数值计算方法试题集及答案

一、填空题：

410AA1410141、，则A的LU分解为

。

01411A1411415156150 答案：

2、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

13f(x)dx_________,用三点式求得f(1) 。

答案：，

23、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

L2(x)11(x2)(x3)2(x1)(x3)(x1)(x2)22

答案：-1，

4、近似值x*0.231关于真值x0.229有( 2 )位有效数字； 5、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( )；

xn1xnxnf(xn)1f(xn)

答案

36、对f(x)xx1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为

ban1( 2 )；

9、求解一阶常微分方程初值问题y= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为

hyn1yn[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]2( )；

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝，则二次Newton插值多项式中x2系数为( )；

f(x)dx011、 两点式高斯型求积公式≈(0度为( 5 )；

1113131f(x)dx[f()f()]22323 )，代数精

12、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均

不为零)。

y10346x1(x1)2(x1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表

1x1 ，为了减少舍入误差，应将表达式13、 为了使计算

达式改写为

y10(3(46t)t)t,t220011999改写为

20011999 。

314、 用二分法求方程f(x)xx10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 计算积分0.51xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

3x15x2116、 求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为

1代格式的迭代矩阵的谱半径(M)= 12 。

(k1)(k)(15x2)/3x1(k1)(k1)x1/20 ，x2该迭

17、 设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x) l1(x)x(x2) ，f(x)的二次牛顿

插值多项式为 N2(x)16x7x(x1) 。

18、 求积公式

Akf(xk)af(x)dxk0bn的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 2n1 )次代数精度。

19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求15f(x)dx≈( 12 )。

20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f(1)( )。

21、如果用二分法求方程xx40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

3x30x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x3222、已知是三次样条函数，则

a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）。

23、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

lk0nk(x)( 1 )，k0xlnkj(xk)(

xj )，当n2时k0(xn4k2xk3)lk(x)( xx3 )。

42[0]yn1ynhf(xn,yn)yf(x,y)h[0]yy[f(x,y)f(x,yn1nnnn1n1)]y(x)y00的改进欧拉法224、解初值问题是

2 阶方法。

25、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f(x)x1x (x1)的形式，使计算结果较精确

x1x 。

27、若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10

次。

fx12x3,0x1Sx32xaxbxc,1x2是3次样条函数，则 28、设

a= 3 , b= -3 , c= 1 。 29、若用复化梯形公式计算

个求积节点。

10exdx，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用 477

6x11.6x210.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式

30、写出求解方程组kx1k111.6x201.6,k0,1,k1k100.x20.4x12，此迭代法是否收敛 收敛 。 ，迭代矩阵为 A43,则A 9 。 31、设

482482U016A2571001362 。 ALUU32、设矩阵的，则 4f(x)3x2x1，则差商f[2,4,8,16,32] 3 。 33、若

2f(x)dx[f(1)8f(0)f(1)]1934、数值积分公式的代数精度为 2 。

135、

101线性方程组12151x2103的最小二乘解为

11 。

321A204135分解为ALU，则U36、设矩阵

32141003321002 。  二、单项选择题：

1、 Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是（ C ）。 A．A的各阶顺序主子式不为零 B． (A)1 C． aii0,i1,2,,n D． A1

223A051007，则(A)为( C )． 2、设

A． 2 B． 5 C． 7 D． 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。

A． 2 B．5 C． 3 D． 4

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。 A． 对称阵 B． 正定矩阵

C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 6、是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。

A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算

x3 9、用1+3近似表示1x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 13、( D )的3位有效数字是×102。

(A) ×103 (B) ×10－2 (C) (D) ×10－1

14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是

( B )。

(A) y=(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=(x)的交点

3x1x24x31x12x29x304x3xx112315、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为

( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)(n1)! (B)

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D)

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)n1(x)(n1)!

