初高中数学衔接知识点总结

数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目 录

1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a,a0,|a|0,a0,

a,a0.2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3.两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 4.两个重要绝对值不等式：

x＜a（a＞0）a＜x＜a，x＞a（a＞0）x＜a或x＞a

问题导入：

问题1：化简：（1）：

问题2：解含有绝对值的方程

2x1 （2) :

x1x3

(1)

2x46; （2）

32x25

问题3：至少用两种方法解不等式 知识讲解

x1＞4

例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：

yx

; （2）

y2x3.

例2：解不等式：

x1x3＞4

练 习

1、若等式

aa , 则成立的条件是----------

2、数轴上表示实数 x1,x2 的两点A,B之间的距离为--------

3、已知数轴上的三点A,B,C分别表示有理数a，1，-1，那么

a1 表示（ ）

A、 A,B两点间的距离 B、 A,C两点间的距离 C、 A,B两点到原点的距离之和 D、 A,C两点到原点的距离之和

222x1x2y10xy______ 4、如果有理数x，y满足，则

5、若

x5，则x=_________；若

x4，则x=_________．

6、如果

ab5，且a1，则b＝________；若

1c2，则c＝________．

7、下列叙述正确的是 （ ）

（A）若

ab，则ab （B）若

abab，则ab ，则ab

（C）若ab，则

ab （D）若

8．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1、2 二次根式与分式

知识清单

二次根式

二次根式的定义：形如a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一

个非负数时，a 才有意义，a(a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3aa2b2b，a2b2等是无理式，而

2x2

2x1，x22xyy2，a2等是有理式． 2二次根式的性质：

①

aa(a0)；

2②

a(a0)a0(a0) a2a(a0)

③

aba•b（a≥0，b≥0）

④

aaa0,b＞0bb

分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:

①

a与a；

ab与ab；

②

③ ab与ab； ④ manb与manb 分式：

AA分式的意义：形如B的式子，若B中含有字母，且B ≠0，则称B为分式

AAMAAM,BBMBBM 分式的通分与约分：当M≠0时，

综合练习：

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）a2b(a0)； （3）4x6y(x0)．

（4）

x2131（5）20＜x＜1x213

例2 计算：3(33)．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

22(ab)(ab)ab（1）平方差公式 ；

222(ab)a2abb（2）完全平方公式 ．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

2233(ab)(aabb)ab（1）立方和公式 ；

（2）立方差公式 (ab)(aabb)ab；

2222(abc)abc2(abbcac)； （3）三数和平方公式

223333223(ab)a3ab3abb（4）两数和立方公式 ；

33223(ab)a3ab3abb（5）两数差立方公式 ．

应用： 平方差公式

下列各式：①(a1)(a1)；②(a1)(1a)；③(a1)(a1)；④(a1)(a1) 能利用平方差公式计算的是

完全平方公式

a若

11(a)23a的值 a，求

问题3：立方和（差）公式 练 习 1．填空：

（1）

121211ab(ba)（ ）； 942322 （2）(4m )16m4m( )；

(3 ) (a2bc)a4bc( )． 2．选择题： （1）若x222221mxk是一个完全平方式，则k等于 （ ） 22（A）m （B）

1211m （C）m2 （D）m2 41632（2）不论a，b为何实数，ab2a4b8的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

2

1.1.2 分解因式

因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法 1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）2x2-x+6 （4）2x2-（a+2）x+a

（5）x23x2 （6）6x27x2

2．提取公因式法 例2 分解因式：

（1）x2-5x； （2） 2a2b4ab2 （2）

a2(b5)a(5b)

3. 公式法分解因式

（1）x2x （2）x2-4

2.1 一元二次方程

14知识清单

1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0），其中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。其中a≠0 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。 2、一元二次方程最常规的解法是公式法，其次有因式分解和配方等方法。

3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根）

（1） 当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

bb24acx1,2＝；

2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－

b； 2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x等于零，因此，原方程没有实数根．

b2)一定大于或2a由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

bb24ac x1,2＝；

2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝－

b； 2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

知识讲解

例1：用适当的方法解方程：

（1）2（x+2）2-8=0 （2）x(x-3)=x

例2：判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）x2-3x+3=0； （2）x2-ax-1=0

1.选择题：

（1）方程x2-23kx+3k2=0的根的情况是（ ） A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根

（2）若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）

A.m＜

11 B、m＞- 4411，且m0 D、m＞，且m0 44C、m＜

2.填空：

（1）若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为_____。 （2）方程mx2+x-2m=0(m0)的根的情况是_____。

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2-（2m+1）x+1=0有两个不相等的

实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.用适当的方法解下列一元二次方程；

(1)x2-5x+1=0； （2）3(x-2)2=x(x-2)；

（3）2x2-22x-5=0； （4）（y+2）2=（3y-1）2

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

bb24acbb24ac x1，x2，

2a2a 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝一关系也被称为韦达定理．

bc，x1·x2＝．这aa例 已知方程5x 练 习 1．选择题：

22kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

（1）方程x23kx3k0的根的情况是 （ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

是 （ ） （A）m＜

211 （B）m＞－ 4411，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 44 （C）m＜

2．填空:

（1）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （2）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

习题2.1 A 组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为7； 3④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ． （3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？