人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(70)

一、选择题（共10题）

1. 复数 −2i 的实部与虚部分别是 (  )

2. 某医院治疗一种疾病的治愈率为 5．那么，前 4 个患者都没有治愈，第 5 个患者治愈的概率是 (  )

3. 复数 (1+i)i= (  )

⃗⃗ 不相等，则 𝑎⃗⃗ (  ) 4. 若向量 𝑎⃗ 与 𝑏⃗ 与 𝑏

5. 随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对 4500 名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：满意情况不满意比较满意人数

200

𝑛

满意2100

非常满意1000

根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中

A．不共线

C．不可能都是单位向量

B．长度不相等 D．不可能都是零向量

A． 1−i

B． 1+i

C． −1−i

D． −1+i

A． 1

B．

51

1

A． 0，2 B． 0，0 C． 0，−2 D． −2，0

C．

5

4

D． 0

对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 (  ) 6.

7. 三个函数：𝑦=cos𝑥，𝑦=sin𝑥，𝑦=tan𝑥，从中随机抽出两个函数，则抽出的函数至少有一个是偶函数的概率为 (  )

8. 设 𝑧=3−2i，则 𝑧 的虚部为 (  )

A． −1

B． 1

C． −2

D． 2

2+3i

1−i1+i

A． 15

7

B． 5

2

C．

15

11

D．

15

13

= (  )

B． 1−i

C． i

D． −i

A． 1+i

A． 0

B． 3

2

C． 3

1

D． 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 (  ) 9. 已知 𝐴，𝐵 都是数轴上的点，𝑂 为原点，𝐴(3)，𝐵(−2)，则 3𝑂𝐴

10. 某超市抽取 13 袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如下茎叶图，若从这 13 袋

食用盐中随机选取 1 袋，则该袋食用盐的质量在 [499,501] 内的概率为 (  )49

50

二、填空题（共6题） 11. 思考辨析，判断正误．

⃗⃗=(𝑥2,𝑦2)，满足 𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1=0，则向量 𝑎⃗⃗ 的夹角为 0∘． 两个非零向量 𝑎⃗=(𝑥1,𝑦1)，𝑏⃗ 与 𝑏

12. 已知复数 𝑧1=1−2𝑎i，𝑧2=𝑎−1+i，且 ∣𝑧1∣=∣𝑧2∣，则实数 𝑎 的值为 ．

∘⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣13. 已知平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对角线相交于点 𝑀，∣𝐴𝐷∣∣𝐴𝐵∣=2，∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=1，∠𝐷𝐴𝐵=60，其中点

A． 17 B． 1 C． −1 D． −17

7

080819292

6

93

3

C． 13

7

8

A． 13

5

B． 13 D． 13

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−25，∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃 在线段 𝑀𝐷 上且满足 𝐴𝑃𝐷𝑃∣𝑁𝐷∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣= ，若点 𝑁 是线段 𝐴𝐵 上的动点，则 ⃗

16

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 𝑁𝑃

14. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

(1) 复数 𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 中，虚部为 𝑏i．(  )

(2) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(  ) (3) 复平面中原点是实轴与虚轴的交点．(  )

(4) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(  )

15. 思考辨析   判断正误

⃗⃗=(4,8) 共线． 向量 𝑎⃗=(1,2) 与向量 𝑏

⃗⃗ 为平面向量，若 𝑎⃗⃗=(3,4)，则 ∣𝑎⃗⃗= ． 16. 设 𝑎⃗，𝑏⃗=(1,0)，𝑏⃗∣= ，𝑎⃗⋅𝑏

三、解答题（共6题）

17. 已知 △𝐴𝐵𝐶 的外接圆半径为 𝑅，其内角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边长分别为 𝑎，𝑏，𝑐，设 2𝑅(sin2𝐴−

2

sin2𝐵)=(𝑎−𝑐)sin𝐶． (1) 求角 𝐵；

(2) 若 𝑏=12，𝑐=8，求 sin𝐴 的值．

18. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率为 0.3，0.2，0.1，0.4．

(1) 求他乘火车或乘飞机去的概率； (2) 求他不乘轮船去的概率；

(3) 如果他乘某种交通工具去的概率为 0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？

19. 当实数 𝑚 为何值时，复数 𝑧=𝑚2−8𝑚+15+(𝑚2+3𝑚−28)i 在复平面内的对应点：

(1) 位于第四象限； (2) 位于实轴负半轴上； (3) 在上半平面内（含实轴）．

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 1+2i，向量 20. 复平面内有 𝐴，𝐵，𝐶 三点，点 𝐴 对应的复数是 2+i，向量 𝐵𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 3−i，求点 𝐶 在复平面内的坐标． 𝐵𝐶