17、等距二点求导公式f(x1) ( A )。

(A)f(x1)f(x0)x1x0(B)f(x1)f(x0)x0x1(C)f(x0)f(x1)x0x1(D)f(x1)f(x0)x1x0

18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…

一定收敛到方程f(x)=0的根。

(A)f(x0)f(x)0(B)f(x0)f(x)0(C)f(x0)f(x)0(D)f(x0)f(x)0

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[,]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应

的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

x2(A)

1,迭代公式:xk1x11xk1

x1(B)(C)

11,迭代公式:x1k12x2xk

21/3x31x2,迭代公式:xk1(1xk)

(D)

x1x,迭代公式:xk1322xk12xkxk1

yf(x,y)y(x)y20、求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差

是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( A )

(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)

Bx(k)g收敛的充要条件是（ ）。 （1）(A)1, (2) (B)1, (3) (A)1, (4) (B)1

21、解方程组Axb的简单迭代格式xbi022、在牛顿-柯特斯求积公式：

稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

(k1)af(x)dx(ba)Ci(n)f(xi)n(n)Ci中，当系数是负值时，公式的

（1）n8， （2）n7， （3）n10， （4）n6，

23、有下列数表 x 0 1 2 f(x) -2 -1 2 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

hhyn1ynhf(xn,ynf(xn,yn))2224、若用二阶中点公式求解初值问题y2y,y(0)1，

试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。 (1)0h1, (2)0h1, (3)0h1, (4)0h1

25、取31.732计算x(31)，下列方法中哪种最好（ ）

41616224(423)(423)(31)28163(A)； (B)； (C) ； (D) 。

x3S(x)32(x1)a(x2)b26、已知

0x22x4是三次样条函数，则a,b的值为( )

(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ） xi１ ２ ３ f(xi)-1 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。

28、形如a（ ）

bf(x)dxA1f(x1)A2f(x2)A3f(x3)的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为

(A)9； (B)7； (C) 5； (D) 3。 29、计算3的Newton迭代格式为( )

xkxxx3323xk1kxk1kxk1k2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。

(A)

131032230、用二分法求方程x4x100在区间[1,2]内的实根，要求误差限为，则对分

xk1次数至少为( )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( )

4253O(h)O(h)O(h)O(h)。 (A)； (B)； (C) ； (D)

xk(k0,1,L,9)为节点的Lagrange插值基函数，则k032、设li(x)是以k(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。

33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A)5； (B)4； (C)6； (D)3。

kl(k)i9( )

x3S(x)32(x1)a(x2)b34、已知

0x22x4是三次样条函数，则a,b的值为( )

(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

3x2不收敛的是( )

35、已知方程x2x50在x2附近有根，下列迭代格式中在0352xk5xk12xk13232x5xxxxx53xk2。 k1kk； (C)k1kk(A)； (B)； (D)

36、由下列数据 x0 1 2 3 f(x)1 2 4 3 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B)9； (C)10； (D)11。

4 -5 三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打） 1、

1，2，，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)已知观察值(xi，yi)(i0，时，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( )

2、

x2用1-2近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

(xx0)(xx2)(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )

3、

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

( )

311253125具有严格对角占优。 ( ) 5、矩阵A=

四、计算题：

1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 (要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

4x12x2x311x14x22x3182xx5x22231(0)Tx(0,0,0)，取，迭代四次

(k1)1(k)(k)(112x2x3)x14(k1)1(k1)(k)x2(18x12x3)4(k1)1(k1)(k1)x(222xx)3125 

k 0 1 2 3 4

11f(x)dxA[f(1)f(1)]B[f()f()]122的代数精度尽2、 求A、B使求积公式

1x1(k)(k)x2(k)x30 0 0 量高,并求其代数精度；利用此公式求

2答案：f(x)1,x,x是精确成立，即

I211dxx(保留四位小数)。

2A2B212182ABA,B23 得99

1811f(x)dx[f(1)f(1)][f()f()]19922求积公式为

12134当f(x)x时，公式显然精确成立；当f(x)x时，左=5，右=3。所以代

数精度为3。

1

3、 已知

21t2x311111811dxdt[][]1t3x9131391/23123970.69286140

xi1 3 6 4 5 5 4 f(xi)2 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

答案：

L3(x)2(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)6(13)(14)(15)(31)(34)(35)

5

(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)4(41)(43)(45)(51)(53)(54)

差商表为

xiyi一阶均差 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 1 3 4 5 2 6 5 4 141P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4

f(2)P3(2)5.5

4、取步长h0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题

y2x3yy(0)1 (0x1)

