第３７卷第１期 应用光学 Ｖｏ１．３７ Ｎｏ．１ ２０１６年１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ Ｊａｎ．２０１６ 文章编号：１００２—２０８２（２０１６）０１—００１７－０７ 圆形截面微通道的双一阶彩虹现象研究 宋飞虎，陈海英 （江南大学机械工程学院江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，江苏无锡２１４１２２） 摘 要：基于几何光学理论及Ｄｅｂｙｅ理论，研究圆形截面微通道这一双层圆柱产生的双一阶彩 虹现象。由于全反射现象，双一阶彩虹并非始终存在，故通过数值模拟，得出内外径比的临界值 来判断双一阶彩虹的存在性。当双一阶彩虹存在时，双一阶彩虹中的 彩虹总是可被观察到；口 彩虹在某些情况下会因光强较弱而被淹没在以二阶彩虹为主的其他散射结构中。研究发现ａ彩 虹位于二阶彩虹主峰右侧时，其可被观测到。为此分析Ｏｔ彩虹与二阶彩虹两者主峰散射角重叠 这一Ｉ１名界情况，进而提出判断ａ彩虹能否被被观测到的方法。最后，构建实验系统，以充满去离 子水的高硼硅玻璃毛细管为对象进行实验研究，通过ＣＣＤ相机拍摄彩虹图像。结果表明，毛细 管内径为５５０ ｍ、外径为６００ ｍ时，其内外径比大于上述Ｉ临界值０．７４８５，故双一阶彩虹存在。但 是由上述判断方法得出ａ彩虹无法被观测到，这一结论与仅能从拍摄图像中获得 彩虹结构的 现象相符。 关键词：双一阶彩虹；Ｄｅｂｙｅ理论；几何光学；微通道 ‘ 中图分类号：ＴＮ２０６；ＴＫ９３４ 文献标志码：Ａ ｄｏｉ：１０．５７６８／ＪＡＯ２０１６３７．０１０１００４ Ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｂｙ ｍｉｃｒｏ—ｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｔｈ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｃｒＯｓｓ—ｓｅｃｔｉＯｎ Ｓｏｎｇ Ｆｅｉｈｕ，Ｃｈｅｎ Ｈａｉｙｉｎｇ （Ｊｉａｎｇｓｕ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｆｏｏｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｘｉ ２１４１２２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｓｃａｔｔｅｒｅｄ ｂｙ ａ ｌｉｑｕｉｄ—ｆｉｌｌｅｄ ｍｉｃｒｏ—ｃｈａｎｎｅｌ ｗｉｔｈ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｃｒｏｓｓ—ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｗｉｔｈ Ｄｅｂｙｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｏｐｔｉｃｓ．Ｔｈｅ ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｄｏ ｎｏｔ ａｌｗａｙｓ ｅｘｉｓｔ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａ１ ｓｉｍｕｌａ— ｔｉｏｎ，ａ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｒａｄｉｕｓ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏａｔｉｎｇ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｊｕｄｇｅ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ．Ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｅｍｉｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｃ ａｎｄ ｐ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｅｘｉｓｔ，ｔｈｅ ｐ ｒａｉｎｂｏｗ ｃａｎ ａｌ— ｗａｙｓ ｂｅ ｄｅｔｅｃｔｅｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ａ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｄｅｔｅｃｔｅｄ ｗｈｅｎ ｓｕｂｍｅｒｇｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｉｔ ｉＳ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａ ｒａｉｎｂｏｗ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｔｅｃｔｅｄ ｏｎｌｙ ｗｈｅｎ ｉｔ ｌｏｃａｔｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗ．Ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｏｃａ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅａｋｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｒａｉｎｂｏｗ ａｎｄ ａ ｒａｉｎｂｏｗ ｃｏｉｎｃｉｄｅ ｗａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅｎ ａ ｊ ｕｄｇ— ｍｅｎｔ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｆｏｒ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ａ ｒａｉｎｂｏｗ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｔｅｃｔｅｄ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ａｌｓｏ ａｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｂｕｉｌｔ ａｎｄ ａ ｂｏｒｏｓｉｌｉｃａｔｅ ｃａｐｉｌｌａｒｙ ｆｉｌｌｅｄ ｗｉｔｈ ｄｅｉｏｎｉｚｅｄ ｗａｔｅｒ ｗａｓ ｔａｋｅｎ ｆｏｒ ｅｘｐｅｒｉ— ｍｅｎｔ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａ１ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ｉＳ ５５０ ｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａ１ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ｉｓ ６００ ｔｚｍ，ｔｈｅ ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｅｘｉｓｔ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｒａｄｉｕｓ ｒａｔｉｏ ｉｓ ｌａｒｇｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ０．７４８５．Ｂｕｔ ｔｈｅ ｒａｉｎｂｏｗ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ｉｔ ａｃｃｏｒｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｐｔｕｒｅｄ ｐａｔｔｅｒｎ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｒａｉｎｂｏｗ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ；Ｄｅｂｙｅ ｔｈｅｏｒｙ；ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｏｐｔｉｃｓ；ｍｉｃｒｏ—ｃｈａｎｎｅｌ 收稿日期：２０１５—０８—２８；修回日期：２０１５—１０—２１ 基金项目：国家自然科学基金（５１４０６０６８） 作者简介：宋飞虎（１９８６一），男，江苏无锡人，博士，副教授，主要从事基于光散射技术的测试技术研究。 Ｅ－ｍａｉｌ：２１４１９１０２４＠ｑｑ．ｔｏｍ ・１８・ 应用光学２０１６，３７（１）宋飞虎，等：圆形截面微通道的双一阶彩虹现象研究 引言 光散射测试技术作为光学测量领域的重要分 支，长期以来被众多专家学者深入研究［１ ］。