一、选择题（共10题）
1. 在三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝑀，𝑁 分别为 𝐴𝐶，𝐵1𝐶1 的中点，𝐸，𝐹 分别为 𝐵𝐶，𝐵1𝐵 的中点，则直线 𝑀𝑁 与直线 𝐸𝐹，平面 𝐴𝐵𝐵1𝐴1 的位置关系分别为 ( )
2. 已知数据 𝑥1，𝑥2，⋯，𝑥10，2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 𝑥1，𝑥2，⋯，𝑥10 相对于原数据 ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆(𝐴𝐵+𝐴𝐶)，𝜆∈(0,+∞)，则 △𝐴𝐵𝐶 3. 已知 𝐴，𝐵，𝐶 是平面内不共线的三个点，若 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣𝐴𝐵∣𝐴𝐶一定是 ( )
4. 如图，在边长为 2 的正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐸，𝐹 分别为 𝐵𝐶，𝐶𝐷 的中点，𝐻 为 𝐸𝐹 的中点，沿 𝐴𝐸，𝐸𝐹，𝐹𝐴 将正方形折起，使 𝐵，𝐶，𝐷 重合于点 𝑂．在构成的四面体 𝑂𝐴𝐸𝐹 中，下列说法错误的是 ( )
A．直角（非等腰）三角形 C．等边三角形
B．等腰（非等边）三角形 D．锐角（非等腰）三角形
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
A．平行、平行 B．异面、平行 C．平行、相交 D．异面、相交
A．一样稳定 C．变得比较不稳定
B．变得比较稳定 D．稳定性不可以判断
⃗⃗⃗⃗ =3𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 ( ) 5. 如图，𝐴𝐵，𝐶𝐷 是半径为 1 的圆 𝑂 的两条直径，⃗𝐴𝐸
A． 𝐴𝑂⊥平面𝐸𝑂𝐹
B．直线 𝐴𝐻 与平面 𝐸𝑂𝐹 所成角的正切值为 2√2
C．四面体 𝑂𝐴𝐸𝐹 的内切球的表面积为 π D．异面直线 𝑂𝐻 与 𝐴𝐸 所成角的余弦值为
√10 10
⃗ )=∣𝑎⃗ ∣ 为两个向量 𝑎⃗ 间的“距离”，若向量 𝑎⃗ 满足：① ∣𝑏⃗ ∣=1；② 6. 定义 𝑑(𝑎 ,𝑏 −𝑏 ，𝑏 ，𝑏
⃗ ；③对任意的 𝑡∈𝐑，恒有 𝑑(𝑎⃗ )≥𝑑(𝑎⃗ )，则 ( ) 𝑎 ≠𝑏 ,𝑡𝑏 ,𝑏
⃗ ⃗ ) A．𝑎 ⊥𝑏B．𝑎 ⊥(𝑎 −𝑏⃗ ⊥(𝑎⃗ ) C．𝑏 −𝑏
⃗ )⊥(𝑎⃗ ) D．(𝑎 +𝑏 −𝑏
A． −5
4
B． −16
15
C． −4
1
D． −8
5
7. 在国庆阅兵中，某兵种 𝐴，𝐵，𝐶 三个方阵按一定次序通过台，若先后次序是随机排定的，则 𝐵 先于 𝐴，𝐶 通过的概率为 ( )
8. 如图，正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 的棱长为 1，线段 𝐴𝐶1 上有两个动点 𝐸，𝐹，且 𝐸𝐹=出下列四个结论： ① 𝐶𝐸⊥𝐵𝐷；
② 三棱锥 𝐸−𝐵𝐶𝐹 的体积为定值；
③ △𝐵𝐸𝐹 在底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 内的正投影是面积为定值的三角形 ④ 在平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 内存在无数条与平面 𝐷𝐸𝐴1 平行的直线 其中，正确结论的个数是 ( )
√3．给3
A． 6
1
B． 3
1
C． 2
1
D． 3
2
9. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为𝑂1，𝑂2，过直线𝑂1𝑂2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8
2
A．1 B．2 C．3 D．4
的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12√2π
B．12π
C．8√2π
√5𝑏，𝐴2
D．10π
10. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边分别是 𝑎，𝑏，𝑐 若 𝑎=
二、填空题（共6题）
A．
√5 3
=2𝐵，则 cos𝐵= ( ) D．
√5 6
B．
√5 4
C．
√5 5
11. 已知三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 外接球的表面积为 15π，△𝐴𝐵𝐶 是边长为 3 的等边三角形，且
平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵，则三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 体积的最大值为 ．
12. 复数相等的充要条件
设 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 都是实数，则 𝑎+𝑏i=𝑐+𝑑i⇔ ，𝑎+𝑏i=0⇔ ．
13. 如图，平面上有四个点 𝐴，𝐵，𝑃，𝑄，其中 𝐴，𝐵 为定点，且 𝐴𝐵=√3，𝑃，𝑄 为动点，满足关
系 𝐴𝑃=𝑃𝑄=𝐵𝑄=1，若 △𝐴𝑃𝐵 和 △𝑃𝑄𝐵 的面积分别为 𝑆，𝑇，则 𝑆2+𝑇2 的最大值为 ．
14. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．