(0)yn1yn0.2(2xn3yn)(0)yy0.1[(2x3y)(2x3yn1nnnn1n1)]答案：解：

即 yn10.52xn1.78yn0.04 n xnyn0 0 1 2 3 4 5 1 5、已知

xi-2 -1 2 0 1 1 3 2 5 f(xi)4 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f(0)的近似值。 答案：解：

ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 0 4 2 1 3 5 15 4 1 0 1 4 10 -8 -1 0 1 8 0 16 1 0 1 16 34 -8 -2 0 3 10 3 16 2 0 3 20 41 正规方程组为

5a010a21510a1310a34a4120a0

10311,a1,a271014

p2(x)10311311(x)xx2p2x71014 107

3(0)f(0)p210

6、已知sinx区间[，]的函数表

xiyi 如用二次插值求sin0.631的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|M3|3(x)|3!

尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.6310.596274，

且

sin0.6310.5962741(0.6310.5)(0.63190.6)(0.6310.7)3!0.55032104

x7、构造求解方程e10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，讨论其收敛

4|xx|10n1n性，并将根求出来，。

x答案：解：令 f(x)e10x2,f(0)20,f(1)10e0.

xf(x)e100对x(，)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程且

f(x)0变形为

x1(2ex)10

则当x(0,1)时

(x)1(2|(x)|exe10ex)，

10101

故迭代格式

x1n1(2exn10)

收敛。取x00.5，计算结果列表如下：

n 0 1 2 3 xn 127 872 424 785 877 325 n 4 5 6 7 xn 595 993 517 340 525 950 525 008 且满足 |x7x6|0.00000095106.所以x*0.090525008.

x12x23x3142x15x22x8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 3183x1x25x320。

1123ALU2114答案：解：

35124 令Lyb得y(14,10,72)T，Uxy得x(1,2,3)T.

3x12x210x31510x14x2x359﹑对方程组 2x110x24x38

（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

（2） 取初值x(0)(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k1)x(k)||103。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

10x14x2x352x110x24x383x12x210x315

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

要求

(k1)1(k)(k)x(4xx5)12310(k1)1(k1)(k)(2x14x38)x210(k1)1(k1)(k1)x(3x2x15)31210

取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

10、已知下列实验数据

xi f(xi) 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

xedxf(x)e解：当01 要求近似值有5位有效数字，只须误差

(n)R1((n)R1(f)11042.

由

(ba)3f)f()212n，只要

(n)R1(ex)ee110422212n12n

即可，解得

ne10267.308776

所以 n68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

111x14543x122211x311。 11、用列主元素消元法求解方程组 111454312rr543121211142111121111 解： 51r2r1502r3r10551r3r213004151353251531258r2r3057905413515315251279585

4135121795555 1313回代得 x31,x26,x13。

xx0,x0.5,x1f(x)e012 12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式

P2(x),并估计误差。

P2(x)e0(x0.5)(x1)0.5(x0)(x1)e(00.5)(01)(0.50)(0.51)

e1(x0)(x0.5)(10)(10.5)解：

2(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)2e1x(x0.5)

又

f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1x[0,1]

故截断误差 13、用欧拉方法求

|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|3!。

y(x)etdt0x2

在点x0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 解：

y(x)e0xt2dt等价于

x2yey(0)0 (x0)

x记f(x,y)e,取h0.5,x00,x10.5,x21.0,x31.5,x42.0.

2则由欧拉公式

yn1ynhf(xn,yn)y00, n0,1,2,3

可得 y(0.5)y10.5,y(1.0)y20.840,

y(2.0)y41.12604

y(1.5)y31.07334,xf(x)(x1)e10 14、给定方程

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

x(x1)e10 （1） 解：1）将方程

改写为

x x1e （2）

*xxf(x)ef(x)x12 作函数1，的图形（略）知（2）有唯一根(1,2)。

x2) 将方程（2）改写为 x1e

xk11exk构造迭代格式 x01.5 (k0,1,2,)

计算结果列表如下：

k xk xx(x)1e(x)e3) ，

1 2 3 4 5 6 7 8 9 当x[1,2]时，(x)[(2),(1)][1,2]，且

|(x)|e11

所以迭代格式 xk1(xk)(k0,1,2,)对任意x0[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=, 计算三次，保留五位小数。

2解：3是f(x)x30的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为

xn12x3xn3xn1nxn22xn2xn， 即

(n0,1,2,)

