含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总

含参量反常积分的一致收敛判别法及推广

作者：蒋碧希 指导老师：张海

摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性

质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.

关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛

1 引言

对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.

2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义

设函数f(x,y)定义在无界区域R{(x,y)|axb,cy}上，若对每一个固定的x[a,b]，反常积分

cf(x,y)dy (1)

都收敛，则它的值是x在[a,b]上取值的函数，当这个函数为I(x)时，则有

I(x)cf(x,y)dy,x[a,b], (2)

称(1)式为定义在[a,b]上的含参量x的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.

2.2 含参量反常积分的一致收敛概念

若含参量反常积分(1)与I(x)对任给的正数，总存在某一实数Nc，使得当MN时，对一切x[a,b]，都有

即

Mcf(x,y)dyI(x) ,

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Mf(x,y)dy ，

则称含参量反常积分(1)在[a,b]一致收敛于I(x)，或简单地说含参量积分(1)在[a,b]上一致收敛.

2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则

含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任給的正数，总存在某一实数Mc，使得当A1,A2M时，对一切x[a,b]，都有

A2A1f(x,y)dy , (3)

证明 （必要性） 由于含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛，则 对

0,M0,A1,A2M时，使得x[a,b]时，有

且

A1f(x,y)dy,

2f(x,y)dy

2由

A2A2A1f(x,y)dyA1f(x,y)dyf(x,y)dy2

A2f(x,y)dy

A1A2f(x,y)dy

2可知：0,M0，当A1,A2M时， 有

 x[a,b]，都有

A2A1f(x,y)dy.

（充分性) 因为0，总存在某一实数Mc，使得A1,A2M时，对一切

 当A2时，有

A2A1f(x,y)dy,

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故

A1f(x,y)dy 成立.

在[a,b][A1,)上是一致收敛的. 又因为

A1f(x,y)dy

其中

cf(x,y)dyf(x,y)dycA1A1f(x,y)dy,

A1cf(x,y)dy是含参量正常积分，故一致收敛.

c 所以

f(x,y)dy在[a,b][c,)上是一致收敛的.

2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系

定理2.4.1 含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列{An}（其中A1c），函数项级数

n1An1Anf(x,y)dyun(x) (4)

n1在[a,b]上一致收敛.

证明 (必要性）由(1)在[a,b]上一致收敛，故对任给0，必存在Mc，使当

A\"A'M时，对一切x[a,b]，总有

A\"A'f(x,y)dy. (5)

又由An(n)，所以对正数M,存在正整数N,只要当mnN时，就有

AmAnM.由(5)对一切x[a,b]，就有

un(x)um(x) Am1AmAm1f(x,y)dyAn1Anf(x,y)dy

Anf(x,y)dy.

这就证明了级数(4)在[a,b]上一致收敛.

(充分性) 用反证法.假若(1)在[a,b]上不一致收敛，则存在某个正数0，使得

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'\"'对于任何实数Mc，存在相应的AAM和x[a,b]，使得

A\"'Af(x',y)dy0,

现取M1max{1,c}，则存在A2A1M1及x1[a,b]，使得

A2A1f(x1,y)dy0

一般的，取Mnmax{n,A2n1}(n2)，则有A2nA2n1Mn及xn[a,b]，使得

A2nA2n1f(xn,y)dy0 (6)

n由上述所得到的数列{An}是递增数列，且limAn.现在考察级数

un(x)n1n1An1Anf(x,y)dy

由(6)式知存在正数0，对任何正整数N,只要nN,就有某个xn[a,b]，使得

u2n(xn)A2n1A2nf(xn,y)dy0

这与级数(4)在[a,b]上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛

2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法

定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯M判别法）设有函数，使得

f(x,y)g(y),axb,cy

若

cg(y)dy收敛，则cf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛.

定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设

(1) 对一切实数Nc，含参量正常积分

Ncf(x,y)dy

对参量x在[a,b]上一致有界，即存在正数M,对一切Nc及一切x[a,b]，都有

Ncf(x,y)dyM;

(2) 对每一个x[a,b]，函数g(x,y)关于y是单调递减且当y时，对参量

x,g(x,y)一致的收敛于0，则含参量反常积分

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在[a,b]上一致收敛.

cf(x,y)g(x,y)dy

定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设

(1)

cf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛；

(2) 对每一个x[a,b]，函数g(x,y)为y的单调函数，且对参量x,g(x,y)在[a,b]上

一致有界，则含参量反常积分

在[a,b]上一致收敛.

cf(x,y)g(x,y)dy

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2.6 含参量无穷限反常积分的性质

定理2.6.1 （连续性） 设f(x,y)在[a,b][c,)上连续，若反常积分

I(x)cf(x,y)dy (7)

在[a,b]上一致收敛，则I(x)在[a,b]上连续.