其中， 彩虹技术源自于自然界中的彩虹现象，是一种根 据被照射液滴、液柱的散射光强分布，来实现对象 折射率、粒径等参数测量的方法ｌ５。］。目前对彩虹 技术的研究大多基于均匀球／柱体模型，即假设球 体或柱体内部的折射率处处相等 。 。然而在大 多数工业过程中，大多数对象内部的折射率并不 均一，非均匀折射率的模型更为常见［１１－１３３。双层 球／柱体模型由内外两层折射率不等的均匀介质 构成，如圆形截面微通道、光纤、附着有液膜的圆 柱等，通过双层柱体的理论可以实现直径、折射率 （表征与温度、组分浓度等相关物理量）等参数的 测量［１４－１６］。在其尺寸、折射率参数满足一定条件 时，激光入射后在内、外层的内表面分别会被反 射，这两类反射光线会分别经干涉作用后，形成该 模型特有的双一阶彩虹结构（分别称为ａ、．８彩虹）。 本文以圆形截面微通道 对象，基于几何光 学理论及Ｄｅｂｙｅ理论研究该对象产生的双一阶彩 虹现象。由于内层液体的折射率通常小于管壁材 料的折射率，当内外径满足一定条件时，光线从外 层光密介质进入内层光疏介质时会发生全反射现 象，此时双一阶彩虹不再存在。针对上述现象，通 过数值模拟研究提出内外径比的临界值，来判定 双一阶彩虹的存在。另一方面，口彩虹的光强在其 散射区域始终占主导，因此能被观测到；而随着双 层球／柱体的参数变化，ａ彩虹在某些情况下会被 其他散射结构所淹没，从而无法被观测到，故此时 Ｌｏｃｋ等人于２００１年提出的基于双一阶彩虹主峰 散射角的算法不再适用［１引。为此，本文将提出判 断ａ彩虹可观测性的方法。最后，将构建实验系 统，通过实验来验证上述判断方法的有效性。 ２ 基础理论 ２．１几何光学理论 平行光垂直照射均匀圆柱后，经一次内反射 的光线由于干涉作用，会形成一阶彩虹结构。在 双层柱体的散射问题中，入射光分别会在内外两 层的内表面经一次内反射后，形成名为ａ和 的两 类散射光线，光路示意图如图１所示。微通道由内 外两层均匀介质构成，其折射率分别为ｍ 、 ，半 径分别为ｒ 、 ，文中周围环境设为空气，其折射率 ｍ。一１．０。０ 和 分别为ａ和｜９散射光线的散射 角。图中入射角、折射角等５个重要角度，分别记 作ｒ ～ｒ ，其中叫＝ｓｉｎ（ｒ ）。当入射光线的入射位 置发生变化，ｒ ～ｒ 以及 、 随之改变，从而形成 一系列的ａ和口散射光线。这两类光线各自干涉 后分别形成ａ和 两个一阶彩虹结构。 图１ 平行光入射时。双层柱体截面处光路示意图 Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｏｆ ｔｙｐｉｃａｌ ｏｐｔｉｃａｌ ｐａｔｈ ｏｆ ｒａｙｓ ｕｎｄｅｒｇｏ。 ｉｎｇ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｃｏａｔｅｄ ｃｙｌｉｎｄｅｒ 由几何光学，可得： ｒ２＝ｒ３＋ｒ５ （１） ０ 一 一４ｒ１＋２ｒ４＋２ （２） ０ａ一丌一４ｒｌ＋２ｒ４＋４ｒ５ （３） 根据Ｓｎｅｌｌ定率： ｓｉｎ（ｒ３）＝＝＝ｓｉｎ（ｒ４）／ｍ２ （４） ｓｉｎ（ｒ１）一ｓｉｎ（ｒ２）． （５） ｍ１ 将ｓｉｎ（ｒ ）记为叫，根据余弦定理： ｓｉｎ（ｒ４）一叫 （６） ｃ 一去ｓｉｎ ＋√ 一 ・Ｊ１ ｗＺ虿 （７） 其中内外径比Ｒ—ｎ／ｒ２。根据以上关系式，ｒ１～ 均可由 、 、Ｒ、叫表示。若已知双层柱体内 外径、折射率，取一系列不同入射位置下的 进行 数值计算，可以得到 、 与入射角的关系。 ２．２ Ｄｅｂｙｅ理论 几何光学仅能单独地分析各条入射光线经一 次内反射后的散射情况，而无法准确描述各光线 之间的干涉作用。Ｍｉｅ理论系统地解决了圆柱截 面的光散射问题，从而可对散射场进行严格地数 学求解Ⅲ］。但Ｍｉｅ理论仅能全局考虑所有光线干 应用光学２０１６，３７（１）宋飞虎，等：圆形截面微通道的双一阶彩虹现象研究 ．１９． 涉结构的叠加，而无法单独分析某种或某几种散 射光线干涉形成的光强分布。Ｄｅｂｙｅ理论能将 Ｍｉｅ散射系数进行分解得到待研究光线对应的散 射系数，进而获得特定光线组合的散射光强分布。 双层柱体Ｄｅｂｙｅ散射系数的数学表达式为 “ １一 ］ （８） ｂ 一Ｊ 式中： 表示无穷级数的索引；１／２描述衍射光和 表面波分量； 为描述双层柱体折射及反射系数， 可由均匀柱体的Ｄｅｂｙｅ级数导出： Ｑ 一－＾ ２ ＋∑ （Ｒ ） （９） Ｐ１—１ Ｑ：一－＾ ３ 。＋∑ 。Ｑ 丁 （Ｒ：。 