(word完整版)相似三角形汇总3一线三角相似问题,推荐文档

第三部分 一线三角相似问题

重点:“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论， 难点:在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形. 【知识点整理】 （一线三等角型）

（一线三直角型）

【经典例题】

1. 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°

（1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE

2. 如图，在正方形格子（正方形小格子的边长为1）中有一个矩形ABCD，在AB上，找出点E，联结

DE、CE，使得△DEC与△DAE及△EBC都相似.

3. 如图，在矩形ABCD中，点M在AD上，将△DMC沿MC翻折，点D恰好落在AB边的E点位置，若

△MEC与△AME相似，求：矩形相邻两边AD与AB的比.

AEMD

BC

4. 如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当

M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.

5. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,O是AB上的一点，且

AO2点P是AC上的一个动点，PQOP，

AB5交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ.

6. 正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），

且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，求出线段BP的长.

7. 如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线， AE平分∠BAC交BC于点E，

交CD于点F．（1）求证：CE=CF；（2）若CD∶BC=3：5 ，求DF∶CF的值．

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，联结BD，过D作DE⊥BD交AB边于点E，若 BC=4，

AC=8，△BDE∽△BCD，求CD.

B4ED8A

C9. （难度）如图，在Rt△ABCD中，∠C=90°，AD=5，AB=8，BC=9，点E是BC边上一点，且∠DEF=60°，

若△DEF与△BEF相似，求BE长.

A85DFB

E9C

10. （难度）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点

作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．

（1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长．

11. 矩形 ABCD 一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得点 B 落在 CD 边上的点 P 处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边 AB的长． （2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接 BP．动点M在线段AP上（不 与点P、A重合），动点N在线段 AB 的延长线上，且BN=PM，连接 MN 交PB于点F， 作ME⊥BP于点 E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若 不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

12. 如图1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形ABCD 的对角线BD上滑动，并使其一条直

角边始终经过点 A，另一条直角边与 BC 相交于点E． （1）求证：PA=PE；

（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图 2），且AD=10，DC=8，求AP：PE； （3）在（2）的条件下，当 P 滑动到 BD 的延长线上时（如图 3），请你直接写出 AP：PE 的比值．

13. 已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折△BPE得到

△FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ． （1）如图，当 BP=1.5 时，求CQ 的长；

（2）如图，当点 G 在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）延长EF交直线AD于点H，若△CQE 与△FHG相似，求BP的长．

14. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点 P从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5cm

的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0≤t≤2），连接 PQ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求 t 的值； （2）连接 AQ、CP，若 AQ⊥CP，求 t 的值；

（3）M 是 PQ 的中点，请直接写出点 M 运动路线的长．

15. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=9，AD=12．动点 E 从点 B 出发，沿线段 BC（不包括端点 B、C）

以每秒 2 个单位长度的速度，匀速向点 C 运动；动点 F 从点 C 出发，沿线段 CD（不包括端点 C、D）以每秒 1 个单位长度的速度，匀速向点 D 运动；点 E、F 同时出发，同时停止．连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 M，再把 AM 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点 N，连接 MN．设运动时间为 t 秒．

（1）当 t 为何值时，△ABE 与△ECF 相似？

（2）在点 E 运动的过程中是否存在某个时刻使 AE⊥AN？若存在请求出 t 的值，若不存在请说明理由；（3）在运动的过程中，△AMN 的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

16. 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、G 分别从A、B、C三点同

时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F与点 C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线 EF 的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t=________s 时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点 E、B、F为顶点的三角形与以点 F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′在射线 BO 上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

17. 如图，已知 AB⊥BD，CD⊥BD．

（1）若 AB=9，CD=4，BD=10，请问在 BD 上是否存在 P 点，使以P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若 AB=9，CD=4，BD=12，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长；

（3）若 AB=9，CD=4，BD=15，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以P、A、B三点为顶点的三 角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长．

（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以 P、A、B三点为顶点的三 角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个 P 点？三个P点？

18. 已知：直角梯形 OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角

线CA上的一点，过点P作 QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接 BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为___________.