提 要
本文针对图像边缘检测在精确定位边缘的同时较好抑制噪声这一目标，提出一种结合多尺度、多层次，以及数字融合思想的基于小波变换的边缘检测算法。
对于分辨率较高的灰度图像，结合多尺度思想及Contourlet自适应阈值，改进了B样条小波边缘检测算法；对于分辨率较低的灰度图像，提出一种利用灰度共生矩阵惯性特征值的多层次高斯小波边缘检测算法。
由于边缘信息主要集中在图像的高频部分，所以大多数算法只在高频部分 提取边缘，这样会使一些弱边缘丢失。
根据Canny算子提取边缘连贯、完整，但去噪性差；小波算子去噪性能强但检测边缘模糊、断续这一特点，在低频部分，选用经典Canny算子；高频部分应用本文提出的B样条及高斯小波检测算子。最后将图像低频部分与高频部分提取出的边缘以某种规则融合。
通过仿真实验以及与其它算法的对比，证明了本文算法在抑制噪声及精确定位两项指标上均有提高，但由于算法的复杂度，增加了一定运算量。
关键词：B-样条小波 Contourlet 自适应阈值 高斯小波 灰度共生矩阵 边缘检测
目 录
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第1章 绪论.............................................................................................................1
1.1 课题研究的背景及意义..............................................................................1 1.2 图像边缘检测概述......................................................................................1 1.3 研究现状......................................................................................................2
1.3.1 经典边缘检测算子............................................................................2 1.3.2 Canny边缘检测算子与LOG零交叉边缘检测算子..........................4 1.3.3 基于能量最小化为准则的全局检测图像边缘方法........................5 1.3.4 形态学边缘检测算子........................................................................5 1.3.5 小波边缘检测算子............................................................................6 1.4 研究内容及结构安排..................................................................................6 第2章 小波变换简介.............................................................................................9
2.1 连续小波变换..............................................................................................9 2.2 离散小波变换............................................................................................10 2.3 多分辨率分析............................................................................................10
2.3.1 尺度函数和子空间序列..................................................................11 2.3.2 小波函数与细节空间......................................................................11 2.4 多分辨率分解............................................................................................12 2.5 本章小结....................................................................................................14 第3章 B-样条小波边缘检测的改进算法...........................................................15
3.1 B-样条小波边缘检测基本原理................................................................16
3.1.1 小波变换在边缘检测中的应用......................................................16 3.1.2 B-样条小波平滑滤波器..................................................................17 3.2 CONTOURLET变换设计自适应阈值..........................................................18 3.3 多尺度边缘检测........................................................................................19 3.4 实验结果分析............................................................................................20 3.5 本章小结....................................................................................................22 第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法.................................25
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4.1 基于高斯小波的边缘检测........................................................................25
4.1.1 高斯小波..........................................................................................25 4.1.2 灰度共生矩阵..................................................................................27 4.1.3 自适应阈值的选取..........................................................................28 4.2 融合算法在高斯小波边缘检测中的应用................................................29 4.3 仿真结果及分析........................................................................................30 4.4 本章小结....................................................................................................35 第5章 Canny算法和小波算法在边缘检测中的 结合应用..........................37
5.1 CANNY算法在图像低频部分的应用........................................................37 5.2 结合CANNY法和小波变换法的边缘检测................................................39
5.2.1 高、低频算法检测步骤..................................................................40 5.2.2 高、低频图像的融合规则..............................................................40 5.3 仿真结果及分析........................................................................................41 5.4 本章小结....................................................................................................43 第6章 全文总结...................................................................................................45
6.1 全文工作总结............................................................................................45 6.2 存在的问题及下一步工作........................................................................46 参考文献.................................................................................................................47 摘 要.......................................................................................................................I Abstract...................................................................................................................V 致 谢
导师及作者简介
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第1章 绪论