⃗⃗⃗⃗ =3𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则 𝐴𝐵15. 如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，已知 𝐴𝐵=8，𝐴𝐷=5，⃗𝐶𝑃𝐴𝐷
的值是 ．
1
⃗ 16. 已知单位向量 ⃗𝑒⃗⃗ 𝑒⃗ =3𝑒⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑒⃗ 1 与 ⃗⃗2 的夹角为 𝛼，且 cos𝛼=3，向量 𝑎1−2𝑒2 与 𝑏=3𝑒1−⃗⃗2 的夹角
为 𝛽，则 cos𝛽= ．
三、解答题（共6题）
3
17. 已知直角坐标平面上四点 𝐴(1,0)，𝐵(4,3)，𝐶(2,4)，𝐷(0,2)，求证：四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是等腰梯形．
18. 某电子商务公司随机抽取 1000 名网络购物者进行调查.这 1000 名购物者某年网上购物金额（单
位：万元）均在区间 [0.3,0.9] 内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6) ,[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：
电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]
发放优惠券金额50100150200购物金额分组
(1) 求这 1000 名购物者获得优惠券金额的平均数；
(2) 以这 1000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额
不少于 150 元的概率．
⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐵𝑄 与 𝐶𝑅 相交于点 𝐼，𝐴𝐼 的延长线与边 𝐵𝐶 交19. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑄=𝑄𝐶
3
于点 𝑃．
⃗ 和 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ； (1) 用 ⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵𝐵𝑄 和 ⃗𝐶𝑅
⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜇𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 𝜆 和 𝜇 的值； (2) 如果 ⃗𝐴𝐼(3) 确定点 𝑃 在边 𝐵𝐶 上的位置．
20. 如图，在空间四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐸，𝐹，𝐺，𝐻 分别为 𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴 的中点，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
求证：四边形 𝐸𝐹𝐺𝐻 为矩形．
4
21. 设椭圆 𝑎2+𝑏2=1 (𝑎>𝑏>0) 的左、右焦点分别为 𝐹1 、 𝐹2，离心率 𝑒=
⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 、 𝑁 是 𝑙 上的两个动点，⃗𝐹𝑀𝐹2𝑁=0．
𝑥2
𝑦2
√2，右准线为 2
𝑙，
⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣(1) 若 ∣𝐹𝑀𝐹2𝑁∣∣⃗∣=∣∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2√5，求 𝑎 、 𝑏 的值；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2) 证明：当 ∣𝑀𝑁𝐹𝑀𝐹2𝑁 与 𝐹∣⃗∣ 取最小值时，⃗1𝐹2 共线．
22. 已知函数 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+6)+2sin2𝑥．
(1) 求函数 𝑓(𝑥) 的最小正周期；
(2) 确定函数 𝑓(𝑥) 在 [0,π] 上的单调性；
(3) 在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝑎，𝑏，𝑐 分别是内角 𝐴，𝐵，𝐶 的对边，若 𝑓(2)=2，𝑏+𝑐=7，△𝐴𝐵𝐶
的面积为 2√3，求边 𝑎 的长．
𝐴
3
π
5
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】B
【解析】因为在三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝑀，𝑁 分别为 𝐴𝐶，𝐵1𝐶1 的中点，𝐸，𝐹 分别为 𝐵𝐶，𝐵1𝐵 的中点，𝐸𝐹⊂平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，𝑀𝑁∩平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1=𝑁，𝑁∉𝐸𝐹， 所以直线 𝑀𝑁 与直线 𝐸𝐹 是异面直线． 如图，取 𝐴1𝐶1 的中点 𝑃，连接 𝑃𝑀，𝑃𝑁， 则 𝑃𝑁∥𝐴1𝐵1，𝑃𝑀∥𝐴1𝐴 .