证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于的数列{An}(A1c)，函数项级数

I(x)n1An1Anf(x,y)dyun(x) (8)

n1在[a,b]上一致收敛.又由于f(x,y)在[a,b][c,)上连续，故每个un(x)都在[a,b]上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数I(x)在[a,b]上连续.

定理2.6.2 （可微性） 设 f(x,y)与fx(x,y)在区域[a,b][c,)上连续，若

I(x)cf(x,y)dy在[a,b]上收敛，cfx(x,y)dy在[a,b]上一致收敛，则I(x)在[a,b]上可微，且

' I(x)cfx(x,y)dy (9)

证明 对任一递增且趋于的数列{An}(A1c)，令

un(x)则

An1Anf(x,y)dy

unx'An1Anfx(x,y)dy

由

cfxx,ydy在[a,b]上一致收敛及定理1，可得函数项级数

un(x)'n1n1An1Anfx(x,y)dy

在[a,b]上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得

Ixux''nn1n1An1Anfxx,ydycfxx,ydy

定理

2.6.3 （可积性） 设fx,y在[a,b][c,)上连续，若Ixcfx,ydy在

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[a,b]上一致收敛，则Ix在[a,b]上可积，且

dxabcfx,ydydyfx,ydx

cab证明 由定理2.6.1知道Ix在[a,b]上连续，从而Ix在[a,b]上可积.

又由定理2.6.1的证明中可以看到，函数项级数8在[a,b]上一致收敛，且各项unx在

[a,b]上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有

baI(x)dxun(x)dxdxn1an1abbAn1Anf(x,y)dy

n1An1Andyfx,ydx (10)

ab这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作

baIxdxdyfx,ydx

cab定理2.6.4设fx,y在[a,)[c,)上连续，若 (1)

afx,ydx关于y在任何闭区间[c,d]上一致收敛，cfx,ydy关于x在任何

闭区间[a,b]上一致收敛； (2)积分

中有一个收敛， 则

adxcfx,ydy与cdyafx,ydx

adxcfx,ydydycafx,ydx

3 含参量瑕积分一致收敛判别法 3.1 含参量瑕积分的定义

设fx,y在区域[a,b][c,d)上有定义，若对x的某些值，yd为函数fx,y的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称

fx,ydy (11)

cd 为含参量x的瑕积分.

3.2 含参量瑕积分一致收敛定义

对任给的正数，总存在某正数dc，使得当0时，对一切x[a,b]，

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都有

ddfx,ydy

则称含参量瑕积分(11)在[a,b]上一致收敛.

3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法

定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分

dfx,ydy

c在a,b上一致收敛的充要条件是：对任给正数，存在不依赖于x的0，使得当

0'时，对一切xa,b，都有

d'dfx,ydy (12)

证明 (必要性）由(11)在a,b上一致收敛，故对任给的0(dc)，存在0，使得0时，有 同时成立，则有

'ddfx,ydy与

2d'df(x,y)dy

2d'dfx,ydyddf(x,y)dydd'fx,ydy

ddf(x,y)dydd'f(x,y)dy

（充分性）由所给条件知：对任给正数，存在不依赖于x的0(dc)，使得当0时，对一切x[a,b]，都有

'成立.

'令0，则有

d'dfx,ydy

成立.

ddf(x,y)dy

由定义知：含参量瑕积分(11)在[a,b]上一致收敛.

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定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯M判别法）设有函数g(y)，使得

fx,yg(y),axb,cyd (13) 若

dcg(y)dy收敛，则含参量瑕积分f(x,y)dy在[a,b]上一致收敛.

cd证明 因为

dcg(y)dy收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的0，存

'在0(dc)，对于任意的,'，且0，有 又由(13)可得

|d'dg(y)dy

d'df(x,y)dy|d'd|f(x,y)|dyd'dg(y)dy

故由定理3.3.1知：含参量瑕积分

dcf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛.

定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分

dcf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛的充要条

件是：对任意递增数列{An}(A1c),And(n)时，相应的函数项级数

n1An1Anf(x,y)dyun(x) (14)

n1在[a,b]上一致收敛.

证明 （必要性）因为(11)在[a,b]上一致收敛，由定理5知：对任给的0，必存在0(dc)，当0时，对一切x[a,b]，总有

成立.

令ndAn，由And(n)且An递增，则n0(n)且递减.由数列极限定义，对上述0，存在正整数N，只要mnN时，就有0mn，于是

'ddf(x,y)dy (15)

un(x)un1(x)um(x) An1AnAm1f(x,y)dyf(x,y)dy

Am1Amf(x,y)dy

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dm1 dnf(x,y)dy

根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数(14)在[a,b]上一致收敛.