第1章 绪论
1.1 课题研究的背景及意义
图像边缘检测技术是数字图像处理中最重要的内容之一，是图像分割、目标区域识别、区域形状提取，医学图像、红外图像等图像分析领域中十分重要的基础[1]。
传统的边缘提取方法多数都是在空域中基于一阶或二阶微分算子。大量试验证明，这些算子在无噪声的图像中可以取得较好效果，但对噪声非常敏感，对于信噪比较低的图像存在着细节部分信息丢失严重，定位不准确，抑制噪声能力差等问题[2]。而实际上，数字图像如医学图像，红外图像等不可避免的夹杂着大量噪声，所以，噪声图像的边缘检测意义重大。
数字图像边缘检测技术的目的是在精确定位边缘的同时较好的抑制噪声。边缘检测是图像处理中一个困难的问题，这是因为实际景物图像中存在着噪声，噪声和边缘一样都属高频信号，很难用频带来做取舍。本文研究的目的，就是寻找一种更为行之有效的方法，使之更加符合边缘检测中的canny准则。
1.2 图像边缘检测概述
图像的边缘存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间。边缘可定义为：两个具有不同灰度的均匀图像区域的边界，即边界反映局部灰度变化。局部边缘是图像中局部灰度级以简单(即单调)的方式作极快变化的区域，这种局部变化可用一定窗口运算的边缘检测算子来检测[3]。边缘的描述包含以下几个方面。
（1）边缘法线方向：在某点灰度变化最剧烈的方向，与边缘方向垂直； （2）边缘水平方向：与边缘法线方向垂直，是目标边界的切线方向； （3）边缘位置：边缘所在的坐标位置；
（4）边缘强度：沿边缘法线方向图像局部的变化强度的量度。
一般认为沿边缘方向的灰度变化比较平缓，而边缘法线方向的灰度变化比 较剧烈。基本的灰度变化可以是阶跃型、斜坡型或者脉冲波型等。
1
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1.3 研究现状
当前存在的图像边缘检测算法大致可以分为如下几类。
（1）基于某种固定的局部运算方法，如微分法、拟合法等，它们属于经典的边缘提取方法。经典算法包括Rorberts[4]、Prewitt[5]、Sobel[6]、Laplace[72]算法等。
（2）以能量最小化为准则的全局提取方法，其特征是运用严格的数学方法对此问题进行分析，给出一维值代价函数作为最优提取依据，从全局最优的观点提取边缘，如松驰法、神经网络分析法等。
（3）以小波变换、数学形态学、分形理论[75]等近年来发展起来的高新技术为代表的图像边缘提取方法，尤其是基于多尺度特性的小波变换提取图像边缘的方法是目前研究较多的课题[3]。
总之，图像边缘检测技术的发展方向，是算子参数取值的自适应化，检测边缘多尺度化、运用融合算法将多种检测算法结合使用，并在不影响边缘图像效果的同时尽量降低计算量。
下面分别具体介绍这几类算法。
1.3.1 经典边缘检测算子
（1）Roberts边缘检测算子[4]
Roberts边缘检测算子是对每一个像素计算出式（1.1）的向量，然后求出它的绝对值，再进行阈值操作，这就是Roberts边缘检测算子。
R(i,j)=(f(i,j)−f(i+1,j+1))2+(f(i,j+1)−f(i−1,j))2 （1.1）
。 它是一个两个2×2模板作用的结果（标注·的是当前像素的位置）
⎡1.0⎤⎡0.1⎤
⎢0−1⎥⎢−1 0⎥ ⎣⎦⎣⎦
Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。该算法的特点是检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感。
（2）Prewitt[5]边缘检测算子和Sobel边缘检测算子
2
第1章 绪论
Prewitt使用两个有向算子（一个水平的，一个垂直的，一般称为模板），每一个逼近一个偏导数。
⎡−101⎤⎡−1−1−1⎤
⎢⎥⎢⎥PV=⎢0 0 0⎥ PH=⎢−1 0 1⎥ ⎢⎢⎦⎣−101⎥⎦⎣111⎥
Prewitt边缘检测算子检测图像M的边缘，可以先分别用水平算子和垂直算子对图像进行卷积，得到的是两个矩阵，在不考虑边界的情形下也是和原图像同样大小的M1，M2，他们分别表示图像M中相同位置处的两个偏导数。然后把M1，M2对应位置的两个数平方后相加得到一个新的矩阵G，G表示
M中各个像素的灰度的梯度值（一个逼近）。然后就可以通过阈值处理得到边缘图像。
Sobel边缘检测算子和Prewitt边缘检测算子的不同之处在于使用的模板不一样。
⎡−1−2−1⎤⎡−10−1⎤⎢0 0 0⎥ P=⎢−2 0 −2⎥ =PVH⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣−1−2−1⎦⎣−10−1⎥⎦
Sobel[6]算子利用像素点上下、左右邻点的灰度加权算法，根据边缘点处达到极值这一现象进行边缘检测。Sobel算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，但它同时也会检测出许多的伪边缘，边缘定位精度不够高。
（3）Laplace边缘检测算子
Laplace算子是二阶微分算子，是一个标量，属于各向同性的运算，对灰度突变敏感。在数字图像中，可用差分来近似微分，点（i，j）的Laplace算子为
2∇2f(i,j)=Δ2xf(i,j)+Δyf(i,j)
=f(i+1,j)+f(i−1,j)+f(i,j+1)+f(i,j−1)−4f(i,j) （1.2）
Laplace算子的两种模板为
3
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⎡0−10⎤⎡−1−1−1⎤⎡010⎤⎡111⎤
⎢1 −4 1⎥ ⎢1 −8 1⎥ ⎢−1 4 −1⎥ ⎢−1 8 −1⎥
⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢⎢⎣010⎥⎦⎣111⎥⎦⎦⎣0−10⎥⎦⎣−1−1−1⎥
图 (a) 阶跃边缘模板 图(b) 屋顶边缘模板
Laplace算子的两种不同边缘下的检测模板分别对应着(a)和(b)。Laplace算子有两个缺点：（1）边缘的方向信息丢失；（2）Lapla ce算子是二阶微分，双倍加强了图像中的噪声影响。优点是各向同性。
（4）拟合法
拟合法就是首先对图像进行某种形式的拟合，从而根据拟合参数求得边缘，Prewitt首先提出用曲面拟合方法作图像边缘提取，它用关于坐标的n阶多项式对原始图像作最小二乘方意义下的最佳拟合，多项式的m个参数由图像n×n个邻域灰度确定，从拟合的最佳曲面函数即可确定灰度梯度等参数。这种方法与传统的梯度法相比具有更高的抗噪声能力。
Harrli比提出用离散正交多项式对原始图像每一象素的邻域作最佳曲面拟合，在拟合曲面上求H阶方向导数的零交叉，从而提取图像边缘。另外一种形式的拟合算法是拟合图像边缘。尽管实际景物的边缘是千姿百态各不相同的，但是在某一局部窗口内，对图像边缘可以用直线、曲线来拟合。拟合法的实质是利用了图像的统计特性来提取边缘，因而其计算量很大，只在一些大的视觉系统中，拟合法才常常被采用。
上面几种基于微分的经典边缘提取算子，它们共同的优点是计算简单、速度较快，缺点是对噪声的干扰都比较敏感。在实际应用中，由于图像噪声的影响，总要将经典的算法进行改善或结合其他一些算法对一幅含噪声的图像进行处理，然后再采用经典的边缘提取算子提取图像边缘。
1.3.2 Canny边缘检测算子与LOG零交叉边缘检测算子
近年来两种受到广泛关注的边缘检测算法有Canny[7]边缘检测算子和
LOG零交叉边缘检测算子。
（1）Canny算子
Canny算子的思想是先将图像使用高斯函数进行平滑，再由一阶微分的极大值确定边缘点[8]。LOG边缘检测算子是将图像函数与高斯函数的卷积作
4
第1章 绪论
Laplacian运算，图像函数二阶导数中出现零交叉的位置就是图像中的边缘或轮廓点。选用高斯函数是因为它近似满足Canny边缘检测最优准则并且达到时频测不准关系的最小下界。
Canny算子的主要问题是随着尺度参数的增加，检测精度提高而定位精度降低。为了能设定合适的尺度参数，必须知道噪声能量，然而局部检测噪声能量并非易事，因而在对含噪图像的处理中，很难得到令人满意的效果。关于
Canny算法的介绍详见第五章。
（2）LOG算子
拉普拉斯高斯（LOG）算法是一种二阶微分边缘检测方法。通过寻找图像灰度值中二阶为分中的过零点检测边缘。其原理是：灰度缓变形成的边缘经过微分算子形成一个单峰函数，峰值位置对应边缘点；对单峰函数进行微分，册则峰值处的微分值为0，峰值两侧符号相反，而原先的极值点对应二阶微分中的过零点，通过检测过零点即可将图像的边缘提取出来。
用LOG边缘检测算子须采用较大的窗口才能得到较好的边缘检测效果。然而大窗口虽然抗噪能力强，但边缘细节丢掉较多，而小窗口虽能获得较高的边缘定位精度，但对滤除噪声又不够有效。所以，这种方法在去除干扰和复杂形状的边缘提取之间存在矛盾。
1.3.3 基于能量最小化为准则的全局检测图像边缘方法
全局检测图像边缘方法包括模糊数学法[73]和神经网络法[71,74]，其中比较常见的方法是神经网络法。
神经网络方法实质上也是将边缘提取过程视为边缘模式的识别过程，只是在算法实现上利用了神经网络。虽然目前己有的许多算法都可转化为神经网络实现，如当判决函数为二次型时，其方程是一阶微分方程组，可用阻容网络求 解，但他们并未反映出神经网络系统的本质，真正构造模仿生物视觉系统的特 征提取方法还有待进一步研究。
这类方法计算量较大[9]，而且提取效果也不是很理想。
1.3.4 形态学边缘检测算子
数学形态学是一种非线性滤波，在图形处理中已获得了广泛的应用[76,77]。
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形态算时物体形状集合与结构元素之间的相互作用，对边缘方向不敏感，并能在很大程度上抑制噪声和探测完整的边缘。同时数学形态学在图形处理方面还具有独特的优势。因此，将数学形态学用于边缘检测，既能有效地滤出噪声，又可保留图像中的原有细节信息，具有较好的边缘检测效果。但数学形态学也存在着一些不足，比如结构元素单一等。该算法对与结构元素同方向的边缘敏感，而与其不同方向的边缘或噪声会被其平滑掉。
1.3.5 小波边缘检测算子
从数学的角度出发，图像的边缘表现为局部奇异性。至今为止，Fourier变换仍旧是用于分析奇异性的主要数学工具。然而，Fourier变换的全局性思想并不适合于局部奇异性检测。因此，使用Fourier变换很难确定奇点的位置及其空间分布状态。而小波变换是一种局部性分析工具，特别适合于时一频分析，这对于奇点的检测尤为重要。
随着小波理论的发展，小波变换己公认为分析奇点包括边缘以及有效检测边缘的杰出的数学工具。小波变换用于边缘检测的思想类似于Canny算子的思想。Canny算子选择高斯函数作为平滑函数，基于小波的方法是选择一种小波函数作为平滑函数。1992年，Mallat在“Singularity detection and processing
with wavelets”一文中论证了小波变换极大模能用来探测不规则结构的位置。利用小波变换局部极大模定理，对于一维或二维信号的重构可以达到较理想的精度。这不仅解释经典边缘检测算子的主要方法与技巧，也表明了在一定的条件下可以构建一种最优的边缘检测方法。
小波在边缘检测方面具有以下的优点。
（1）不仅改变了以前的高斯算法计算量大的缺点，而且以较少的运算便可得到较理想的图像处理结果。
（2）通过多尺度分析，小波变换不仪能有效的反映图像的灰度变化，又尽可能的避免噪声干扰。
综上所述，本文选择小波变换法检测边缘。
1.4 研究内容及结构安排
通过研究[12,22][19,49]，可以发现，当信噪比较高时，综合算法计算量、检测
6
第1章 绪论