因为 𝐴1𝐴，𝐴1𝐵1⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，𝐴1𝐴∩𝐴1𝐵1=𝐴1，𝑃𝑀,𝑃𝑁⊂平面𝑃𝑀𝑁，𝑃𝑀∩𝑃𝑁=𝑃， 所以 平面𝑃𝑀𝑁∥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1． 因为 𝑀𝑁⊂平面𝑃𝑀𝑁，
所以直线 𝑀𝑁 与平面 𝐴𝐵𝐵1𝐴1 平行．
【知识点】平面与平面平行关系的判定
2. 【答案】C
【解析】由题可得：
𝑥1+𝑥2⋯+𝑥10+2
11
=2⇒𝑥1+𝑥2⋯+𝑥10=20⇒ 平均值为 2，
(𝑥1−2)2+(𝑥2−2)2⋯⋯+(𝑥10−2)2
10
(𝑥1−2)2+(𝑥2−2)2⋯⋯+(𝑥10−2)2+(2−2)2
11
=1，=1.1>1，
所以变得不稳定．
【知识点】样本数据的数字特征
3. 【答案】B
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则根据平行四边形法则知，点 𝑃 在 𝐵𝐶 边上的中线所在的直线上． 【解析】设 𝐴𝑃
⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶，它们都是单位向量． 设 ⃗𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣𝐴𝐵∣𝐴𝐶由平行四边形法则，知点 𝑃 也在 ∠𝐴 的平分线上， 所以 △𝐴𝐵𝐶 一定是等腰三角形． 【知识点】平面向量的分解
4. 【答案】C
【解析】翻折前，𝐴𝐵⊥𝐵𝐸，𝐴𝐷⊥𝐷𝐹，故翻折后，𝐴𝑂⊥𝑂𝐸，𝐴𝑂⊥𝑂𝐹，又 𝑂𝐸∩𝑂𝐹=𝑂， 所以 𝐴𝑂⊥平面𝐸𝑂𝐹，故A正确．
6
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
连接 𝑂𝐻，𝐴𝐻，如图，
则 ∠𝑂𝐻𝐴 为 𝐴𝐻 与平面 𝐸𝑂𝐹 所成的角， 翻折前，𝐸𝐶⊥𝐹𝐶，故翻折后，𝑂𝐸⊥𝑂𝐹， 又因为 𝑂𝐸=𝑂𝐹=1，𝐻 是 𝐸𝐹 的中点， 所以 𝐸𝐹=√12+12=√2，𝑂𝐻=1
√22𝐸𝐹=2
， 又因为 𝑂𝐴=2，
所以 tan∠𝑂𝐻𝐴=𝑂𝐴
𝑂𝐻=2√2，故B正确．
设四面体 𝑂𝐴𝐸𝐹 的表面积为 𝑆，体积为 𝑉，内切球半径为 𝑟，则 𝑉=1
3𝑆⋅𝑟，
由题知四面体 𝑂𝐴𝐸𝐹 的表面积即为正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积， 所以 𝑆=2×2=4，
又因为 𝑉=1
𝑆△𝑂𝐸𝐹⋅𝑂𝐴=1
×1
×1×11
3
3
2
×2=3
，
所以 411
3𝑟=3，解得 𝑟=4，
所以内切球的表面积为 4πr2=π
4，故C错误． 取 𝐴𝐹 的中点 𝑃，连接 𝑂𝑃，𝐻𝑃．
因为点 𝑃 是 𝐴𝐹 的中点，点 𝐻 是 𝐸𝐹 的中点， 所以 𝑃𝐻∥𝐴𝐸，
所以 ∠𝑂𝐻𝑃 为异面直线 𝑂𝐻 与 𝐴𝐸 所成的角或补角， 因为 𝑂𝐸=𝑂𝐹=1，𝑂𝐴=2， 所以 𝑂𝑃=1
√52𝐴𝐹=
2
，𝑃𝐻=1
𝐴𝐸=
√5√22
2
，𝑂𝐻=
2
， 所以 𝑂𝑃=𝑃𝐻，
再取 𝑂𝐻 的中点 𝑀，连接 𝑃𝑀，则 𝑃𝑀⊥𝑂𝐻， 1所以 cos∠𝑂𝐻𝑃=
𝑀𝐻=
2
𝑂𝐻10𝑃𝐻
𝑃𝐻
=
√10
．故D正确．
7
【知识点】直线与平面垂直关系的判定、球的表面积与体积、空间几何量
5. 【答案】B
【解析】由题可知 ∣∣⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑂∣∣=13
∣∣⃗𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ∣∣=14
∣∣⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑂∣∣
=1
4
， ⃗𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝐸𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑂2−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(1)2
4−1=−1516.
【知识点】平面向量的数量积与垂直
6. 【答案】C
【解析】如图：
因为 ∣𝑏
⃗ ∣=1， 所以 𝑏
⃗ 的终点在单位圆上， 用 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 表示 𝑏⃗ ，用 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 𝑎 ，用 ⃗⃗⃗⃗𝐵𝐴⃗ 表示 𝑎 −𝑏⃗ ， 设 ⃗𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗ =𝑡𝑏⃗ ， 所以 𝑑(𝑎 ,𝑡𝑏⃗ )=∣𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，𝑑(𝑎 ,𝑏⃗ )=∣⃗⃗⃗⃗𝐵𝐴⃗ ∣， 由 𝑑(𝑎 ,𝑡𝑏⃗ )≥𝑑(𝑎 ,𝑏⃗ ) 恒成立， 得 ∣⃗𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗ ∣≥∣𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 恒成立， 所以 ⃗⃗⃗⃗𝐵𝐴⃗ ⊥⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵，𝑏⃗ ⊥(𝑎 −𝑏