Ｑ ） ｚ （１ｏ） Ｐ２—１ 其中： 是均匀柱体散射中描述折射及反射的系 数，各项反射、折射系数的定义如图２所示； 一１ 及Ｐ 一１分别为光线在内、外层内表面上经历的 内反射（Ｒ 及Ｒ：。 ）次数 ］。以 光线为例，其光 路依次为从环境折射进入外层、从外层折射进入 内层、从内层折射进人外层、在外层经一次内反 射、从外层折射进入内层、从内层折射进入外层、 从外层折射进入环境，由此可以根据上述７个步骤 依次列出折射、反射系数，构建 光线的Ｄｅｂｙｅ散 射系数： ｎ＝、 Ｔｚ Ｔ１２Ｒ２３２ Ｔｚ Ｔ Ｔ 。 （１１） ｂ 一Ｊ 口 盘 图２双层柱体散射的Ｄｅｂｙｅ理论模型 Ｆｉｇ．２ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｄｅｂｙｅ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｉｎ ｃｏａｔｅｄ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ３ 双一阶彩虹存在及可被观测的 条件 若均匀柱体处于空气中，无论其参数如何变 化，一阶彩虹结构始终存在，仅仅是彩虹结构在形 状上发生了拉升、压缩及平移［】 。双层柱体的双 一阶彩虹的光强分布，同样受到双层球参数（ｍ ， ｍｚ，ｒ】，ｒ。）的影响，然而其前提条件为双一阶彩虹 是存在的。由于光线是从外层的光密介质进入内 层光疏介质，因此随着平行光入射双层柱体位置 的变化，在某些情况下会发生全反射现象。图３所 示为是否发生全反射的临界情况，当光线由环境 进人外层的入射角为９Ｏ。时，光线由外层进人内层 时折射角恰好为９Ｏ。。此时，在折射率ｍ 、ｍ。不变 的前提下，若Ｒ增加，将会导致全反射现象不再发 生；反之若Ｒ减小，则ｚ＇４大于某一个值，对应光线 均将因全反射而无法进入内层。根据（１）式、（４） 式～（７）式，ｒ 及ｒ４均为９Ｏ。时，内外径比的临界值 Ｒ】＝１／ｍ】 （１２） 图３是否发生全反射的临界情况 Ｆｉｇ．３ Ｃｒｉｔｉｃａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ：ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ａｎｇｌｅ ｏｆ ｒａｙ ｔｒａｎｓ。 ｍｉｔｔｊｎｇ ｉｎｔｏ ｃｏｒｅ ｉｓ ９０。ｗｈｅｎ ｉｔｓ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｇｌｅ ｉｓ ９Ｏ。 例如当 一１．３３３时，根据（１２）式计算得到 Ｒ１—０．７５０２。在不同内外径比下，当ｒ４在０～９Ｏ。 范围内时，基于几何光学理论的 、０ 如图４（ａ）、 图４（ｂ）所示。从中可以看出，当Ｒ＜０．７５０２时，全 反射现象发生后 、 不再存在。当Ｒ＝：＝０．７５０２ 时，此时正好发生如图３所示的临界情况，散射角 、 均随着入射角单调变化，因此不存在极小值， 故几何彩虹角ｏ 、０ （散射角口 、 的极小值＿２０］） 也不存在。随着Ｒ的增加，当入射角单调变化时， 散射角 、 ｐ存在极值，即几何彩虹角。基于Ｄｅ— ｂｙｅ理论，两个典型Ｒ下的散射光强分布如图５ （ａ）、图５（ｂ）所示。图５（ａ）中不存在一阶彩虹结 构，针对这一现象以ａ彩虹为例来进行解释。一阶 ａ彩虹中每个散射角处的光强是由一对散射角相 同的口光线干涉而成，如图４（ａ）中Ｒ一０．９８对 Ｒ 表示为 ．２Ｏ・ ｌ８０ 一ｌ４０ １００ 应用光学２０１６，３７（１）宋飞虎，等：圆形截面微通道的双一阶彩虹现象研究 成散射角８９．０５。上ａ彩虹的光强。因此当Ｒ＝ ０．７５０２时，散射角随入射角单调变化，不存在上述 的多对散射角相同的ａ光线，从而无法干涉形成彩 虹结构。图５（ｂ）中ａ彩虹及 彩虹均存在，这是 ｉ．ｎ 、暖 ｉｉ ｌ 箍 ６Ｏ 由于Ｒ＞Ｒ ，几何彩虹角存在，然而ａ彩虹由于其 光强较弱，会被其他散射结构淹没，从而无法被观 ２０ ４０ ６０ ８Ｏ ２０ ０ 测到。 入射角，（。） 为了研究ａ彩虹可被观测的条件，通过Ｄｅｂｙｅ （ａ）不同Ｒ下的０ 人射角 ） （ｂ）不同Ｒ下的８ 图４不同Ｒ下。基于几何学理论的双一阶彩虹分析 （ｍｌ一１．３３３，ｍ２一ｌ＿４７，ｒ２＝１ ０００ ｍ） Ｆｉ窖．４ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｗｉｎ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｗｉｔｈ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｏｐｔｉｃｓ （ｍｌ＝１．