效果等多方面因素，基于小波分析的图像边缘检测效果优于其他算法。参考文献[15]将多尺度检测、自适应阈值和多尺度融合算法应用于B样条小波变换，可以在信噪比较高的图像中滤除绝大部分噪声，并检测到单像素宽度的边缘，在去除噪声和检测边缘间得到较好权衡。但是，文献[15]所提出算法仍存在一些问题，总结如下：
（1）弱边缘丢失。该算法可以在某一尺度检测到一些弱边缘，但在最后进行多尺度融合后，这些弱边缘变得更弱或丢失。
（2）计算量较大。由于要进行整幅图像的多尺度检测，所以需要很大的计算量。
针对这些问题，本文主要研究以下内容。
（1）拟应用B样条小波函数，根据文献[15]提出的算法，做出改进（详见第3章）。
（2）拟应用高斯小波函数，提出一种多层次自适应空间系数边缘检测算法（详见第4章）。
（3）由于边缘信号为高频信号，所以现有大多数算法只对图像的高频部分进行提取，这样会丢失一部分弱边缘信息，本文参照文献[70]，分别对图像的高、低频部分提取边缘。其中低频部分拟采用Canny算子。高频部分拟采用（1）中B样条或（2）中高斯小波函数（详见第5章），最后按照一定规则将高、低频边缘进行融合。
论文各章的内容安排如下： 本文共分六章。
第1章为绪论。简要介绍了课题研究背景、意义及研究现状。
第2章具体介绍小波变换应用在图像边缘检测的基本原理。在连续小波变换基础上引入实际中应用范围较广的离散小波变换，重点分析了多分辨率小波变换。
第3章介绍B样条小波边缘检测的改进算法。基于B样条小波变换，将
Contourlet变换应用在多尺度自适应阈值边缘检测中。
第4章介绍多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测方法。将灰度共生矩阵特征值应用在高斯小波变换中，提出一种多层次自适应算法。
第5章介绍Canny算子与小波变换结合的检测算法。 第6章总结全文并展望将来工作。
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第2章 小波变换简介
第2章 小波变换简介
小波变换是传统的Fourier变换的继承和发展，具有一定的分析非平稳信号的能力，主要表现在高频处的时间分辨率高、低频处的频率分辨率高，特别适合于图像这一类非平稳信号的处理。经典的边缘检测算子都没有自动变焦的思想，而小波变换结合多尺度思想，并通过对阈值的选择，可在不同尺度上进行综合，得到最终边缘图像，可以较好的解决噪声和定位精度之间的矛盾[11]。如果将融合算法应用于边缘检测，将其他算法与小波分析法结合使用，可以达到更好的效果。关于小波变换的详细介绍可见文献[20]。
2.1 连续小波变换
小波函数的确切定义为：设ψ(t)为一平方可积函数，即ψ(t)∈L2(t)。若其傅里叶变换ψ(ω)满足条件
^
ψ(ω)
Cψ=∫
R
件。
将任意L2(R)空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换（CWT，Continue Wavelet Transform），其表达式为
ω
dω<∞ （2.1）
则称ψ(t)为一个基本小波或小波母函数，称式（2.1）为小波函数的可容许条
1∗⎡t−τ⎤dt （2.2） WT(a,τ)=f(t),ψa,τ(t)=f(t)ψ∫⎢faR⎣a⎥⎦
其逆变换公式为
f(t)==
1+∞da+∞
∫02∫−∞WTf(a,τ)ψa,τ(t)dτCψa
1+∞da+∞1⎡t−τ⎤
ψ⎢dτ∫02∫−∞WTf(a,τ)⎥Cψaa⎣⎦a
9
（2.3）
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2.2 离散小波变换
在实际应用中，为了进行分析处理，信号f(t)都要离散化为离散序列，a和τ也必须离散化，成为离散小波变换，记为DWT（Discrete Wavelet
Transform）。
为了减小小波变换系数冗余度，将小波基函数ψa,τ(t)=限定在一些离散的点上取值。
m
（1）尺度的离散化。令a取a=ao，其中ao>0，m∈Z。此时对应的小−j
a波函数是aψ⎡o⎣(t−τ)⎤⎦，j=0,1,2,。
−j
2o
1⎡t−τ⎤ψ⎢的a和τ ⎥a⎣a⎦
（2）位移的离散化。通常对 进行均匀离散取值，已覆盖整个时间轴。这样， 就改为
j
2
j2
aoψ⎡⎣a
记为ψaj,kτ(t)。
0
o
−
−j
o
−j⎡=(t−kaτo)⎤aψaoo⎦⎣t−kτo⎤⎦ （2.4）
j
o
−
离散小波变换定义为
WTf(aoj,kτo)=∫f(t)ψ∗j(t)dt，j=0,1,2,,k∈Z （2.5）
a,kτo
o
如果离散小波序列{ψj,k
}j,k∈Z
构成一个框架，上、下界为A和B，根据
函数框架重建原理，当A=B时（紧框架），由框架概念可知离散小波的逆变换为
f(t)=∑
j,k
f,ψj,k
ψj,k(t)=
1
∑WTf(j,k)⋅ψAj,k
j,k
(t) （2.6）
2.3 多分辨率分析
在许多应用中，都希望小波的伸缩和平移能够形成L2(R)的一个基。Mallat于1988年提出了多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis）概念，建立了统一抽象的小波分析数学理论，并给出了相应的塔形结构算法Mallat算法。多分辨率分析的基本思想是引入了L2(R)的一列渐增子空间族，先从L2(R)的某
10
第2章 小波变换简介
子空间出发，构造小波函数，建立子空间的基底，然后进行伸缩变换把基底扩充到L2(R)中去。
2.3.1 尺度函数和子空间序列
定义2.3.1 L2(R)的一个正交多分辨率分析是指满足如下性质的一列子空间{Vm}m∈Z。
（1）Vm⊂Vm+1,m∈Z。 （2）f(t)∈Vm⇔f(2t)∈Vm+1。 （3）∩Vj={0},∪Vj=L2(R)。
（4）存在φ(x)∈Vo，使{φ(x−k)}k∈Z构成Vo的Riesz基。
称满足上式的L2(R)的一列子空间{Vm}m∈Z为一个多分辨率分析（MRA）。
由MRA条件知，尺度函数ϕ(x)经过平移、伸缩得{2m/2φ(2mx−n)}构成空间Vm的一组Riesz基。
m,n∈Z
，
2.3.2 小波函数与细节空间
为了得到L2(R)的基底，即生成基底的小波，引入Vj在Vj+1中的补空间，用Wj表示。
由泛函空间的正交分解理论有Vj−1=Vj⊕Vj⊥，其中Vj⊥表示该空间中所有元素与Vj中的任意元素均正交，将Vj⊥记为Wj，即为Vj的补空间。根据
L(R)=∪Vj及Vj−1=Vj⊕Wj，可得
−∞
2
∞
L2(R)=+W−1+W0+W1+ （2.7）
上式表明，L2(R)是由无数正交补空间的直和构成，而L2(R)的正交基就是把直和的子空间的正交基合并起来得到的，所以L2(R)空间的标准正交基为
2ψ(2−jt−k) j,k∈Z （2.8）
式（2.8）与2.2节中小波函数形式完全一致，所以称ψ为小波函数，相应的Wj
11
−j
2
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是尺度为j的小波空间。同时小波空间是两个相邻尺度空间的差，即
Wj=Vj−1−Vj，表示相邻尺度间的投影之间的细小差别即为函数f(t)在相应尺度空小波空间上的投影，所以称小波空间为细节空间。
2.4 多分辨率分解
Mallat的塔式分解算法在小波理论中占有重要地位，给出了函数的分解、重构公式，使得小波分析理论得到进一步的发展。
首先定义一个子空间序列{Wj}j∈Z，使得Wj为Vj的正交补，即有
Vj+1=Vj⊕Wj，Wj⊥Vj （2.9）
这样就可以将L2(R)进行如下分解，如图2.1所示。
L2(R)Vj+1Wj+1VjVj−1Wj−1Wj
图2.1 多尺度分解图
由以上塔式分解可看出，对于任意的函数f(x)∈L2(R)，都可以用f(x)在
Vj上的投影fj(x)来逼近。随着下标j的增大，fj(x)越来越接近f(x)，即有
f(x)=limfj(x)。从图可看出，子空间Wj包含了由子空间Vj+1逼近子空间Vj+1
j→∞
的“细节”信息，函数族{Wj}j∈Z可以由一个函数ψ(x)通过伸缩和平移得到，如公式（2.10）所示。
Wj=ψj,k(x)=2−j/2ψ(2jx−k)
{}j,k∈Z
（2.10）
函数ψ(x)是母小波，即任意的函数f(x)∈L2(R)都可由ψ(x)近似。 由φ(x)∈V0⊆V1，并设函数族
{2φ(2x−n)}构成子空间V的规范正交
n∈Z
1
基，φ(x)可以用V1的基元素表示出来，如公式（2.11）和（2.12）所示。
12
第二章 小波变换简介
φ(x)=∑h(n)φ(2x−n),h(n)∈l2(Z) （2.11）
n∈Z
ψ(x)=∑(−1)ng(n)φ(2x−n),g(n)∈l2(Z) （2.12）
n∈Z
其中，l2(Z)表示平方可和序列。
由定义2.3.1中性质，能够实现对函数f(x)的分解与重构。Mallat设计出了类似快速Fourier变换的Mallat算法，并构造了一组带通滤波器，这样函数
f(x)就可以看作一维信号，对它的分解与重构就可以通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)来实现。
f(x),φn,m(x)>=cn,m，n,m∈Z （2.13） f(x),ψn,m(x)>=dn,m，n,m∈Z （2.14）
其中，cn,m和dn,m为f(x)在子空间Vn和Wn的投影系数。分解关系式为
cn+1,m=∑h(k−2m)cn,k，n,m∈Z （2.15）
k∈Z
dn+1,m=∑g(k−2m)dn,k，n,m∈Z （2.16）
k∈Z
重构关系式为
cn,m=∑h(k−2m)cn+1,k+∑g(k−2m)dn+1,k，n,m∈Z （2.17）
k∈Z
k∈Z
分解、重构关系框图如下：
h原始信号2cgdg2~h重构信号g22~g 图2.2 小波变换分解、重构示意图
，g满足下述条件。 其中，分解滤波器h、g，重构滤波器h
（1）∑hkhk+n=δ0,n,∑gkgk+n=δ0,2n（正交性）；
k∈Z
k∈Z
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（2）∑hk=2,∑gk=0（规范性）；
k∈Z
k∈Z
（3）gk=(−1)kh1−k；
=h,gk=g−k。 （4）hk−k
数字图像是一种二维信号，其小波处理过程与一维信号类似。详见参考文献[3]。
2.5 本章小结
本章对小波变换原理进行了比较全面的介绍。首先了引入了连续小波变换，其次分析了实际中应用较广的离散小波变换，重点对小波变换的多分辨率思想进行介绍，最后详细推导了Mallat多分辨率小波的快速分解及重构公式。
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第3章 B样小波边缘检测的改进算法
第3章 B-样条小波边缘检测的改进算法
在实际景物图像中，噪声和边缘一样都属高频信号，因此在精确定位边缘的同时又能较好的抑制噪声很难简单地用频带来做取舍。当信噪比较高时，考虑到算法计算量，检测效果等多方面因素，基于小波分析的图像边缘检测效果优于其他算法[1]。参考文献[15]将多尺度检测，自适应阈值和多尺度融合算法应用于B样条小波变换，可以在信噪比较高的图像中滤除绝大部分噪声，并检测到单像素宽度的边缘，在去除噪声和检测边缘间得到较好权衡。
但是，文献[15]所提出算法仍存在一些问题。
（1）对图像进行不同尺度的边缘检测，当尺度大时，抗噪性好，但定位精度差。为克服这一问题使用的多尺度融合算法，会使较大尺度检测出的微弱边缘消失。
（2）该算法没有及时保留某一尺度上已提取出的边缘点而使其继续被平滑、移位、分辨率降低且增大计算量。
针对以上问题，本文做出以下几点改进。