⃗ )．
8
【知识点】平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义
7. 【答案】B
【知识点】古典概型
8. 【答案】D
【解析】因为 𝐵𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐶1， 所以 𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，故 ① 正确；
因为点 𝐶 到直线 𝐸𝐹 的距离是定值，点 𝐵 到平面 𝐶𝐸𝐹 的距离也是定值， 所以三棱锥 𝐵﹣𝐶𝐸𝐹 的体积为定值，故 ② 正确； 线段 𝐸𝐹 在底面上的正投影是线段 𝐺𝐻， 所以 △𝐵𝐸𝐹 在底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 内的投影是 △𝐵𝐺𝐻． 因为线段 𝐸𝐹 的长是定值，
所以线段 𝐺𝐻 是定值，从而 △𝐵𝐺𝐻 的面积是定值，故 ③ 正确；
设平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 与平面 𝐷𝐸𝐴1 的交线为 𝑙，则在平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 内与直线 𝑙 平行的直线有无数条，故 ④ 对．
【知识点】直线与平面垂直关系的性质
9. 【答案】B
【解析】【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱
9
的表面积．
【解析】解：设圆柱的底面直径为2𝑅，则高为2𝑅， 圆柱的上、下底面的中心分别为𝑂1，𝑂2，
过直线𝑂1𝑂2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4𝑅2=8，解得𝑅=√2，
则该圆柱的表面积为：π•(√2)2×2+2√2π×2√2=12π． 故选：𝐵．
【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．
10. 【答案】B
【解析】因为在 △𝐴𝐵𝐶 中 𝑎=所以由正弦定理可得 sin𝐴=又因为 𝐴=2𝐵，
所以 sin𝐴=sin2𝐵=2sin𝐵cos𝐵 ⋯⋯②， 由 ①②可得 可得 cos𝐵=
√5sin𝐵2
√5𝑏， 2
√5sin𝐵 ⋯⋯①， 2
=2sin𝐵cos𝐵，
√5． 4
【知识点】正弦定理
二、填空题（共6题） 11. 【答案】
278
【解析】如图，
设三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 外接球的半径为 𝑟，则 4πr2=15π，得 𝑟=
√15． 2
又等边三角形 𝐴𝐵𝐶 的边长为 3，设 △𝐴𝐵𝐶 的外心为 𝐺，连接 𝐶𝐺 并延长，交 𝐴𝐵 于 𝐷，则 𝐶𝐺=𝐶𝐷=√3，
32
设三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 外接球的球心为 𝑂，连接 𝑂𝐺，则 𝑂𝐺⊥平面𝐴𝐵𝐶， 可得 𝑂𝐺=√连接 𝑃𝐷，
因为 平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵，则要使三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 体积最大，则 𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶． 𝑃𝐷=𝑂𝐺+√𝑂𝑃2−𝐷𝐺2=
√32
1
−3=
√3． 2
+√
1
−=
4
3
3√3． 21
1
3√3√3×22
所以三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 体积的最大值为 𝑉=3×2×3×3×
=
278
．
10
【知识点】棱锥的表面积与体积
12. 【答案】 𝑎=𝑐 且 𝑏=𝑑 ； 𝑎=𝑏=0
【知识点】复数的代数形式
13. 【答案】
87
【知识点】余弦定理、正弦定理
14. 【答案】3 【解析】【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解析】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为： 𝑥=6(6+7+8+8+9+10)=8， ∴该组数据的方差为：
𝑆2=6[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=3． 故答案为：3．
【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【知识点】样本数据的数字特征
15. 【答案】22
1
