＋3＝－122500(t－12)＋3，

2

112×222500

所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝3＋12＝3. 当41≤t≤100，t∈N时，

112×5211112112

S(t)＝g(t)f(t)＝(－3t＋3)(－2t＋52)＝6t－36t＋3＝6(t－8

108)2－3，

1491

所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝2. 2500

所以，S(t)的最大值为3，最小值为8.

(理)(2012·安徽名校联考)已知一家公司生产某种商品的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该商品x千件并全部销售完，若每千件的销售收入为R(x)万元，12

10.8－30x， 0且R(x)＝1081000

x－3x2， x>10.

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一商品的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)

x3

[解析] (1)当0当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－3x－2.7x.

3x8.1x－30－10， 0∴W＝1000

98－3x－2.7x， x>10.

x2

(2)①当00；当x∈(9,10)时，W′<0，

13∴当x＝9时，W取极大值，且W＝8.1×9－30·9－10＝38.6.

1000②当x>10时，W＝98－3x＋2.7x 

≤98－2

1000

2.7x＝38， 3x·

1000100

当且仅当3x＝2.7x，即x＝9时，W＝38， 100

故当x＝9时，W取极大值38. 113

又当x＝10时，W＝3.

综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一商品的生产中所获年利润最大.

能力拓展提升

11.(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 1C．y＝x [答案] D

[解析] 本题考查了函数的奇偶性、单调性等性质的应用． A中y＝x＋1是非奇非偶函数；B中y＝－x3是减函数；C中y1

＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别递减，但在整个定义域上不是单调

2x x≥0，

函数；D中函数y＝x|x|可化为y＝2可画出其图象如图

－x x<0.

B．y＝－x3 D．y＝x|x|

所示：

显然该函数为奇函数且为增函数．

12．(文)若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )

[答案] A

[解析] ∵导函数f ′(x)是增函数，

∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，

故选A.

[点评] B图中切线斜率逐渐减小，C图中f ′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．

(理)如果函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是减函数，那么函数f(x)＝1loga的图象大致是( )

x＋1

[答案] C

[解析] 解法一：由函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是减函数知a>1，1

∴011

f(x)＝loga＝－loga(x＋1)＝loga(x＋1)．

x＋1

1

函数f(x)的图象可以看作由函数y＝logax的图象向左平移1个单位长度得到，

1

又y＝logax是减函数，∴f(x)为减函数，故选C.

1x

解法二：由于f(0)＝0，故排除A、B；由y＝a，即y＝a是减



－x

函数知a>1，∴x>0时，f(x)<0，排除D，选C.

13．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数在区间( )上是增函数．( )

ππ

－，－A.24 π

C.0，2





ππB.－4，4 π3πD.4，4 



[答案] A

π

[解析] ∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴θ＝2，∴y＝2cosωx，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，

π

∴y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(k∈Z)得，kπ－2≤x≤kπ(k

π

∈Z)，令k＝0知，函数在－2，0上是增函数，故A正确．





a

14．(文)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是

x＋1减函数，则a的取值范围是________．

[答案] (0,1]

[解析] 由f(x)＝－x2＋2ax得函数对称轴为x＝a， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a≤1， a

又g(x)＝在[1,2]上减函数，所以a>0，

x＋1综上a的取值范围为(0,1]．

(理)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

[答案] a≤－4

[解析] ∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈

2

a2x＋2x＋a2

(0,1)时，f ′(x)＝2x＋2＋x＝≤0，∴g(x)＝2x＋2x＋a≤0x

在x∈(0,1)时恒成立，

1

∵g(x)的对称轴x＝－2，x∈(0,1)， ∴g(1)≤0，即a≤－4.

15．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．

[解析] (1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则

x＋1>0，解得－10.

故所求定义域为{x|－1且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1所以f(x)>0⇔>1. 1－x解得0所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|016．(文)已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. [解析] (1)证明：任取x1、x2∈R且x10. ∴f(x2－x1)>1. ∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)] ＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)， ∴f(x)是R上的增函数．

(2)解：f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3. ∴f(3m2－m－2)<3化为f(3m2－m－2)∴3m－m－2<2，∴－12

4

∴原不等式的解集为{x|－1(理)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为实数，且a≠0)，F(x)＝

fx x>0， －fx x<0.