３３３。ｍ２一１．４７。ｒ２—１ ０００ ｍ） 散射角 ） （ａ）Ｒ＝０．７５０２ ８０ ｉ００ １２０ ｌ４０ 散射角 ） （ｂ）Ｒ＝０．７８ 图５在两个特征Ｒ下。基于Ｄｅｂｙｅ理论的双一阶彩虹分 析（ｍ１＝１．３３３，ｍ２＝１．４７， ＝１ ０００ ｍ） Ｆｉｇ．５ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ ｕｓｉｎｇ Ｄｅｂｙｅ ｔｈｅｏ— ｒｙ（ｍｌ—１．３３３，ｍ２＝１．４７。ｒ２ １ ０００ ｐｍ） 应曲线的几何彩虹角对应入射角为７８．５２。，当人 射角ｒ 为７６．９１。及７９．７４。（这两个角度分别在 ７８．５２。两侧）时散射角相等，这一对ａ光线干涉形 理论分析其他散射结构对ａ彩虹的干扰。图６所 示为ａ彩虹与二阶彩虹两者主峰散射角重合的特 殊情况，与Ｍｉｅ理论的结果进行比较可以看出ａ 彩虹和二阶彩虹对散射光强的贡献较大。故相比 其他散射结构，二阶彩虹为干扰ａ彩虹可被观测的 主要因素。图６中，二阶彩虹的主峰光强明显大于 ａ彩虹的主峰光强，且二阶彩虹的其余各峰的光强 与ａ彩虹的主峰光强相近，因此当这两个散射结构 在空间上重合时，ａ彩虹几乎无法被观测到。若仅 Ｒ减小而其余参数不变，口彩虹处于二阶彩虹主峰 右侧，ａ彩虹因受干扰较小而较容易被观测到，如 图７所示；反之若仅Ｒ增大，ａ彩虹处于二阶彩虹 主峰左侧，由于二阶彩虹其余各峰的干扰，ａ彩虹 很难被观测到，如图８所示。图９所示为ａ彩虹与 二阶彩虹两者主峰散射角重合时的不同微通道参 数。从中可以看出当ｍ。及ｒ 一定时，ｍ。与Ｒ间存 在近似的线性关系，而７７１。、ｒ。的值决定线性关系对 应的斜率及纵轴截距。如果参数对应点落在所绘 直线上时，ａ彩虹与二阶彩虹的主峰重合；如果参 数对应点在所绘直线上方时， 彩虹处于二阶彩虹 主峰右侧；如果参数对应点在所绘直线下方时，ａ 时 最 呆 散射角，（ｏ） 图６ ａ彩虹与二阶彩虹两者主峰的散射角重合的特 殊１青况（优１＝１．３３３，ｍ２—１．４７，ｒ１＝９５０．５“ｍ， ｒ２＝１ ０００Ⅱｍ） Ｆｉｇ．６ Ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐｅａｋｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｒａｉｎｂｏｗ ａｎｄ ａ ｒａｉｎｂｏＷ ｃｏｉｎｃｉｄｅ（ｍｌ一１．３３３， ｍ２ １．４７．ｒｌ一９５０．６ ｍ。７＂２＝１０００ ｍ） Ｏ Ｏ 应用光学２０１６，３７（１）宋飞虎，等：圆形截面微通道的双一阶彩虹现象研究 ・２３・ ［１Ｏ３ Ｈａｎ Ｘ，Ｒｅｎ Ｋ，Ｗｕ Ｚ，ｅｔ ａ１．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｉ— ｔｉａｌ ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓ ｉｎ ａ ｌｉｑｕｉｄ ｊｅｔ ｂｙ ｒａｉｎｂｏｗ ｓｉｚｉｎｇ［Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，１９９８，３７（３６）：４５７５—４５８１． ［１１］ Ｓａｅｎｇｋａｅｗ Ｓ，Ｃｈａｒｉｎｐａｎｉｔｋｕｌ Ｔ，Ｖａｎｉｓｒｉ Ｈ，ｅｔ ａ１． Ｒａｉｎｂｏｗ ｒｅｆｒａｃｔｒｏｍｅｔｒｙ ｏｎ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｗｉｔｈ ｒａｄｉａｌ ｒｅ— ｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎ Ｆｌｕｉｄｓ， ２００７，４３（４）：５９５－６０１． ［１２］ Ｍａｓｓｏｌｉ Ｐ．Ｒａｉｎｂｏｗ ｒｅｆｒａｃｔｏｍｅｔｒｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｒａｄｉａｌｌｙ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｓｐｈｅｒｅｓ：ｔｈｅ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｃａｓｅ ｏｆ ｅｖａｐｏｒａ— ｉｒｎｇ ｄｒｏｐｌｅｔｓ Ｉｓ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，１９９８，３７（１５）： ３２２７—３２３５． ［１３］ Ｒｏｓａｒｉａ Ｍ，Ｂｅｅｃｋ Ｊ Ｖ Ｐ，Ｒｉｅｔｈｍｕｌｌｅｒ Ｍ Ｌ．