⃗⃗⃗⃗ =3𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝑃【解析】由 ⃗𝐶𝑃𝐴𝐷+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝑃=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷+𝐴𝐵𝐴𝐵
4
4
4
13
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．因为 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )=2，即 ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，所以 (𝐴𝐷𝐴𝐷+𝐴𝐵𝐴𝐷−𝐴𝐵
44441
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ −3⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2．又因为 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 2=，所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷2−2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷⋅𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐷2=25，⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐷=22． 16
5
1
5
1
5
【知识点】平面向量的数量积与垂直
16. 【答案】
2√2 3
11
【知识点】平面向量的数量积与垂直
三、解答题（共6题）
⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)−(1,0)=(3,3)，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)−(2,4)=(−2,−2)． 17. 【答案】由已知得，𝐴𝐵
因为 3×(−2)−3×(−2)=0，
⃗⃗⃗⃗⃗ 与 ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． 所以 𝐴𝐵𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)−(4,3)=(−2,1)， 又 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=(0,2)−(1,0)=(−1,2)，𝐵𝐶且 (−1)×1−2×(−2)≠0，
⃗⃗⃗⃗⃗ 与 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， 所以 𝐴𝐷
所以四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是梯形． ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，⃗⃗⃗⃗⃗ 因为 𝐵𝐶𝐴𝐷=(−1,2)， ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√5=∣⃗⃗⃗⃗⃗ 所以 ∣𝐵𝐶𝐴𝐷∣，即 𝐵𝐶=𝐴𝐷． 故四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是等腰梯形．
【知识点】平面向量的数乘及其几何意义
18. 【答案】
(1) 购物者的购物金额 𝑥 与获得优惠券金额 𝑦 的概率分布如下表：0.3≤𝑥<0.50.5≤𝑥<0.60.6≤𝑥<0.80.8≤𝑥≤0.9
50100150200所以这 1000 名购物者获得优
频率0.40.30.280.02惠券金额的平均数为：
50×400+100×300+150×280+200×20
1000
𝑥𝑦
=96 (元)．
(2) 由获得优惠券金额 𝑦 与购物金额 𝑥 对应关系， 有 𝑃(𝑦=150)=𝑃(0.6≤𝑥<0.8)=(2+0.8)×0.1=0.28， 𝑃(𝑦=200)=𝑃(0.8≤𝑥≤0.9)=0.2×0.1=0.02，
从而，获得优惠券金额不少于 150 元的概率为 𝑃(𝑦≥150)=𝑃(𝑦=150)+𝑃(𝑦=200)=0.28+0.02=0.3．
【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征
19. 【答案】
1
⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ； (1) 由 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑄=2𝐴𝐶𝐵𝑄=⃗⃗⃗⃗𝐵𝐴𝐴𝑄=−𝐴𝐵2
⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又 𝐴𝑅𝐶𝑅33
⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 代入 ⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜇𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有 ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2) 将 𝐵𝑄𝐶𝑅𝐴𝐼𝐴𝐵
2
3
⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜇(−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即 (1−𝜆)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =1𝜇𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−𝜇)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝜆(−𝐴𝐵
2
3
2
3
𝜆=5,1−𝜆=3𝜇,
所以 {1 解得 {3
𝜆=1−𝜇,𝜇=.25
12
14
⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑛𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ ． ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑚𝐵𝐶(3) 设 𝐵𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃
⃗⃗⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 由（2）知 ⃗𝐴𝐼55
⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑛𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝑃𝐴𝐵
1
⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑛(5𝐴𝐵5=
2𝑛5
⃗⃗⃗⃗⃗ +(𝑛−1)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶
5
所以 {
−𝑚=5−1,𝑚=
2𝑛5
𝑛
,
解得
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑚𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,=𝑚𝐵𝐶
𝑚=3,𝐵𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ 2⃗⃗⃗⃗⃗ {5 所以 𝐵𝑃=3𝐵𝐶，即 𝑃𝐶=2．
𝑛=.
32
【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义
20. 【答案】因为 𝐸，𝐹，𝐺，𝐻 分别是 𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴 的中点，
所以 𝐸𝐻∥𝐵𝐷，𝐹𝐺∥𝐵𝐷，且 𝐸𝐻=𝐹𝐺=所以 四边形 𝐸𝐹𝐺𝐻 为平行四边形． 又 因为 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐻𝐺∥𝐴𝐶， 所以 𝐸𝐻⊥𝐻𝐺，
所以 四边形 𝐸𝐹𝐺𝐻 为矩形． 【知识点】平面的概念与基本性质
21. 【答案】
(1) 由已知，𝐹1(−𝑐,0)，𝐹2(𝑐,0)． 由 𝑒=
√2，得𝑎22
𝐵𝐷2
，
=2𝑐2.结合 𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑏2=𝑐2,𝑎2=2𝑏2.所以右准线方程为𝑥=2𝑐,因此
可设 𝑀(2𝑐,𝑦1)，𝑁(2𝑐,𝑦2)．
延长 𝑁𝐹2 交 𝑀𝐹1 于 𝑃，记右准线 𝑙 交 𝑥 轴于 𝑄．
⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为 𝐹𝑀𝐹2𝑁=0，所以𝐹1𝑀⊥𝐹2𝑁,结合 ∣𝐹1𝑀∣=∣𝐹2𝑁∣ 及平面几何的知识得Rt△𝑀𝑄𝐹1≌Rt△𝐹2𝑄𝑁,从而
∣=∣𝐹1𝑄∣∣=3𝑐,∣𝑄𝑁∣⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即∣𝑦1∣=𝑐,∣𝑦2∣=3𝑐.由 ∣𝐹𝑀=∣𝐹2𝑁∣=2√5, 得9𝑐2+𝑐2=20,解得∣∣∣∣∣=∣𝐹2𝑄∣∣=𝑐,∣𝑄𝑀∣
𝑐2=2,故𝑎=2,𝑏=√2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣𝑀𝑁∣
2
⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2) 因为⃗𝐹𝑀𝐹2𝑁=(3𝑐,𝑦1)⋅(𝑐,𝑦2)=0,所以𝑦1𝑦2=−3𝑐2<0,从而
=∣𝑦1−𝑦2∣2
=𝑦12+𝑦22−2𝑦1𝑦2≥−2𝑦1𝑦2−2𝑦1𝑦2=−4𝑦1𝑦2=12𝑐2.