取x0=, 列表如下：

n1 2 3 xn16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解：

L2(x)2(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)34(11)(12)(11)(12)(21)(21)

234(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)323

1f(1.5)L2(1.5)0.0416724

1xe017、n=3,用复合梯形公式求

dx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：

01xedxT3100[e2(e13e23)e1]1.734223

f(x)ex,f(x)ex，0x1时，|f(x)|e

|R||exT3|至少有两位有效数字。

ee0.0250.052108123

301x15131x21114x83=， 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：

(k1)1(k)x(x5)1331(k1)(k1)(k)x(x1x31)23(k1)1(k1)(k1)x(xx8)3124

301131114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 系数矩阵取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

k(k)x1(k)x2(k)x31 2 3 yxy 19、用预估—校正法求解y(0)1(0x1)，h=0。2，取两位小数。 解：预估—校正公式为

1yy(k1k2)nn12k1hf(xn,yn)k2hf(xnh,ynk1) n0,1,2,

其中f(x,y)xy，y01，h=，n0,1,2,3,4，代入上式得：

n1 2 3 4 5 xnyn 2yabx20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据： xi19 25 30 38 yi 2span{1,x} 解：

1AT2191252T1312T1T382 y19.032.349.073.3

解方程组 AACAy

33914173.6TAAAy33913529603179980.7 其中 0.9255577C0.0501025 所以 a0.9255577， b0.0501025 解得：

Te21、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算01xdx时，试用余项估计其误

差。用n8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

RT[f]解：

ba2111hf()2e00.00130212128768

7hT(8)[f(a)2f(xk)f(b)]2k1 1[12(0.88249690.77880080.60653066160.53526140.472366550.41686207)0.36787947]

0.6329434

3322、（15分）方程xx10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）xx111x1x1n13x13xxn；x对应迭代格式n对应迭代格式n1；(2)（3）xx1对应

3x1.5的收敛性，xx1。n1n迭代格式判断迭代格式在0选一种收敛格式计算x1.5附近的根，

精确到小数点后第三位。

1(x)(x1）3（1.5）0.1813解：（1），，故收敛；

1(x)12x211.5）0.171x，（（2），故收敛；

22（1.5）31.521(x)3x（3），，故发散。

x1.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249，

选择（1）：0x51.32476，x61.32472 23、（8分）已知方程组AXf，其中

4324f30A34114，24

（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

1(k1)(k)x(243x)1241(k1)(k)x2(303x1(k)x3)41(k1)(k)x(24x2)34k0,1,2,3,解：Jacobi迭代法：

1(k1)(k)x(243x)1241(k1)(k)x2(303x1(k1)x3)41(k1)(k1)x(24x)324k0,1,2,3,Gauss-Seidel迭代法：

034BJD1(LU)304304

0340，

10(BJ)58(或)0.7905694

dyy1dxy(0)124、1、（15分）取步长h0.1，求解初值问题用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y(0.1)的值。

(0)yn1ynhf(xn,yn)0.9yn0.1h(0)yy[f(x,y)f(x,yn1nnnn1n1)]0.905yn0.0952解：改进的欧拉法：

所以y(0.1)y11；

经典的四阶龙格—库塔法：

hyy[k12k22k3k4]nn16k1f(xn,yn)hhkf(x,yk1)2nn22hhk3f(xn,ynk2)22k4f(xnh,ynhk3)k1k2k3k40，所以y(0.1)y11。 

25、数值积分公式形如

1xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1) 试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽

0R(x)量高；（2）设f(x)C[0,1]，推导余项公式

4xf(x)dxS(x)，并估计误差。

01解：将f(x)1,x,x,x分布代入公式得：

23A3711,B,B,D20203020

H3(xi)f(xi)H(x)f(xi)i0,1H(x)x0,x11

构造Hermite插值多项式3满足3i其中0f(4)()212f(x)H(x)x(x1)xH(x)dxS(x)334!则有：0，

f(4)()3R(x)x[f(x)S(x)]dxx(x1)2dx004!

(4)(4)(4)f()13f()f()2x(x1)dx4!04!601440

1126、用二步法

yn10yn1yn1h[f(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)]

yf(x,y)y(x0)y0时，如何选择参数0,1,使方法阶数尽可能高，并求局

求解常微分方程的初值问题部截断误差主项，此时该方法是几阶的

解：

h2h3Rn,hy(xn1)yn1y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)2!3!h2h30y(xn)1(y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn))2!3!h2h3(4)h[y(xn)(1)(y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)]2!3!