（1） 改变原算法的“整幅图做下一尺度小波变换-阈值判断—多尺度融合”思想，运用一种“先设阈值判断边缘—直接保留已检测出边缘，未检测出部分做下一尺度小波变换”算法。这种方法可以在一定程度上改进原有算法的不足。具体表现如下：
①这种改进的算法比原算法少了多尺度融合这一步骤，所以可以有效保留弱边缘。
②因为先做了阈值判断，符合条件的像素点不再做下一步卷积，取代了原算法的整幅图像卷积，且减少了多尺度融合这一步，因此节省了计算时间。 这种算法的核心环节是“阈值判断”。
（2）用Contourlet变换取代原来的小波变换设定一个“自适应阈值”判断边缘与噪声点。
（3）对检测到的最终结果用形态法学方法细化，得到单像素边缘。
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3.1 B-样条小波边缘检测基本原理
3.1.1 小波变换在边缘检测中的应用
在小波多分辨分析中，引入了尺度函数φ(t)和小波函数ϕ(t)，尺度函数具有低通滤波作用，小波函数具有高通滤波的作用。多尺度小波边缘检测就是利用一个二阶可导平滑函数θ(t)，在不同尺度下平滑所检测的信号，根据一次、二次微分找出它的突变点。一次微分的极大值点对应二次微分的零交叉点和平滑后信号的拐点。当选择的小波函数ϕ(t)与平滑函数θ(t)满足ϕ(t)=
dθ(t)
时，dt
可以根据小波变换系数的模极值进行边缘检测，称之为第一类小波边缘检测算
d2θ(t)子。当选择的小波函数ϕ(t)与平滑函数θ(t)满足ϕ(t)=时，可以根据小2
dt波变换系数的零交叉点进行边缘检测，称之为第二类小波边缘检测算子[56]。
定义θ(x,y)为二维平滑函数，当尺度为S时，令
1xy
θS(x,y)=2θ(,) （3.1）
SSS
定义二维小波变换为
ψ(1)
(x,y)=
dθ(x,y),ψdx
(2)
(x,y)=
dθ(x,y)dy
（3.2）
记：
yy11(1)x(2)(2)xψ(,),ψ(x,y)=ψ(,) （3.3） SSS22SSSSSS
小波变换是由信号函数与小波函数通过卷积得到的，f(x)在尺度为S，二
(1)ψS(x,y)=
维小波函数为ψ(1)
(x)和ψ(2)(x)的小波变换分别定义为
(1)2
WS(1)f(x,y)=f∗ψS(x,y),WS(2)f(x)=f∗ψS(x) （3.4）
用列向量可表示为
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第3章 B样小波边缘检测的改进算法
⎡d⎤
∗(fθ)(x,y)S⎢dx⎥⎡Wf(x,y)⎤
⎥=S∇(f∗θS)(x,y) （3.5） ⎢(2)⎥=S⎢
d⎢(f∗θ)(x,y)⎥⎢WSf(x,y)⎦⎥⎣S⎢⎥dy⎣⎦
(1)
S
梯度矢量的模正比于小波变换的模为
MSf(x,y)=WS1f(x,y)+WS2f(x,y)
梯度矢量与水平方向的夹角（相角）为
22
（3.6）
⎡W2f(x,y)
ASf(x,y)=arctan⎢S2
⎢⎣WSf(x,y)⎤
⎥ （3.7） ⎥⎦
对固定的尺度S在二维平面上的一点(x,y)，在由A如果,y)给出的方向上，Sf(x模MSf(x,y)是局部极大值，则点(x,y)是f*θS(x,y)的突变点。
j
在数字化应用中，一般只考虑尺度S=2。
3.1.2 B-样条小波平滑滤波器
本文选择三次B样条小波函数作为小波基的主要原因是B样条小波可以用来近似地构造高斯滤波器，且高斯函数是可以达到测不准关系下界的唯一实函数[50]。
定义：记阶数为m的B样条函数为Nm(x)，利用多重卷积运算，定义如下：
⎧1,0≤x≤1
N1(x)=⎨ （3.8）
0,otherwise⎩
Nm(x)=Nm−1∗N1(x) （3.9）
虽然高斯函数不能准确表示为一阶样条函数，但随着n→∞，n阶中心B样条函数可以逼近高斯函数。
如果用中心B样条作为卷积核，可以根据原图像中噪声的强弱，选用不同阶数的样条函数。而高斯卷积核，却是不论信号的信噪比如何，都一视同仁的进行平滑[56]。从平衡平滑掉噪声和逼近有用数据这一矛盾来看，中心B样
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条函数优于高斯函数[45]。
文献[45]从时频角度分析，证明了3次B样条在权衡噪音抑制能力与定位准确这两点时是渐进最优的。
3.2 Contourlet变换设计自适应阈值
用小波变换对图像进行多尺度边缘检测，得到的多尺度边缘图表征了图像中不同强度和大小结构的边缘，是图像的重要特征。如果对变换后的整幅图像取同一阈值，那么由微弱边缘形成的局部模极大值将会随着由灰度不均匀、噪声等产生的模极大值一并被滤除。针对这一问题，本文提出了自适应阈值边缘检测方法，以期对强弱边缘同时存在的图像有好的边缘检测效果[15]。
Contourlet变换能用不同尺度、不同频率的子带更准确的捕获图像中的分段二次连续曲线，具有方向性和各向异性，从而使表示图像边缘的Contourlet 系数能量更加集中，或者说Contourlet变换对于曲线有更“稀疏”的表示，因此，在Contourlet域中选择合适的阈值进行去噪，能比小波阈值去噪获得更好的效果[60]。
Contourlet变换的基本思想是首先用一个类似小波的多尺度分解捕捉边缘奇异点，再根据方向信息将位置相近的奇异点汇集成轮廓段[61,65]。
Contourlet变换自适应阈值确定方法如下：采用n×n的窗口，对可能的边 缘图像进行扫描，由窗口内的Contourlet变换系数求出阈值，计算公式如下：
T=T0+α0×∑Ci,j （3.10）
i,j
式中T为阈值，T0为初始值，Ci,j为与当前窗口对应的Contourlet变换系数，α0 为比例系数，用于决定与当前窗口相对应的Contourlet变换系数对阈值的影响程度。T0和α0的值可根据实际情况调整。
窗口大小的确定对采用自适应阈值方法至关重要。若窗口太小，则图像噪声和灰度不均匀对阈值的影响增大，误检率提高；若窗口太大，图像中的微弱边缘易被滤去，达不到好的检测效果。因此，要根据实际图像的特点合理选择窗口大小，以达到好的检测效果。
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第3章 B样小波边缘检测的改进算法
3.3 多尺度边缘检测
图像的每个尺度的小波变换都提供了一定的边缘信息。当尺度小时，图像的边缘细节信息较为丰富，边缘定位高，但易受到噪声的干扰；当尺度大时，图像的边缘定位稳定，抗噪性好，但定位精度差。
以往的多尺度边缘检测算法多用多尺度融合的方法将各尺度的结果综合起来。但这种方法可能存在问题如下：
（1）某一尺度提取出的微弱边缘在最后融合时丢失。
（2）一些已被提取出的边缘和噪声一起继续被平滑，以致无法达到最佳分辨率、定位不准确且增大计算量。
所以本文改进原有的多尺度融合算法。原算法与本文算法流程图如图3.1所示。
开始尺度为k(k=1,2,3,4)的小波变换求模极大值开始Contourlet设定自适应阈值小波变换设定自适应阈值是否边缘？否是尺度为k时的图像边缘k=k+1尺度为k(k=1,2,3,4)的小波变换求模极大值尺度为k时的图像边缘否k>=5k=k+1是综合各尺度边缘结束（a）原算法流程图
否 k>=5是最终检测结果结束（b）本文改进的算法流程图
图3.1 算法流程图
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流程图的步骤说明如下：
（1）尺度为k时，首先用以下算法判断待测图像，将边缘点与其他部分区分出来。
用宽度为n的正方形结构元素检测整幅图像，当这一区域内符合阈值（Contourlet自适应阈值）要求的像素个数达到一定数量时，则判断为边缘点，这部分边缘点直接保存到最终检测结果中（n值和结构元素的形状要分别根据具体的尺度值和图像边缘的形状而定）；而其余部分继续做尺度为k+1的小波变换得到下一尺度的待测图像。
（2）k=k+1，当k=5时检测结束，否则继续检测。文献[56]中详细论述了小波边缘检测最大尺度为4的原因，在此不再详述。
（3）对最终检测结果作形态学闭运算得到连续光顺的边缘，再作形态学细化，得到单像素宽度的边缘。
3.4 实验结果分析
将本章“三次B样条小波自适应阈值边缘检测的改进算法”与文献[15]的算法比较，可以发现在较高噪声时，本文算法在准确定位的同时能更好的抑制噪声（文献[15]中已将其算法与经典算法Prewitt算法、Canny算法作过比较，证明其优越性，所以这里只以本文算法与文献[15]算法比较）。仿真时分别采用1024×1024的图3.2和256×256的图3.6做为原图像。
图3.2为无噪声的Matlab标准图像，图3.3为噪声图像（对图2加入均值为0，方差为0.1的较高高斯噪声，大部分文献都加入方差为0.05高斯噪声或椒盐噪声），图3.4、图3.5分别为文献[15]与本文算法对图3得到的边缘检测结果。图3.6为无噪时的“Cameraman”图像，图3.7为图3.6的加噪图像。图3.8、图3.9分别为文献[15]与本文对图3.7的提取结果。图3.4、图3.5、图
3.8、图3.9均为单像素边缘，从仿真结果中可看出，图3.5比图3.4（如花茎部分），图3.9比图3.8提取出更多的微弱边缘，且定位更准确。
表3.1、表3.2以Canny准则的三条标准来比较文献[15]算法和本文算法对加噪图像图3.3和图3.7的提取。
Canny准则[7]包括三条指标。 （1）信噪比准则
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第3章 B样小波边缘检测的改进算法
（2）定位精度准则 （3）单边缘响应准则
理想的检测结果应该有较高信噪比，较低偏离度，尽量不产生双边缘。
图3.2 1024×1024无噪声标准图像 3.4 文献[15]对图3.3提取出的边缘 图 图3.6 无噪声Cameraman 21
图3.3 加噪图像
3.5 本文算法对图3.3提取出的边缘
图3.7 加噪图像
图
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图3.8 文献[15]对图3.7提取出的边缘 图3.9 本文对图3.7提取出的边缘
从表3.1中可看出对于1024×1024的图3.2，本文算法与原文算法相比信噪比可提高4.05%，偏离程度可降低48.94%，速度可提高5.98%。从表3.2中可看出对于256×256的图3.6，信噪比可提高0.8%，偏离程度可下降26.52%，速度可提高2.13%。
表3.1 原图像为图3.2的仿真结果
原算法 本文算法
准则1/db
准则2
准则3
所用时间/s 252.777000 237.6622200
51.3831 0.0047 近似于0 近似于0 53.44 0.0024 表3.2 原图像为图3.6的仿真结果
原算法 本文算法
准则1/db 准则2 准则3 所用时间/s 17.377300 11.134604
近似于0 34.1408 0.0494 近似于0 34.4134 0.0381 3.5 本章小结
本文采用“先判断-再检测”的B样条小波算法对噪声图像做多尺度边缘检测，利用Contourlet算法设计自适应阈值。实验结果表明，该算法在得到更多微弱边缘的同时，具有抗噪性好，定位准确等优点。以1024×1024的灰度图像为例，信噪比可提高4.05%，偏离程度可降低48.94%。但也存在以下不
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第3章 B样小波边缘检测的改进算法
足：
（1）光顺性不够理想。利用形态学闭运算算子可使边缘更加连贯光顺，但当闭运算掩模过大时，则会使得到的边缘定位不准确。
（2）算法速度提高不明显。算法选择未被检测出的部分继续下一尺度变换，且不需多尺度融合，大幅度的提高计算速度，但自适应阈值设计这一环节算法复杂，所以在一定程度上增大了计算量。