13
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣当且仅当 𝑦1=−𝑦2=√3𝑐 或 𝑦2=−𝑦1=√3𝑐 时，∣∣𝑀𝑁∣ 取最小值 2√3𝑐，此时
⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑀𝐹2𝑁=(3𝑐,±√3𝑐)+(𝑐,∓√3𝑐)⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以 ⃗𝐹𝑀𝐹2𝑁 与 𝐹1𝐹2 共线．
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4𝑐,0)=2𝐹1𝐹2.另解：
1
⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为 ⃗𝐹𝑀𝐹2𝑁=0，所以𝑦1𝑦2=−3𝑐2.设 𝑀𝐹1 、 𝑁𝐹2 的斜率分别为 𝑘、−𝑘．由 𝑐𝑦=𝑘(𝑥+𝑐),𝑦=−𝑘(𝑥−𝑐),
{ 解得𝑦1=3𝑘𝑐,由 { 解得𝑦2=−𝑘,于是𝑥=2𝑐,𝑥=2𝑐,1∣1√3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣𝑀𝑁3𝑘+≥23𝑐.当且仅当 3𝑘=，即 𝑘=± 时，∣𝑀𝑁√∣⃗∣=∣𝑦1−𝑦2∣=𝑐⋅∣∣⃗∣ 最小．此时∣𝑘∣𝑘3
1
⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑀𝐹2𝑁
=(3𝑐,3𝑘𝑐)+(𝑐,−)
𝑘
𝑐
⃗⃗1⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑀𝐹2𝑁 与 𝐹1𝐹2 共线． =(3𝑐,±√3𝑐)+(𝑐,∓√3𝑐)因此 ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4𝑐,0)=2𝐹1𝐹2.
【知识点】平面向量的数量积与垂直、椭圆和双曲线的第二定义、平面向量的坐标运算、椭圆的基本量与方程
22. 【答案】
(1)
𝑓(𝑥)=sin2𝑥cos+cos2𝑥sin+1−cos2𝑥
=sin(2𝑥−6)+1,
2π2
6π
6
π
π
所以 𝑓(𝑥) 的最小正周期 𝑇=
π2
π6
=π．
3π2
(2) 令 2𝑘π+≤2x−≤2kπ+(k∈𝐙)，解得 𝑘π+≤x≤kπ+
3
π
5π6π
π5π6
(k∈𝐙)，
所以 𝑓(𝑥) 的单调递减区间是 [𝑘π+3,kπ+
π
](𝑘∈𝐙)．
同理 𝑓(𝑥) 的单调递增区间为 [𝑘π−6,kπ+3](𝑘∈𝐙)， 故 𝑓(𝑥) 在 [3,
(3) 因为 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−)+1，𝑓()=，所以 sin(𝐴−)=，
62262又 −6<𝐴−6<
π
π
5π
π
𝐴
3
π
1
π5π
] 上单调递减，在 [0,3] 和 [6,π] 上单调递增． 6
π5π
，所以 𝐴−6=6，所以 𝐴=3． 6
12
π3
πππ
因为 △𝐴𝐵𝐶 的面积为 2√3，所以 𝑏𝑐sin=2√3，解得 𝑏𝑐=8． 因为 𝑏+𝑐=7，所以 𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos3=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐=25， 所以 𝑎=5．
14
π
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、余弦定理
15
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- huatuoyibo.net 版权所有 湘ICP备2023021910号-2
违法及侵权请联系：TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务