(101)y(xn)h(111)y(xn)111h2(11)y(xn)h3(1)y(xn)O(h4)22662 10010110101131022 所以2 53hy(xn)主项：12 该方法是二阶的。

27、（10分）已知数值积分公式为：

h0hf(x)dx[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]2，试确定积分公式中的参数，使其代数精

确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f(x)1显然精确成立； f(x)x时，

h2h0h2hxdx[0h]h2[11]22；

h3hh3122xdx[0h]h[02h]2h2f(x)x时，032212；

hh4h1233xdx[0h]h[03h2]3f(x)x时，04212；

f(x)x4时，0hh5h12h3xdx[0h]h[04h]52126；

4所以，其代数精确度为3。

28、（8分）已知求a(a0)的迭代公式为：

xk1

1a(xk)2xkx00k0,1,2

证明：对一切k1,2,,xk从而迭代过程收敛。

a，且序列xk是单调递减的，

xk1证明：

1a1a(xk)2xka2xk2xkk0,1,2

故对一切k1,2,,xka。

xk11a1(12)(11)1xxk，即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过x22xk又k 所以k1程收敛。

29、（9分）数值求积公式多少

303f(x)dx[f(1)f(2)]2是否为插值型求积公式为什么其代数精度是

解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为

3p(x)x2x1f(1)f(2)1221

3p(x)dx[f(1)f(2)]02 。其代数精度为1。

30、(6分)写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

(6分)

xn1xn11cosxn4，n=0,1,2,…

'x

11sinx1x[0,1],迭代公式都收敛。 44 ∴ 对任意的初值031、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表：

100 121 144 10 11 12

11510+(115-100)(115-100)(115-121)

=

53f'''xx28

Rf'''1151001151211151443!5131002156290.0016368

32、(10分)用复化Simpson公式计算积分

Isinxdx50x的近似值，要求误差限为0.510。

111S1f04ff10.9461458862 S21113f04f2f4ff10.9460869312424

1S2S10.39310-515 IS20.94608693

IS2sinxx2x4x6x8fx1x3!5!7!9!或利用余项： f(4)1x2x41xf(4)x572!94!5

f(4)R5ba2880n410.51028805n，n2，IS2

33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

0.0 0000

x14x22x3243x1x25x3342x6xx27231

x2.0000,3.0000,5.0000

T

135x112x21121 的最小二乘解。 34、(8分)求方程组 36x181.3333x614x20TTAAxAb，2， 2.0000

若用Householder变换，则：

1.732053.4104.61880A,b00.366031.5207301.366032.520731.732053.4104.6188001.414212.82843000.81650最小二乘解： ，T.

35、(8分)已知常微分方程的初值问题：

dydxxy,1x1.2y(1)2

.)的近似值，取步长h0.2。 用改进的Euler方法计算y(12k1fx0,y00.5，k2fx1,y0hk11.120.20.50.5238095 y1y0hk1k220.10.50.52380952.10714292

36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

1xfxdxAfA1f1002

1取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：

A0A111111A0A1A0A12，23 3，6

f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24

∴ 公式的代数精度=2

1221b2A111221，3， 37、（15分）已知方程组Axb，其中

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

(k)(k)x1(k1)12x22x3(k1)(k)(k)x22x1x3;k0,1,2,Lx(k1)32x(k)2x(k)123Gauss-Seidel迭代法的分量形式

(k)(k)x1(k1)12x22x3(k1)(k1)(k);k0,1,2,Lx22x1x3x(k1)32x(k1)2x(k1)123

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

022BD1(LU)101220，

1230，(B)01，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为

022G(DL)1U023200，

10,232，(B)21，Gauss-Seidel迭代法发散

dy2xydx38、（10分）对于一阶微分方程初值问题y(0)1，取步长h0.2，分别用Euler预报－校

正法和经典的四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值。 解：Euler预报－校正法

(0)yn1yn0.2(2xnyn)0.4xn0.8yn(0)yn1yn0.1(2xnyn2xn1yn1)0.16xn0.2xn10.82yny(0.2)y10.20.20.8210.86