但与Canny准则相比，这两点并不是影响边缘检测结果的主要指标。
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第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法
第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测
算法
高斯函数无论在时、频域都是最优函数[56]。但高斯卷积核存在一个固有缺陷，其空间系数σ不具备自动调节的功能。σ决定滤除噪声的程度和定位的精确度[66]。σ值越大，去除噪声效果越好，而定位精度越差；σ值越小，定位越准确，但去噪效果越差。一旦σ值确定，无论图像信噪比如何，将一视同仁的进行平滑，不能达到最好的检测效果，这也是大多数算法没有选择高斯函数作为小波函数的主要原因。
由于高斯函数的优越性，很多学者[17,67,68]对LOG（Laplacian-Gaussian）算法提出改进，将图像分块，按区域自适应的设计与之相应的σ值，这种方法主要存在以下两个缺点。
（1）算法复杂，分块计算自适应σ值计算量过大。
（2）Laplacian算法自身的优越性不如小波检测算法，以致改进的LOG算法效果并不理想。
针对这些主要问题，本文提出一种基于高斯小波函数，利用灰度共生矩阵特征值自适应选择σ，对图像进行多层次检测，最后将各层结果进行融合的算法。
4.1 基于高斯小波的边缘检测
4.1.1 高斯小波[66]
高斯函数的表达式为
gσ(t)=
−t
1e2πσ2
(2σ2)
（4.1）
容易证明，高斯函数可以作为尺度函数，且高斯函数的各阶导数均满足小波函数的容许性条件，都是小波函数[66]。
在频域，高斯函数的n阶导数可表示为
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∧(n)σ
g(ω)=(jω)e
n
−σ2ω22 （4.2）
对于二进小波变换，存在以下关系。
tt
hkφ)=2()(−k)∑jj−1
22k
（4.3）
tt
φ(j)=2∑l(k)φ(j−1−k)22kφ(
其中，φ(t)为尺度函数，ϕ(t)为小波函数，h(k)为低通滤波器，l(k)为高通滤波器。
H(ω)=∑h(n)e−jωn （4.4）
n∈Z
H(ω)=
对上式求傅里叶反变换得到
ϕ(2ω)ϕ(ω)
∧
∧
（4.5）
h(n)=
−t1e6πσ2
6σ2
（4.6）
由高斯函数的各阶导数构成的小波函数和高斯函数也可以表示为一个二尺度伸缩方程。
(n)gσ(t)=2∑ln(k)gσ(2l−k) （4.7）
k∈Z
令
Ln(ω)=
∑l
k∈Z
n
(k)e−jwk （4.8）
由公式（4.1）和公式（4.4）可以得到
Ln(ω)=
gσ(2ω)gσ(ω)
∧(n)
∧(n)
=(jω)n2ne−3σ2
ω22
=(jω)2nH(ω) （4.9）
n
由傅里叶变换转到时域为
ln(t)=(2nh(t))(n) （4.10）
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第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法
本文选择高斯函数的一阶导数作为小波函数，所以只考虑n=1的情况。
−t1l1(t)=e
36πσ2
6σ2
（4.11）
4.1.2 灰度共生矩阵[17]
灰度共生矩阵（Gray level co-occurrence matrix）分析法是纹理分析中的一种重要方法，它通过研究图像中两个像素灰度级联合分布的统计形式，精确反映图像纹理的粗糙程度、重复方向和空间复杂度。利用灰度矩阵可以计算图像纹理的一致性和反差性。该算法是一种根据所得参数并结合图像边缘检测算法来检测图像边缘的行之有效的方法。
灰度共生矩阵描述了图像中，从灰度为i的象素点离开某个固定位置关系
δ=(Dx,Dy)的点上的灰度为j的概率。用Pδ表示为pδ(i,j)（i,j=0,1,2…L-1），
式中L表示图像的灰度级，i，j分别表示两像素的灰度，δ表示两像素间的空间位置关系，当空间中两像素的位置关系δ确定后，就生成了一定δ下的灰度共生矩阵Pδ。
…P(0,1)⎡P(0,0)
⎢P(1,0)…P(1,1)⎢⎢………ps=⎢
P(i,1)…⎢P(i,0)
⎢………⎢⎢⎣P(L−1,0)P(L−1,1)…
…P(0,L−1)⎤
…P(1,L−1)⎥
⎥⎥………
⎥
P(i,L−1)P(i,j)…⎥
⎥………
⎥
P(L−1,j)…P(L−1,L−1)⎥⎦
P(0,j)P(1,j)
共生矩阵中的每个元素表示了某种灰度组合下出现的次数。类似于
pσ(i,j)，pσ(i,j,d,θ)表示图像中灰度为i和j，相距为d，角度为θ的像素
对出现的归一化频率。
经研究发现，灰度共生矩阵的惯性矩、逆差距、差方差、差商等特征均能分辨图像灰度的空间分布复杂程度，其中惯性矩特征将图像灰度的空间分布复杂程度的差异显著拉开，度量效果最佳[67]。惯性矩特征值表达式如公式（4.12），其中Ng表示图像的灰度级。
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Ng
Ng
F=
∑∑(i−
i=1
j=1
j)2pσ(i,j,d,θ) （4.12）
对于灰度变化平坦的图像，pσ(i,j,d,θ)的值主要集中在矩阵主对角线附近，其值较小，相反对于复杂图像相应的惯性矩特征值较大。所以高斯函数的空间系数σ可以通过计算灰度共生矩阵的惯性特征值映射来获得。
文献[67]中介绍了一种根据惯性特征值求σ的方法，由于对图像内每个像素计算其邻域惯性矩特征值的计算时间过长，只取整个图像惯性矩特征均值计算d=1,3,5;θ=0,45,90,135的惯性矩值，以12个惯性矩值的均值
AveF代表图像灰度的空间分布复杂程度。
文献[67]给出了AveF与σ的对应关系。
σ=0.8+ln(AveF+1)10 （4.13）
4.1.3 自适应阈值的选取
在判断边缘时，为了去除因噪声和灰度不均引起的虚假边缘，需要设定一个阈值。如果对每一层的待测图像用统一的阈值，某些弱边缘会随着由灰度不均、噪声等原因产生的虚假边缘一并被滤除。所以用小波变换的方法设计一种自适应阈值。
采用n×n的窗口，对可能的边缘图像进行扫描，由窗口内的小波变换系数求出阈值，计算公式如下：
T=T0+α0×∑C
i,j
i,j
（4.14）
式中T为阈值；T0为初始值；Ci,j为与当前窗口对应的小波变换系数；α0为比例系数，用以决定与当前窗口相对应的小波变换系数对阈值的影响程度；T0，
α0的值可根据实际情况调整。
窗口大小的确定对采用自适应阈值方法至关重要。若窗口太小，则图像噪声和灰度不均匀对阈值的影响增大，误检率提高；若窗口太大，图像中的微弱边缘易被滤去，检测效果较差。因此要根据实际图像的特点合理选择窗口大小。
阈值设定方法参照第3章3.2节，区别在于本节式（4.14）中的Ci,j为小波变换系数（3.2节式（3.10）中的Ci,j为Contourlet变换系数）。本章之所以没
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第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法
有选用Contourlet变换的原因是由于计算灰度共生矩阵特征值这一步运算复杂，如果选用复杂度较高的Contourlet变换，将进一步增大整体计算量。
4.2 融合算法在高斯小波边缘检测中的应用
本章根据高斯小波函数的固有特点设计了一种“自适应求σ值—根据σ值设计高、低通滤波器—对图像做多层次边缘检测—将各层次检测结果按照一定规则融合”的算法，算法的流程图如图4.1所示。
根据待测图像灰度共生矩阵的惯性特征值来计算空间系数σ，由σ设计高低通滤波器，对加噪图像做第一层滤波，高通部分为第一层边缘，低通部分为下一层待测图像，根据下一层待测图像的灰度共生矩阵设定相应σ值，以此类推，直至检测结束。
最后按照一定规则，将各层图像融合，可以达到单像素宽度边缘。 文献[7]指出，对大部分图像而言，σ的变化范围是0.9~1.25，由于变化幅度较小，即对去噪程度和定位偏移程度影响均较小，所以本章算法比较适合较小的图像。
通过对不同图像进行大量试验，可以发现，当检测层数大于5时，σ基本不再变化，即接近可变范围内的最大值，所以本文检测层数设为5。
由于每层边缘图像偏移程度较小，不会超过1个像素单位，所以设计如下融合方案（对应流程图图1的“综合各尺度边缘”这一环节）。
（1）扫描第k（k初值为5）层图像，根据阈值判断出边缘点，标记这些点及其8邻域点；
（2）在与标记点对应的位置上，根据阈值判断第k-1层图像得到新的待定边缘，标记这些点及其8临域点；
（3）k=k-1；
（4）当k<1时结束循环，否则跳转到（1）。 经过以上步骤，最后得到单像素宽度边缘。
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开始 值自适应求σ相应求出高、低通滤波器并做第L(L=1,2,3,4,5)层检测生成第L层边缘图像L=L+1否L>5?是综合各尺度边缘结束图4.1 算法流程图
（1）扫描第k层图像，根据阈值判断出边缘点，标记这些点及其8邻域点； （2）在与标记点对应的位置上，根据阈值判断当前图像得到新的待定边缘；标记这些点及其八临域点；
（3）k=k-1；
（4）当k<1时结束循环，否则跳转到（2）。 经过以上步骤，最后得到单像素宽度边缘。
4.3 仿真结果及分析
这里分别以256×256的cameraman图像、256×256的lenna图像、512×512的Matlab标准图像、1024×1024的Matlab标准图像为例。
因为B样条小波边缘检测算子是较优秀的检测算子，在文献[15]中证明了该算法与经典边缘检测算法、Canny算法相比较的优越性，所以本文只与B样条小波边缘检测算法比较。
图4.2为无噪的cameraman图像（256×256），图4.3为图4.2的加噪图像
(均值为0，方差为0.1的高斯噪声)，图4.4为B样条小波对图4.3提取出的边缘，图4.5为本文算法对图4.3提取出的边缘；图4.6为无噪的lenna图像（256
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第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法
×256），图4.7为图4.6的加噪图像，图4.8为B样条小波对图4.7提取出的边缘，图4.9为本文算法对图4.7提取出的边缘；图4.10为无噪的Matlab标准图像（512×512），图4.11为图4.10的加噪图像，图4.12为B样条小波对图11提取出的边缘，图4.13为本文算法对图4.11提取出的边缘；图4.14为
Matlab标准图像（1024×1024），图4.15为图4.14的加噪图像，图4.16为B样条小波提取出的边缘，图4.17为本文算法提取出的边缘。
图4.2 cameraman图像 图4.3 图4.2的加噪图像
图4.4 B样条小波提取出的边缘 图4.5 本文算法提取出的边缘
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图4.6 lenna图像 图4.8 B样条小波提取出的边缘
图4.10 512×512原图像
图4.7 图4.6的加噪图像
图4.9 本文算法提取出的边缘
图4.11 图10的加噪图像
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第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法
图4.12 B样条小波提取出的边缘