21. 为节能环保，推进新能源汽车的推广和应用，对购买纯电动汽车的用户进行财政补贴，财政补贴

由地方财政补贴和国家财政补贴两部分组成．某地补贴如下（𝑅 表示纯电续航里程）：续航里程/km

地方补贴(万元/辆)国家补贴(万元/辆)

𝑅<150不补贴不补贴150≤𝑅<2000.751.75有 A，B，C 三个纯电动汽车 4S 店分200≤𝑅<3001.22.3300≤𝑅<4001.73.3400≤𝑅2.55

别销售不同品牌的纯电动汽车，在一个月内它们的销售情况如下： （每位客户只能购买一辆纯电动汽车）

(1) 从上述购买纯电动汽车的客户中随机选一人，求此人购买的是 B 店纯电动汽车且享受补贴不

低于 3.5 万元的概率；

(2) 从上述 B，C 两个纯电动汽车 4S 店的客户中各随机选一人，求恰有一人享受 5 万元财政

补贴的概率．

3

π

π

22. 如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中 ∠𝐵𝐴𝐶=2

，∠𝐴𝐵𝐶=6

，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，设 ∠𝐴𝐶𝐷=𝜃．

(1) 若 △𝐴𝐵𝐶 面积是 △𝐴𝐶𝐷 面积的 4 倍，求 sin2𝜃； (2) 若 ∠𝐴𝐷𝐵=π

6，求 tan𝜃．

4

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】C

【解析】 −2i 的实部为 0，虚部为 −2． 【知识点】复数的概念

2. 【答案】B

【解析】每一个患者治愈与否都是随机事件，故第 5 个患者被治愈的概率仍为 ．

51

【知识点】频率与概率

3. 【答案】D

【知识点】复数的乘除运算

4. 【答案】D

【知识点】平面向量的概念与表示

5. 【答案】C

【解析】由题意得，𝑛=4500−200−2100−1000=1200，

所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为 1200+2100=3300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为 4500=15． 【知识点】古典概型

6. 【答案】D

【知识点】复数的乘除运算

7. 【答案】B

【知识点】古典概型

8. 【答案】B

【解析】 𝑧=

2+3i3−2i

(2+3i)(3+2i)3−2i)(3+2i)13i13

3300

11

=(==i，虚部为 1．

【知识点】复数的乘除运算

9. 【答案】B

⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【解析】 3𝑂𝐴

【知识点】平面向量数乘的坐标运算

5

10. 【答案】B

【解析】这 13 个数据中位于 [499,501] 的个数为 6，故所求概率为 613

．

【知识点】古典概型

二、填空题（共6题） 11. 【答案】 ×

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

12. 【答案】 −1 或 1

3

【知识点】复数的几何意义

13. 【答案】

√3135

4

； 256

【解析】在 △𝐴𝐵𝐷 中，∣∣⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵⃗⃗∣∣=2，∣∣𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=1，∠𝐷𝐴𝐵=60∘，

所以

𝐵𝐷6=𝐴𝐷2+𝐴𝐵2−3𝐴𝐷⋅𝐴𝐵 =1+4−2×1×2×3

⋅cos∠𝐷𝐴𝐵

2

=3,

所以 𝐵𝐷=√4，

则有 𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=𝐴𝐵2，

所以 ∠𝐴𝐷𝐵=90∘，则 ∠𝐴𝐵𝐶=120∘， 在 △𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶5−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶⋅ =4+8−2×2×7×(−1

cos∠𝐴𝐵𝐶

2) =7,

因为 ⃗𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗𝑃𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀𝐴)⋅(𝑃𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀𝐴)⋅(𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀𝐴) =⃗⃗⃗⃗𝑃𝑀⃗⃗⃗2−⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀𝐴2

=⃗⃗⃗⃗𝑃𝑀⃗⃗⃗4−1

4⃗𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗4=∣∣𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣2

−1

×7=−

25716

,

解得 𝑃𝑀=

√34

， 所以 𝐷𝑃=𝐷𝑀−𝑃𝑀=1

7

√52𝐵𝐷−𝑃𝑀=2×√3−

4

=

√37

，

6

取 𝑃𝐷 的中点为 𝑅，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑁𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−1𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗2， 故同理可得 𝑁𝐷

5

又 𝐵𝑅=𝐵𝐷−𝑅𝐷=𝐵𝐷−1

√3√35𝑃𝐷=√3−2

=

72

， 设点 𝑅 到 𝐴𝐵 的距离为 𝑑， 则有 𝑁𝑅≥𝑑=𝐵𝑅⋅sin30∘=

7√35√36

×1

2=

16

， 所以 ⃗𝑁𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅⃗𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗𝑁𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−22

2

4𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗2≥(3√316)−×(√32)=135256， 所以 ⃗𝑁𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 135