(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；

(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0. [解析] (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b. 又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f ′(－1)＝0，

即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①

因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.② 又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)， 所以c＝2a＋3.③

解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3. 从而f(x)＝－3x2－6x－3.

2

－3x＋1 x>0，

所以F(x)＝ 2

3x＋1 x<0.

(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3， 所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3. 由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：

k＋6k＋6

－6≤－1或－6≥1，得k≤－12或k≥0. (3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0. 因此f(x)＝ax2＋c.

又因为mn<0，m＋n>0，可知m、n异号． 若m>0，则n<0.

则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c ＝a(m＋n)(m－n)>0. 若m<0，则n>0. 同理可得F(m)＋F(n)>0. 综上可知F(m)＋F(n)>0.

1

1．(2012·新课标全国文)当02A．(0，2)

2

B．(2，1)

C．(1，2) [答案] B

D．(2，2)

1

[解析] ∵04x>0，∴0＝2时，loga2>42＝2＝logaa2，

a>1，∴21a<2，

02，

2

∴a>2，排除A，选B.

2．(2012·山东聊城模拟)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定

fx，fx≤k，的正数k，定义函数fk(x)＝

k，fx>k.

若函数f(x)＝

－x

2，x≥0，1x则函数f2(x)的单调递减区间为( ) 2，x<0，

A．(－∞，－1] C．[0，＋∞) [答案] D

B．(－∞，0] D．[1，＋∞)

[解析]

1fx，fx≤，21

由题意知，f2(x)＝11

2，fx>2，2x，x≤－1，

11

∴f2(x)＝2，－12，x≥1.

－x

1

作图不难发现，函数f2(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．故选D. 3．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有( )

A．f(－n)[解析] 由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0得f(x)在(－∞，0]上为增函数． 又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上为减函数． 又f(－n)＝f(n)且0≤n－1∴f(n＋1)A．a>b>c C．b>c>a [答案] D

[解析] ∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)b>a.

15．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(log2x)的单调减区间是( )

B．a>c>b D．c>b>a

A．[1，2] 2

B．[2，1]

C．(0,1]和[2，＋∞) D．(－∞，1]和[2，＋∞) [答案] C

[解析] 令t＝log2x，则此函数为减函数，由图知y＝f(t)在11

－∞，－和[0，＋∞)上都是增函数，当t∈－∞，－时，x∈[2，

22

＋∞)，当t∈[0，＋∞)时，x∈(0,1]，∴函数g(x)＝f(log1x)在(0,1]和[2，2＋∞)上都是减函数，故选C.

6．(2013·陕西西工大附中第三次适应性训练)已知可导函数f(x)(x∈R)满足f ′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为( )

A．f(a)f ′x－fxfx

[解析] 令F(x)＝ex，则F′(x)＝>0， ex∴F(x)为增函数，

1

B．f(a)>eaf(0) D．f(a)≤eaf(0)

fa

∵a>0，∴F(a)>F(0)，即ea>f(0)， ∴f(a)>eaf(0)，故选B.

7．若函数y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，4]

C．(－∞，－4)∪[2，＋∞) [答案] B

[解析] 本题考查含参数的函数的讨论及复合函数的应用．由题知：y＝log2x为单调增函数，y＝log2(x2－ax＋3a)的单调增区间为y＝x2－ax＋3a的增区间的一个子区间，由y＝x2－ax＋3a⇒y′＝2x－a，又在[2，＋∞)是单调增函数，即在x∈[2，＋∞)，2x－a＞0恒成立，即只需2×2－a＞0即可⇒a＜4，又y＝x2－ax＋3a在x∈[2，＋∞)上恒大于0，则22－2a＋3a＞0⇒a＞－4，综上可得：－4＜a<4，当a＝4时同样成立．故选B.

[点评] 本题还可以根据二次函数的对称轴讨论求解．欲满足题a

中条件，只需2≤2，且22－a×2＋3a＞0⇒a≤4且a＞－4即－4＜a≤4.

x

8．函数y＝sinx，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )

B．(－4,4] D．(－4,2)

[答案] C

x

[解析] ∵y＝sinx是偶函数，排除A， 2

当x＝2时，y＝sin2>2，排除D，

ππ

当x＝6时，y＝π＝3>1，排除B，故选C.

sin6

π6