（充分性） 用反证法，假设(11)在[a,b]上非一致收敛，则存在某一正数00，使得0(dc)，存在相应的0和x[a,b]，有

ddf(x,y)dy0

现取1min{1,dc}，则存在0211及x1[a,b]，使得

d2d1f(x1,y)dy0

一般的取nmin{,n1n}(n2)，则有0n1nn及xn[a,b]，使得

1ndn1dnf(x,y)dy0 (16)

n令Andn，则{An}是递增数列，且有limAnd.考察级数

un(x)n1n1An1Anf(x,y)dy (17)

由(16)式知存在正数00，对任意正整数N，只要nN就有某个xn[a,b]，使

un(x)An1Anf(xn,y)dy0

这与函数项级数(14)在[a,b]上一致收敛的条件矛盾，故(1)在[a,b]上一致收敛.

定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分

满足：

dcf(x,y)g(x,y)dy

d (1)对一切cdd，含参量正常积分

cf(x,y)dy对参量x在[a,b]上一有界，即

存在正数M，对任何cdd及一切x[a,b]，有

致收敛于0.则含参量瑕积分

dcf(x,y)M

(2)对每一个x[a,b]，函数g(x,y)关于y单调且当yd时，对参量x,g(x,y)一

dcf(x,y)g(x,y)dy

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在[a,b]上一致收敛.

定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分

满足：

(1)含参量瑕积分

dcf(x,y)g(x,y)dy

在[a,b]上一致收敛；

dcf(x,y)dy

(2)对每一个x[a,b]，函数g(x,y)为y的单调函数，且对参量x,g(x,y)在[a,b]上一致有界，则含参量瑕积分

在[a,b]上一致收敛.

dcf(x,y)g(x,y)dy

定理3.3.6 设f(x,y)在[a,b][c,d)上连续，对任何x[a,b],dcf(x,y)dy收敛，且

dcf(b,y)dy发散，则f(x,y)dy在[a,b)上不一致收敛.

cd证明 用反证法.若

dcf(x,y)dy在[a,b)上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的

0，存在0(dc)，当0时，对一切x[a,b)有

xb，有

ddf(x,y)

根据假设f(x,y)在[a,b][d,d]上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令

这与假设含参量瑕积分

ddf(b,y)dy

dcf(b,y)dy发散矛盾.故

在[a,b)上不一致收敛.

dcf(x,y)dy

4 典型例题

例4.1 证明含参量反常积分

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

在(,)上一致收敛.

证明 由于对任何实数y有

0cosxydx (18) 1x2cosxy1，

1x21x2及反常积分

例4.2 证明含参量反常积分

在[0,d]上一致收敛.

证明 由于反常积分函数g(x,y)exy0dx 21x收敛，故由魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分(18)在(,)上一致收敛.

0exysinxdx (19) x0sinxdx收敛（当然，对于参量y，它在[0,d]上一致收敛），x对每个y[0,d]单调，且对任何0yd,x0都有

g(x,y)exy1

故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(19)在[0,d]上一致收敛.

例4.3 证明含参量瑕积分

在(0,1)上一致收敛.

证明 因为

1sinxyyx0dy(x(0,1))

所以对于含参量瑕积分

1sinxyyx0dyx01sinxysinxydydy

xxyyx由于

x0sinxydy， xyxxxsinxysinxydy

xxyxy 共 15 页 第 12 页

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故对于任给的0，取12xx1dy2 xy4，当01时，即有

因此，对于0x1它是一致收敛的. 对于积分

xxsinxy xy由于

1xsinxydy yxxx2xsinxydyxyxdy2 yx故对于任给的0，取14，当01时，即有

xxsinxydy yx因此，对于0x1它是一致收敛的.于是积分

对于x(0,1)一致收敛.

例4.4 证明含参量瑕积分证明 由条件可知

1sinxyyx0dy

1ln(xy)dy[,b](b0)上一致收敛. 在0b1ln(xy)lnxlny

lnxlny

lnblny 而

ln(xy)dy

01收敛.所以由魏尔斯特拉斯M判别法知：

ln(xy)dy

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在[,b](b1)上一致收敛.

例4.5 证明含参量瑕积分

1b在[0,d]一致收敛.

证明 由于

10exy1dy y101dy y收敛（当然，对于参量x，它在[0,d]上一致收敛）. 函数g(x,y)exy，对每个x[0,d]单调，且对任何0xd,0y1，都有

g(x,y)exy1，故由阿贝尔判别法知

在[0,d]上一致收敛.

10exy1dy y结束语

本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义,性质及其一致收敛性判别定理.然后参照含参量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理.最后结合典型例题说明这些定理在实际解题中的运用.

参考文献

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[5] 裴礼文,数学分析中典型问题与方法[M],北京高等教育出版社,1993.

[6] Tom M. Apostol,Mathematical Analyses [M], Beijing China Machine Press, 2004.

Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter Improper

Integral

Author:Jiang Bixi Supervisor: Zhang Hai

Abstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improper

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integral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral with parameters.Finally,some typical examples are given to illuminate the applications of the theorems.

Keywords improper integral with parameters flaw integral with parameters uniform convergence

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