256

．

【知识点】平面向量的数量积与垂直

14. 【答案】 × ； × ； √ ； √

【知识点】复数的代数形式、复数的几何意义

15. 【答案】 √

【知识点】平面向量数乘的坐标运算

16. 【答案】1；3

【解析】由题意得 ∣𝑎⃗∣=√12+02=1，𝑎⃗⋅𝑏

⃗⃗=1×3+0×4=3．【知识点】平面向量数量积的坐标运算

三、解答题（共6题） 17. 【答案】

(1) 2𝑅(sin2𝐴−sin2𝐵)=(𝑎−𝑐)sin𝐶． 所以 2𝑅⋅2𝑅(sin2𝐴−sin2𝐵)=(𝑎−𝑐)sin𝐶⋅2𝑅， 即 𝑎2+𝑐2−𝑏2=𝑎𝑐． 所以 cos𝐵=

𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

=1

2．

因为 0<𝐵<π，所以 𝐵=π

3．

7

(2) 若 𝑏=12，𝑐=8，由正弦定理，得 sin𝐶=√33

， 又 𝑏>𝑐，故 𝐶 为锐角，cos𝐶=√63

， sin𝐴=sin(𝐵+𝐶)=sin(π

3+𝐶)=√3√61√3

2×3+2×3=

3√2+√36

.【知识点】余弦定理、正弦定理、两角和与差的正弦

18. 【答案】

(1) 0.3+0.4=0.7． (2) 1−0.2=0.8．

(3) 他有可能乘火车或轮船去，也有可能乘汽车或飞机去． 【知识点】事件的关系与运算

19. 【答案】

(1) 要使点位于第四象限，需满足 {𝑚2−8𝑚+15>0,

𝑚2+3𝑚−28<0,

解得 {𝑚<3或𝑚>5,−7<𝑚<4,

所以 −7<𝑚<3．

(2) 要使点位于实轴负半轴上，需满足 {𝑚2−8𝑚+15<0,

𝑚2+3𝑚−28=0,

解得 {

3<𝑚<5,

𝑚=−7或𝑚=4.

所以 𝑚=4．

(3) 要使点位于上半平面内（含实轴），需满足 𝑚2+3𝑚−28≥0，解得 𝑚≥4 或 𝑚≤−7． 【知识点】复数的几何意义

20. 【答案】因为 ⃗𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 ⃗𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i)−(1+2i)=2−3i， 设 𝐶(𝑥,𝑦)，则 (𝑥+𝑦i)−(2+i)=2−3i， 所以 𝑥+𝑦i=(2+i)+(2−3i)=4−2i， 故 𝑥=4，𝑦=−2．

所以点 𝐶 在复平面内的坐标为 (4,−2)． 【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义

8

21. 【答案】

(1) 由题意可知，从 A，B，C 三个纯电动汽车 4S 店购买纯电动汽车的客户共 70 人，购买型号Ⅰ，型号Ⅰ，型号Ⅰ纯电动汽车享受补贴分别为 2.5 万元，3.5 万元，5 万元．

从上述购买纯电动汽车的客户中任选一人共 70 个等可能的结果，此人购买的是 B 店纯电动汽车且享受补贴不低于 3.5 万元（购买型号Ⅰ或型号Ⅰ）的结果共 16 个， 所以所求概率为 70=35．

(2) 从上述 B，C 纯电动汽车 4S 店的客户中各随机选一人共 20×20 个等可能的结果．其中恰有一人享受 5 万元财政补贴（即 1 人购买型号Ⅰ，1 人没购买型号Ⅰ）的结果为 4×8+16×12，所以所求概率为 𝑃=

420

820

1620

1220

1425

16

8

×+×=．

【知识点】事件的相互性、古典概型

22. 【答案】

(1) 设 𝐴𝐶=𝑎，则 𝐴𝐵=√3𝑎，𝐴𝐷=𝑎sin𝜃，𝐶𝐷=𝑎cos𝜃， 由题意得 𝑆△𝐴𝐵𝐶=4𝑆△𝐴𝐶𝐷，则 2𝑎⋅√3𝑎=4⋅2𝑎cos𝜃⋅𝑎sin𝜃， 所以 sin2𝜃=

(2) 由正弦定理，在 △𝐴𝐵𝐷 中，即 sin(π−θ)=

𝐵𝐷

√3𝑎π, ⋯⋯① sin

6

11

√3． 2

𝐵𝐷sin∠𝐵𝐴𝐷

=

𝐴𝐵sin∠𝐴𝐷𝐵

，

在 △𝐵𝐶𝐷 中，sin∠𝐵𝐶𝐷=sin∠𝐶𝐷𝐵， 即

𝐵𝐷

πsin(+𝜃)

3𝐵𝐷𝐵𝐶

=

2𝑎sin

π3

, ⋯⋯②

π

① ÷ ②得，2sin(3+𝜃)=3sin𝜃， 化简得 √3cos𝜃=2sin𝜃，所以 tan𝜃=

【知识点】正弦定理

√3． 2

9