经典的四阶龙格—库塔法

0.2yy(k2k22k3k4)nn161k12xnynk2(x0.1)(y0.1k)nn12k32(xn0.1)(yn0.1k2)k42(xn0.2)(yn0.2k3)y(0.2)y10.8562

(

k11.5041;k21.5537;k31.87;k41.5943)

hyn1yn[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]239、（10分）用二步法求解一阶常微分方程初值问题yf(x,y)y(x0)y0，问：如何选择参数,的值，才使该方法的阶数尽可能地高写出此时的局部截断

误差主项，并说明该方法是几阶的。 解：局部截断误差为

hTn1y(xn1)y(xn)[f(xn,y(xn))f(xn1,y(xn1))]2

h2h3hy(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)O(h4)y(xn)[y(xn)y(xn1)]2!3!2 h2h3hy(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)O(h4)y(xn)y(xn)2!3!2hh2[y(xn)hy(xn)y(xn)O(h3)]22!

233hhhh(1)y(xn)(1)y(xn)()y(xn)O(h4)222!3!4 10322101 因此有5h3y(xn)12局部截断误差主项为，该方法是2阶的。

40、(10分)已知下列函数表：

x0 1 2 9 3 27 1 3 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； f(x)(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算 解：（1）

f(1.5)的近似值。

(x1)(x2)(x3)(x0)(x2)(x3)(x0)(x1)(x3)(x0)(x1)(x2)(01)(02)(03)(10)(12)(13)(20)(21)(23)(30)(31)(32)48x32x2x13 3

01L3(x)229624（2）均差表：327 18 6 3

4N3(x)12x2x(x1)x(x1)(x2)3

f(1.5)N3(1.5)5

13dy83y(x0)dx41、(10分)取步长h0.2，求解初值问题y(0)2，分别用欧拉预报—校正法和经

典四阶龙格—库塔法求

解：（1）欧拉预报-校正法：

(0)yn1yn0.2(83yn)1.60.4ynyn1yn0.1(83yn83(1.60.4yn))1.120.58yn

y(0.2)的近似值。

（2）经典四阶龙格-库塔法：

y(0.2)y12.28

0.2yy(k2k22k3k4)nn161k183ynk83(y0.1k)n12k383(yn0.1k2)k483(yn0.2k3)

y(0.2)y12.3004

21dx012x242、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的

近似值（保留4位小数）。

解：5个点对应的函数值xi 0 f(xi) 1 f(x)112x2 1 2 ----------------------------------------------------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=）：

T4(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

0.5[12(0.6666670.3333330.181818)0.111111]2 0.868687

1S2[14(0.6666670.181818)20.3333330.111111]6 0.861953

43、(10分)已知方程组Axb，其中

2111b1A121112，1

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 解：（1）Jacobi迭代法：

(k)(k)x1(k1)(1x2x3)/2(k1)(k)(k)x2(1x1x3)/2x(k1)(1x(k)x(k))/2123

1102211BD1(LU)02211022 Jacobi迭代矩阵：

(B)1 收敛性不能确定

（2）Gauss-Seidel迭代法：

(k)(k)x1(k1)(1x2x3)/2(k1)(k1)(k)x2(1x1x3)/2x(k1)(1x(k1)x(k1))/2123

1021G(DL)1U04018Gauss-Seidel迭代矩阵：121218

(B)

57i11168 该迭代法收敛

dyf(x,y)(cxd)dxy(x0)y0a,b44、(10分) 求参数，使得计算初值问题的二步数值方法

的阶数尽量高，并给出局部截断误差的主项。

yn1ynh[af(xn,yn)bf(xn1,yn1)]

h2h3y(xn1)y(xn)hy(xn)y(xn)y(xn)O(h4)2!3!解：

yn1y(xn)h(ay(xn)by(xn1))

h2y(xn)ahy(xn)bh(y(xn)hy(xn)y(xn)O(h4))2! bh32y(xn)(ab)hy(xn)bhy(xn)hy(xn)O(h4))2

ab1311a,bb22时， 2，即所以当bh3yn1y(xn1)y(xn)O(h4)O(h3)2局部截断误差为

h3yn1y(xn1)y(xn)4局部截断误差的主项为，该方法为二阶方法。