图4.14 1024×1024原图像
图4.16 B样条小波提取出的边缘
图4.13 本文算法提取出的边缘
图4.15 图4.10的加噪图像
图4.17 本文算法提取出的边缘
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本文结合Canny三条准则，提取无噪图像的边缘作为标准，将两种算法检测到的边缘分别与之比较，相同的像素点视为信号，不同的像素点为噪声，具体说明如表4.1、表4.2、表4.3所示。
表4.1 cameraman（256×256）的仿真结果
准则1/db
准则2
准则3 时间（s）
原算法 53.6180 0.0042 近似于0 11.8658 本文算法 55.6360 0.0033 近似于0 11.9007 表4.2 lenna（256×256）的仿真结果
准则1/db
准则2
准则3
时间（s）
原算法 36.9357 0.0150 近似于0 11.6198 本文算法 39.1773 0.0130 近似于0 11.8730 表4.3 Matlab标准图像（512×512）的仿真结果
准则1/db
准则2
准则3
时间（s）
原算法 59.6680 0.0019 近似于0 51.2067 本文算法 60.6886 0.0018 近似于0 53.02 表4.4 Matlab标准图像（1024×1024）的仿真结果
准则1/db
准则2
准则3
时间（s）
原算法 59.3618 0.0022 近似于0 237.6622 本文算法 59.6382 0.0019 近似于0 252.7700 从表格中可以看出，三组实验结果均证明本文算法在准确定位和有效去除噪声两方面优于B样条小波边缘检测算法，而计算速度略逊于原算法，这主要是因为计算灰度共生矩阵特征值这一步增大了计算量。
对于第一组实验，信噪比提高了3.76%，偏离度降低了21.4%，计算时间增加了0.29%；第二组实验，信噪比提高了6.07%，偏离度下降了13.3%，时间增加了2.17%；第三组实验，信噪比提高了1.71%，偏离程度降低了5.26%，时间增加了3.55%；对于第四组实验，信噪比提高了0.47%，偏离度降低了
13.6%，时间增加了6.36%。
由表4.5可以明显看出，随着图像像素点的增多，信噪比提高的程度降低。
34
第4章 多层次自适应空间系数高斯小波边缘检测算法
这是因为本文算法利用高斯函数的空间系数σ对图像进行多层次的检测，而
σ可变的范围很小（0.9~1.25），即对滤除噪声的程度影响小，当图像较小时，σ在很小很小范围内变换就可将噪声基本滤除；当图像较大时，即使σ值达到可变范围内的极限，而噪声可能仍没有完全滤除，所以无法得到最佳效果。
表4.5 信噪比提高程度与图像大小的关系
Cameraman
（256×256）
Lenna （256×256）
标准图像1 （512×512）
标准图像2 （1024×1024）
3.76% 6.07% 1.71% 0.47% 由表4.6可以看得出，随着图像像素点的增加，运算时间增加的程度明显提高。这是因为本文算法在自适应选择σ值时，需要计算图像灰度共生矩阵的惯性特征值，当像素点增加时，计算量随之增大。
表4.6 运算时间提高程度与图像大小的关系
Cameraman
（256×256）
Lenna （256×256）
标准图像1 （512×512）
标准图像2 （1024×1024）
0.29% 2.17% 3.55% 6.36% 综上所述，考虑到Canny准则与运算时间，本文算法更适合于较小（256×256以下）的灰度图像。
4.4 本章小结
本章结合融合算法，提出一种自适应选取阈值和空间系数的高斯小波边缘检测算法。该算法弥补了高斯小波卷积核的固有缺陷，充分体现出高斯小波的优越性。通过实验证明，这种方法在去除噪声和准确定位两方面优于传统的经典算法、Canny算法，以及近年来较优秀的B样条小波算法。
由于高斯卷积核的空间系数变化范围较小，所以对去噪和移位程度的影响也较小。因此本文算法适合较小的灰度图像，对于大于1024×1024的图像，信噪比基本不再提高。
在实际应用中，数字图像往往达不到Matlab标准图像的大小（1024×
35
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1024），所以本文算法虽有局限，但仍有一定实用性。
36
第5章 Canny算法和小波算法在边缘检测中的结合应用
第5章 Canny算法和小波算法在边缘检测中的
结合应用
目前提出的基于小波变换的方法主要在高频分量上提取边缘，忽略了低频分量的部分边缘信息，虽然用小波变换对图像进行边缘检测能很好地抑制噪声，但检测到的边缘存在不连续的现象[70]。
Canny算法是传统的边缘检测方法，主要问题是随着尺度参数的增加，检测精度提高而定位精度降低。为了能设定合适的尺度参数，必须知道噪声能量，然而局部检测噪声能量并非易事，因而在对含噪图像的处理中，很难得到令人满意的效果。
文献[70][78,79,80]将Canny算法和小波变换法结合应用在边缘检测中，在图像的高频部分用小波变换法提取边缘，在低频部分用Canny算法提取边缘,以某种规则将两部分融合得到最后检测结果。
这种算法的效果因高频部分小波变换法的具体应用和融合规则的选择而异。本文将第3章所述B样条小波边缘检测的改进算法和第4章所述自适应空间系数高斯小波算法应用在图像的高频部分，低频部分用经典Canny算法，最后以一定规则将两部分融合，得到最终边缘。
5.1 Canny算法在图像低频部分的应用
Canny给出了评价边缘检测性能优劣的三个指标。
（1）高的信噪比，即非边缘点判为边缘点或将边缘点判为非边缘点的概率低；
（2）好的定位性能，即检测出的边缘点要尽可能在实际边缘的中心； （3）对单一边缘具有惟一响应，并且最大限度地抑制虚假边缘响应。
Canny算法主要分为如下几个步骤。 （1）在定位和检测前滤除噪声
选用高斯滤波器，设计出一个合适的掩模，用标准卷积实现高斯平滑。图
5.1是比较常用的高斯掩模。
37
吉林大学硕士学位论文
1 115
242
491294
5125125
491294
242
（2）利用梯度搜寻边缘
图5.1 高斯掩模
使用Sobel梯度算子计算每一像素的梯度估计值。Sobel算子有两个3*3的卷积核。如图5.2分别表示了水平方向和垂直方向的梯度分量。
21⎤⎡−101⎤⎡1
⎥⎢⎥ 0 2 Gy=0 0 0 2Gx=⎢−⎥⎢⎥⎢
⎢⎢⎣−101⎥⎦⎣−1−2−1⎥⎦
图5.2 Sobel卷积核
（3）计算方向角
若水平、垂直方向梯度分量已知，用式（5.1）计算方向角。
θ=argtan(Gy/Gx) （5.1）
（4）方向角规范化
对于图像中每个象素，只有四个可能的方向和邻点连接：0度（水平）、
45度（对焦线）、90度（垂直）、135度（负对角线）。这样方向角就被规划到以上四个角度。
（5）非最大化抑制
遍历边缘点，若该点在方向角方向上是梯度值最大，则保留，否则从边缘点集合剔除。
（6）双阈值分割
选定两个梯度阈值，一个高阈值TH，一个低阈值TL，TH与TL的比值通常为2：3。先从边缘点集合中去除梯度值小于高阈值的像素点，得边缘点集合F。再处理梯度介于高低阈值之间的像素集合M。若M中一点在F中有临点，则加入F。最终得到的F点集合就是边缘点集合。
38
第5章 Canny算法和小波算法在边缘检测中的结合应用
5.2 结合Canny法和小波变换法的边缘检测
单一的边缘检测方法只能从某一方面反映图像的边缘信息，而信息融合技术综合各种手段获得有用信息，可以有效地提高信息的可信度[78,80]。
经过小波变换法提取出的边缘能抑制图像中的大部分噪声，然而由于图像的真实边缘常常与许多噪声点混杂在一起，在抑制噪声的过程中丢失了一些细节边缘；而经典的Canny算子利用图像的梯度信息能得到比较完整连续的边缘，但在噪声图像中若阈值选取不当，这个边缘通常被噪声淹没，以至于给图像分割、目标识别等后续处理带来很大的困难[70]。
开始对图像进行高低频分解否是否高频部分是是否高分辨率是否B样条小波边缘检测改进算法Canny算子检测算法自适应空间系数高斯小波检测高、低频检测结果融合结束 图5.3 算法流程图
本章对小波变换与Canny算子两种方法提取的边缘图像信息进行融合处
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理，摒弃无用的噪声点，保留有用的真实边缘，使得最终的边缘图像既有效地
抑制了噪声，又能保留连续、清晰的边缘，为后续的图像处理奠定良好的基础。
高频部分选取第3章中B样条小波边缘检测的改进算法或第4章中自适应空间系数高斯小波边缘检测法。图像的低频部分用Canny算法提取边缘。算法流程图如图5.3所示。
5.2.1 高、低频算法检测步骤
（1）对源图像进行L层小波分解，得到源图像的低频近似子图像及高频细节子图像。
（2）在分解的最高层L层时，用Canny算子对低频子图像进行边缘提取，得到边缘图像E2；上述相应的小波变换法对高频细节子图像进行边缘提取，到边缘图像E1；对这两个边缘图像按一定的融合规则进行融合处理，得到L层的融合边缘图像EFL标记这些点及其八临域点为待测区域。
（3）L-1层，对应于L层待测区域内的像素点若满足阈值要求（详第四章），则得到L-1层边缘图像EFL-1得到L-1层的融合边缘图像EFL-1，标记这些点及其八临域点为L-1层的待测区域。
（4）重复步骤3，直到第0层（源图像）为止，这时得到了最终理想的边缘图像。
5.2.2 高、低频图像的融合规则
由于低频部分Canny算子检测到的边缘连贯性好但定位精度较差，即产生偏移；而高频部分由小波变换法检测到的边缘定位精度高但不连贯，所以以高频边缘来判断低频边缘。
具体方法为，对于高频部分检测出的边缘进行形态学膨胀，掩模大小由小波变换尺度而定，膨胀后的边缘记为代检测区域。
在图像的低频部分，对应于高频待检测区域的像素值如符合阈值要求和连贯性要求则记为边缘点。
40
第5章 Canny算法和小波算法在边缘检测中的结合应用
5.3 仿真结果及分析
选用256×256的Cameraman为例，图5.4为原图像，图5.5为加噪图像，图5.6~图5.13分别图5.5经过多尺度小波分解后，每一尺度上高、低频部分应用相应检测方法提取出的边缘。可以发现，低频部分用Canny算子提取出的边缘完整、连续但定位不准；高频部分用小波变换检测出的边缘模糊，但定位精确，符合本章5.2节中的分析。
图5.14为文献[15]提取出的边缘，图5.15为本章算法提取出的边缘。表
5.1为以Canny准则为标准比较文献[15]算法与本章算法得到的各项指标。Canny准则详见本章5.1节。
表5.2为第3章B样条小波边缘检测改进算法与本章算法比较，表5.3为第4章自适应空间系数小波边缘检测算法与本章算法的比较。
图5.4 cameran标准图像 图5.5 图5.4的加噪图像
图5.6 尺度为1低频部分边缘 图5.7 尺度为1高频部分边缘
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图5.8 尺度为2低频部分边缘
图5.10 尺度为3低频部分边缘
图5.12 尺度为4低频部分边缘
图5.9 尺度为2高频部分边缘
图5.11 尺度为3高频部分边缘
图5.13 尺度为4高频部分边缘
42
第5章 Canny算法和小波算法在边缘检测中的结合应用
图5.14 文献[15]提取出的边缘 图5.15 本章算法提取出的边缘
表5.1 文献[15]算法与本章算法比较
准则1/db
准则2
准则3
所用时间/s
原算法 34.1408 0.0494 近似于0 11.377300 本文算法 45.2609 0.0100 近似于0 12.785000 表5.2 第3章算法与本章算法比较
第3章算法
准则1/db
准则2
准则3
所用时间/s