Ａｓｓｅｓｓ－ ｍｅｎｔ ｏｆ ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ ｉｎｄｅｘ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ ｂｙ ｓｔａｎｄａｒｄ ｒａｉｎ— ｂｏｗ ｔｈｅｒｍｏｍｅｔｒｙ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，２００５，４４ （３４）：７２７５－７２８１． ［１４］ Ｌｉ Ｒ。Ｈａｎ Ｘ，Ｊｉａｎｇ Ｈ．Ｄｅｂｙｅ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ ｌｉｇｈｔ ｓｅａｔ— ｔｅｒｉｎｇ ｂｙ ａ ｍｕｈｉｌａｙｅｒｅｄ ｓｐｈｅｒｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ， ２００６，４５（６）：１２６０—１２７０． ［１５］ Ｌｏｃｋ Ｊ Ａ，Ｊａｍｉｓｏｎ Ｊ Ｍ，Ｌｉｎ Ｃ Ｙ．Ｒａｉｎｂｏｗ ｓｃａｔｔｅｒ— ｉｎｇ ｂｙ ａ ｃｏａｔｅｄ ｓｐｈｅｒｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，１９９４，３３ （２１）：４６７７—４６９０． ［１６］Ａｄｌｅｒ Ｃ Ｌ，Ｌｏｃｋ Ｊ Ａ，Ｎａｓｈ Ｊ Ｋ，ｅｔ ａ１．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｉｎｂｏｗ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｂｙ ａ ｃｏａｔｅｄ ｃｙｌｉｎ— ｄｅｒ：ｔｗｉｎ ｐｒｉｍａｒｙ ｒａｉｎｂｏｗｓ ａｎｄ ｔｈｉｎ－ｆｉｌｍ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ［Ｊ３．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，２００１，４０（９）：１５４８—１５５８． ［１７］Ｌａｖｅｎ Ｐ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｉｎｂｏｗｓ，ｃｏｒｏｎａｓ ａｎｄ ｇｌｏｒｉｅｓ ｕｓｉｎｇ Ｍｉｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ Ｄｅｂｙｅ ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ Ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ＆Ｒａｄｉａｔｉｖｅ Ｔｒａｎｓｆｅｒ， ２００４，８９（１—４）：２５７—２６９． ［１８］Ｌｉ Ｒ，Ｈｅｎ Ｘ，Ｓｈｉ Ｌ，ｅｔ ａ１．Ｄｅｂｙｅ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｂｙ ａ ｍｕｌｔｉｌａｙｅｒｅｄ ｓｐｈｅｒｅ［Ｊ］．Ａｐ— ｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，２００７，４６（２１）：４８０４—４８１２． Ｅｌ９］Ｂｅｅｅｋ Ｊ Ｐ Ｖ，Ｒｉｅｔｈｍｕｌｌｅｒ Ｍ Ｌ．Ｎｏｎｉｎｔｒｕｓｉｖｅ ｍｅａｓ— ｕｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｓｉｚｅ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ ｆａｌｌｉｎｇ ｒａｉｎｄｒｏｐｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｃｓ，１９９５，３４（１０）：１６３３— １６３９． ［２Ｏ］Ｗａｎｇ Ｒ Ｔ，Ｈｕｌｓｔ Ｈ Ｃ Ｖ Ｄ．Ｒａｉｎｂｏｗｓ：Ｍｉｅ ｃｏｍｐｕ— ｔａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ａｉｒｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐ— ｔｉｃｓ，１９９１，３Ｏ（１）：１Ｏ６—１１７．