34.4131 0.0381 近似于0 11.134604 本文算法 45.2609 0.0100 近似于0 12.785000 表5.3 第4章算法与本章算法比较
第4章算法
准则1/db
准则2
准则3
所用时间/s
39.1773 0.0150 近似于0 11.377300 本文算法 45.2609 0.0100 近似于0 12.785000 5.4 本章小结
本章将第3章B样条小波边缘检测的改进算法和第4章自适应空间系数高斯小波边缘检测算法应用在待测图像的高频部分，与用经典Canny算法在图像低频部分检测到的边缘融合，得到最后结果。
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通过仿真实验，证明这种算法检测到的结果比单一在高频部分检测所得边缘信息含量更丰富，即能检测到更多弱边缘，且边缘更连贯，但由于对图像高、低频两部分分别处理，且增加融合这一环节，增大了计算量。
44
第6章 全文总结
第6章 全文总结
6.1 全文工作总结
为了在抑制噪声的同时更准确定位图像边缘，对以灰度图像的边缘检测技术进行了深入系统的研究，主要的研究成果包括以下几个方面。
（1） 对目前边缘检测技术的发展状况，包括边缘检测的基本特征及分类，设计检测算法需要注意和解决的问题，检测算法的基本框架以及目前存在的经典算法进行了论述，并给出了判定图像边缘检测算法性能优劣与否的评价指标。
（2）论述了小波变换的相关理论，介绍了B样条小波、高斯小波等优秀小波基在图像边缘检测中的优点及局限性，详细论述了多尺度多分辨率及数字融合技术在边缘检测算法中的应用，通过仿真实验，验证了多种技术结合在图像处理中特有的一些优越性。
（3）对原有的B样条小波边缘检测做出改进，增加了Contourlet自适应判断阈值并改原来的融合算法为各尺度有选择性拼接，节省了计算量，有效保留了弱边缘。
（4）提出一种基于高斯小波的边缘检测算法。根据图像灰度共生矩阵设计高斯函数的自适应空间系数，根据该系数做多层边缘提取，最后按一定规则将各层边缘融合得到最后结果。通过仿真实验，分析了其性能的优劣。
（5）综合以上两点在图像高频部分的应用，改进在低频部分用Canny算子提取边缘，与高频检测结果相融合的算法，可以保留低频部分的细节边缘。该算法摒弃无用的噪声点，保留有用的真实边缘，使得最终的边缘图像既有效地抑制了噪声，又能保留连续、清晰的边缘，为后续的图像处理奠定良好的基础。
对所提出的算法对不同图像中进行实验，并与其他算法进行了对比，结果表明，该算法可以在有效抑制噪声的同时更准确定位边缘。
45
第六章 全文总结
6.2 存在的问题及下一步工作
论文所提出的算法有一些不完善之处。
利用B样条小波的改进算法检测边缘时，光顺性不够理想。利用形态学闭运算算子可使边缘更加连贯光顺，但当闭运算掩模过大时，则会使得到的边缘定位不准确。其次是算法速度提高不明显。算法选择未被检测出的部分继续下一尺度变换，且不需多尺度融合，大幅度的提高计算速度，但自适应阈值设计这一环节算法复杂，所以在一定程度上增大了计算量。
利用自适应高斯小波边缘检测时，随着图像像素点的增加，运算时间增加需要计算图像灰度的程度明显提高。这是因为本文算法在自适应选择σ值时，共生矩阵的惯性特征值，当像素点增加时，计算量随之增大。
而第六章所提出的融合算法由于对图像高、低频两部分分别处理，且增加融合这一环节，增大了计算量。
根据对小波变换域的图像边缘检测的研究和体会，认为在以下几个方面有待于进一步的研究。
（1） 将多尺度思想和第四章的多层次思想结合起来，即在每一尺度进行多层次检测，可以自适应的跟据图像大小选择层数，这样可以使算法的通用性更广。
（2） 将第3章的以拼接取代融合思想应用于第4章自适应阈值高斯小波变换检测算法。每一层次符合条件的边缘点直接保留，不再做下一层检测，这样可以保留更多弱边缘及节省结算时间。
（3）Contourlet变换是对二维图像域内小波变换的一种新扩展，它在多尺度的基础上增加了多方向性，可以更有效的捕捉图像中的光滑轮廓。但简单的将Contourlet算法应用在图像边缘检测中会造成严重的多重边缘，所以基于
Contourlet算法的图像边缘检测有待于进一步研究。
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摘 要
摘 要
本文针对图像边缘检测中权衡平滑噪声与保持细节边缘之间的目的，对基于小波变换的数字图像边缘检测方法进行研究。
首先介绍了数字图像边缘检测的研究背景、国内外的研究现状、图像边缘的有关概念，数字图像边缘检测的基本特征以及原理，总结了一些常用的典型算法.经典的边缘检测算子对高质量的图像的边缘检测效果较好，但用于含有噪声的图像并不理想。
其次重点分析基于小波的图像边缘检测方法。介绍了小波分析发展及其理论知识。引入多尺度小波边缘检测方法，但该方法会导致细节边缘的损失且边缘位置会发生偏移。针对这种请况，借助基于小波的数据融合思想，使多尺度小波方法与Canny算子相结合，提出了基于多尺度小波的数据融合边缘检测方法。
最后，介绍了图像边缘检测的效果评价准则。 综上所述，本文主要进行了以下四方面的工作。 （1）B样条小波边缘检测中存在如下问题：
①多尺度融合算法会使较大尺度检测出的微弱边缘消失；
②没有及时保留某一尺度上已提取出的边缘点而使其继续被平滑、移位，分辨率降低且增大计算量。
针对这两个问题，做出改进：
①改变原算法的“整幅图做下一尺度小波变换—阈值判断—多尺度融合”思想，运用一种 “先设阈值判断边缘--直接保留已检测出边缘，未检测出部分做下一尺度小波变换”算法。这种方法可以在一定程度上改进原有算法的不足。具体表现在：（a）这种改进的算法比原算法少了多尺度融合这一步骤，所以可以有效保留弱边缘。（b）因为先做了阈值判断，符合条件的像素点不再做下一步卷积，取代了原算法的整幅图像卷积。且减少了多尺度融合这一步，因此节省了计算时间。
②用Contourlet变换取代原来的小波变换设定一个“自适应阈值”判断边缘与噪声点。
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③对检测到的最终结果用形态法学方法细化，得到单像素边缘。 （3）针对高斯卷积核的固有特点：其空间系数 不具备自动调节的功能，一旦 值确定，平滑图像不因信噪比差异而异,提出一种基于高斯小波的自适应空间系数检测算法。
很多学对LOG算法提出改进，将图像分块，按区域自适应的设计与之相应的 值，这种方法主要存在以下两个缺点。
①算法复杂，分块计算自适应σ值计算量过大。
②Laplacian算法自身的优越性不如小波检测算法，以致改进的LOG算法效果并不理想。
根据待测图像灰度共生矩阵的惯性特征值来计算间系数σ，由σ设计高低通滤波器，对加噪图像做第一层滤波，高通部分为第一层边缘，低通部分为下一层待测图像，根据下一层待测图像的灰度共生矩阵设定相应σ值，以此类推，直至检测结束。最后按照一定规则，将各层图像融合，可以达到单像素宽度边缘。
（3）对于只在高频部分提取边缘而摒弃低频信息会丢掉部分细节边缘这一问题。本文最后结合（1）（2）两点及Canny算子，提出一种高、低部分相结合的边缘检测算法。
小波变换法提取出的边缘能抑制图像中的大部分噪声，然而由于图像的真实边缘常常与许多噪声点混杂在一起，在抑制噪声的过程中丢失了一些细节边缘；而经典的Canny算子利用图像的梯度信息能得到比较完整连续的边缘，但在噪声图像中若阈值选取不当，这个边缘通常被噪声淹没，以至于给图像分割、目标识别等后续处理带来很大的困难。
一些文献将Canny算法和小波变换法结合应用在边缘检测中，在图像的高频部分用小波变换法提取边缘，在低频部分用Canny算法提取边缘,以某种规则将两部分融合得到最后检测结果。这种算法的效果因高频部分小波变换法的具体应用和融合规则的选择而异。
本文将（1）所述B样条小波边缘检测的改进算法或（2）所述自适应空间系数高斯小波算法应用在图像的高频部分，图像的低频部分用经典Canny算法，最后以一定规则将两部分融合，得到最终边缘。
通过对大量不同灰度图像的仿真实验以及与其他算法的对比，证明了本文
II
摘 要
算法有效抑制噪声的同时更准确的定位了边缘。在评价边缘检测算法的Canny条准则上有所提高，但是由于算法复杂度的增加，牺牲了一定计算时间。
关键字：B-样条小波 Contourlet 自适应阈值 高斯小波 灰度共生矩阵
边缘检测
III
Abstract
Abstract
The paper reseaches the algorithm of edge detection on wavelet for the purpose of the best compromising between removing noise and remaining fine edges.
At first, the background and the actuality of image edge detection are introduced, basic concept and characteristic of edge detection are dissertated, and then the typical algorithms are summarized. They can’t work well with some noisy images as well as top-quality images.
Next, edge detector based on wavelet transforms is chifelly analized. The development of wavelet analysis and its fundamental theories are introduced as well as multi-scales wavelet transforms is proposed. But the proposed approach will cause displacement and loss of edges. Therefore, we put forward that the proposed approach can be combined with the Canny detector according to the ideal of data fusion based on wavelet transforms.
At last，the criterion of image edge detection is introduced.
In summary, three aspects work is carried out in the paper of the following: (1)for the gray-scale image of higher resolution (1024×1024 standard image), there are two important problerms in B-spline wavelet edge detector:
① The algorithm of multi-scale fusion will let the faint edge disappear; ② edges have been extracted from a certain scale are not retained .They
continue to be smoothed and displacemented. It reduces the resolution of the image and wastes the time of computation.
Addressing these two issues, improvements are made as follows:
①The original algorithm “the whole image do wavelet transform in the next
scale – the image is judged by threshold value - Multi-Scale Integration” is changed, “Edge is judged by threshold value firstly- edges have been detected are directly to retain, that not detected do next-scale wavelet transform” is used in the paper. The original algorithm can be improved with this method to a certain extent:(a)The algorithm improved has a reduction of multi-scale integration from
V
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the original algorithm, so faint edges can be effectively saved.(b)images are judged firstly by threshold value, pixels in line with the conditions no longer do next convolution, deconvolution on the whole image of the original algorithm is
replaced, multi-scale integration is reduced, all of them save the computation time.
②The initial wavelet transform is replaced by Contourlet transform to set a
“adaptive threshold” to judge Edge and noise.
③The final outcome is thinned using morphological to get single-pixel edge.
(2) for low-resolution images, in view of the inherent characteristics of Gauss: its space coefficient does not have the function of automatic adjustment that once value is defined, it Smoothes images do not vary due to differences of signal to noise ratio, an mult-levels adapive space coefficients edge detector based on Gauss wavelet is put forward to in the paper.
LOG is improved by many algorithms, the algorithm that image is blocked, with the adaptive design of the corresponding σ by region is put forward to, but there are two major shortcomings:
①complexity of the algorithm. Calculating block adaptive σ is of the
overload.
②Laplacian algorithm as to the superiority of their ownself is poor than
wavelet detection, why improved algorithm LOG effect is not satisfactory.
Firstly, inertia of moment of gray level co-occurrence matrix is used to design the σ which is suitable to the current image. Secondly, high-pass filters and low-pass filters are designed according to the σ and the next σ is determined out in accordance with the image which is filtered by low-pass filters. The process is repeated till noise is removed basically. At last, images of all levels extracted by different σ are fused to obtain the final image edge with only one pixel wide in accordance by certain rules.
(3)According to the problem that exacting edge only in the high-frequency part without low-frequency information would lose details, an algorithm combinationed of high and low is proposed with (1) and (2).
Wavelet detection can inhibit the brink of the most noise in the image, but
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Abstract
some of the details are losing in the process of noise suppression due to the brink of the true image often mixed with many noise; Classic Canny operator can get relatively complete information making use of gradient, but these edges are usually drowned by noise if the threshold is selected misconductly, this problerm brings gread trouble to follow-up work, for example, image segmentation, target identification.
Canny and wavelet transform are combined in some literatures, wavelet transform is used in the high-frequency part of the image to exact edgess and Canny is used in the low-frequency part, at last the two parts are combined in some fusion rules. The effect of this algorithm is due to the choice of wavelet transform in the high-frequency part and the different fusion rules.
Improved B-spline wavelet edge detector in (1) is used in high-frequency part for high-resolution images and atapt space conficcient Gauss wavelet edge detector is used in high-frequency part for low-resolution images. Canny edge detector is used in low-frequency part of all images. At last the two parts are combined in some fusion rules to obtain the last image. Simulation results indicate that comparing with traditional algorithms and B-spline wavelet it is more efficient with both precise image detection and effective noise restraining. However, due to the increase in computational complexity at the expense, time of computus is wasted.
Key words: B-Spline wavelet,Contourlet, Adaptiveσ,Gauss wavelet，Gray level
co-occurrence matrix, Edge detection
VII
致 谢
致 谢
本论文的研究工作自始至终都是在导师王珂教授的精心指导下完成的。两年多来，导师不仅将我领入信号处理这一充满挑战的学术领域，而且导师渊博的知识、正直的人品、严谨的科学态度也深深影响着我，激励着我；在生活上王老师也给了我无微不至的关怀，借此论文完成之际，谨向尊敬的王老师致以最衷心的感谢！
在本论文的研究过程中，师兄许兆博士、师姐罗丽硕士给我大力的支持和帮助，并提供了许多宝贵的资料和信息。同学王欢硕士在论文的排版工作上给予极大帮助。同时与刘准、金月、高静、王楠、毕达天之间的交流总是会给我许多启发，感谢他们给我的帮助。
尤其要感谢我的父母及家人，没有他们对我多年的培养、无微不至的关怀和无私的爱，以及对我学业的全力支持，我不会有今天的成绩，他们是我不断进步的动力！谨以本文作为献给他们的一份心意。
最后，再次向我的导师和所有关心我的老师、同学表示由衷的谢意！
导师及作者简介
导师及作者简介
导师简介
王珂，男，汉族，工学博士，现为吉林大学通信工程学院副院长，信息与通信工程学科教授，博士生导师。主要研究方向：无线通信理论、信号与信息处理理论与技术，以及无线定位与导航、信号传输的可靠性。近五年负责承担国家自然科学基金、九五科技攻关计划和省部级科研课题5项，获吉林省科技进步一等奖一项，发表学术论文20余篇。
通讯地址：吉林春市吉林大学通信工程学院 邮编：130025
Email：wangke@jlu.edu.cn
作者简介
王青竹，女，汉族，2006年7月毕业于吉林大学通信工程学院信息工程专业。现为吉林大学通信工程学院信号与信息处理专业硕士研究生，硕士期间的主要研究方向为数字图像处理，图像边缘检测。
通讯地址：吉林春市吉林大学通信工程学院 邮编：130025
Email：wangqingzhu198339@163.com
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