江苏省苏北四市(徐 连 淮 宿)2014届高三第一学期期末调研考试

江苏省苏北四市（徐 连 淮 宿）2014届高三第一学期期末调研考试

数学试题

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。 1参考公式：锥体的体积公式：VSh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

3一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上． ．．．．

1．设复数z12i,z2mi(mR，i为虚数单位),若z1z2为实数,则m的值为 ▲ ．

2．已知集合A{2a,a}，B{1,1,3}，且AB，则实数a的值是 ▲ ．

3．某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为 ▲ ．

4．在ABC的边AB上随机取一点P, 记CAP和CBP的面积分别为S1和S2，则S12S2的概率是

▲ ．

开始 x2y25．已知双曲线221的一条渐近线方程为2xy0，

abS0,n1 则该双曲线的离心率为 ▲ ．

6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ． nn2 7．函数f(x)lg(2x3x)的定义域为 ▲ ．

8．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥 的体积为 ▲ ．

9．在△ABC中，已知AB3，A120o，且ABC的面积

153为，则BC边长为 ▲ ．

410．已知函数f(x)xx2，则不等式f(2x)≤f(1)的

解集为 ▲ ．

SSn n10 Y N 输出S 结束 （第6题图）

11．已知函数f(x)2sin(2x)(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[1，1]上的单调增区

4间为 ▲ ．

12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk33，Sk163，其中kN，则BC3BF．13．在平面四边形ABCD中，已知AB3，点E,F分别在边AD,BC上，且AD3AE，若DC2，

向量AB与DC的夹角为60，则ABEF的值为 ▲ ．

Sk2的值为 ▲ ．

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14．在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：yx和l2：yx2的距离之和为22，则a2b2的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

已知向量a(cos,sin)，b(2,1)．

sincos (1)若ab，求的值；

sincos (2)若ab2，(0,)，求sin()的值．

24

16．(本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC中，点E,F分别是棱PC,AC的中点．

P (1)求证：PA//平面BEF；

(2)若平面PAB平面ABC，PBBC，求证：BCPA． A B E

F

C

（第16题图）

17．(本小题满分14分)

某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（弧度）． （1）求关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用

为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，

y取得最大值？

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 O (第17题图)

18．(本小题满分16分)

已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为H．

(1)若直线l过点C，且被H截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N，使得点M是线段

PN的中点，求C的半径r的取值范围．

19．(本小题满分16分)

5已知函数f(x)x3x2axb（a,b为常数），其图象是曲线C．

2（1）当a2时，求函数f(x)的单调减区间；

（2）设函数f(x)的导函数为f(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)x0与f(x0)0同时成立，求实

数b的取值范围；

（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲

线C的切线l2，设切线l1,l2的斜率分别为k1,k2．问：是否存在常数，使得k2k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}满足a1x，a23x，Sn1SnSn13n22(n≥2,nN*)，Sn是数列{an} 的前n项和． (1)若数列{an}为等差数列． （ⅰ）求数列的通项an；

（ⅱ）若数列{bn}满足bn2an，数列{cn}满足cnt2bn2tbn1bn，试比较数列{bn} 前n项和Bn与

{cn}前n项和Cn的大小；

(2)若对任意nN*，anan1恒成立，求实数x的取值范围．

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数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2． 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

AA．(选修4—1：几何证明选讲)（本小题满分10分） E如图，点D为锐角ABC的内切圆圆心，过点A作直线BD

F的垂线，垂足为F，圆D与边AC相切于点E．若C50， D求DEF的度数．

BC (第21(A)图)

B．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）

a0设矩阵M（其中a＞0，，若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲b＞0）0bx2线C：y21，求a+b的值．

4

C．(选修4—4：坐标系与参数方程)（本小题满分10分）

x在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是y2t，2（t为参数）；以O 为极点，x轴2t422正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为2cos()．由直线l上的点向圆C引切线，求

4切线长的最小值．

D．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）

111已知a,b,c均为正数,证明：a2b2c2()2≥63．

abc

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

某品牌汽车4S店经销A,B,C三种排量的汽车，其中A,B,C三种排量的汽车依次有５，4，3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能． (1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；

(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望． 23．（本小题满分10分）

已知点A(1,0)，F(1,0)，动点P满足APAF2|FP|． (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)在直线l：y2x2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M,N．问：是否存在

点Q，使得直线MN//l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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宿迁市2014届高三第一学期期末调研考试

参

数学Ⅰ部分

一、填空题：

11．2 2．1 3．20 4． 5．5 6．25 7．(,0)

3113 8． 9．7 10．1,11．[,]12．129 13．7 14．18

4 二、解答题：

15．（1）由ab可知，ab2cossin0，所以sin2cos，……………………………2分

所以

sincos2coscos1． ……………………………………………………6分

sincos2coscos3（2）由ab(cos2,sin1)可得，

ab(cos2)2(sin1)264cos2sin2，

即12cossin0， ① ……………………………………………………………10分 3sin5，…………………12分 22又cossin1，且(0,) ②，由①②可解得，2cos45223472所以sin()． ……………………………14分 (sincos)()4225510P 16．（1）在PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA//EF，

又PA平面BEF，EF平面BEF，

所以PA//平面BEF．……………………………………6分 A （2）图形有误

17．(1)设扇环的圆心角为，则3010x2(10x)，

所以F E D

B

C 102x，………………………………………………………………………………4分 10x1 (2) 花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50, (0x10)．………………7分

2装饰总费用为910x8(10x)17010x， ………………………………………9分 x25x50x25x50所以花坛的面积与装饰总费用的比y=， …………………11分 =17010x10(17x)令t17x，则y391324312(t)≤，当且仅当t=18时取等号，此时x1,． 1010t1011答：当x1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．…………………………………………14分

(注：对y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)

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18．(1)线段AB的垂直平分线方程为x0，线段BC的垂直平分线方程为xy30，

所以ABC外接圆圆心H(0,3)，半径123210，

圆H的方程为x2(y3)210． …………………………………………………………4分 设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d(10)213． 当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x3为所求；…………………………………6分 当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y2k(x3)，则 3k11k23，解得k4， 3综上，直线l的方程为x3或4x3y60． ……………………………………………8分 (2)直线BH的方程为3xy30，设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y)，

因为点M是线段PN的中点，所以M(mxny,)，又M,N都在半径为r的圆C上， 22(x3)2(y2)2r2,222(x3)(y2)r,所以mx即…………………10分 ny222222(3)(2)r.(xm6)(yn4)4r.22因为该关于x,y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6m,4n)为圆心，

2r为半径的圆有公共点，所以(2rr)2≤(36m)2(24n)2≤(r2r)2,…………12分

又3mn－12m10≤9r2对m[0，1]]成立． 30，所以r2≤10m2－323212m10在[0，1]上的值域为[，10]，所以r2≤而fm10m2－且10≤9r2．……15分

55又线段BH与圆C无公共点，所以(m3)2(33m2)2r2对m[0，1]成立，即r2故圆C的半径r的取值范围为[32. 510410,)． ……………………………………………16分 3519．(1)当a2时， f(x)3x25x2(3x1)(x2). ………………………………………2分

11令f (x)<0，解得2x，所以f(x)的单调减区间为(2,)． …………………………4分

3323x05x0a02 (2) f(x)3x5xa，由题意知352消去a，

xxaxbx0000252x0x0b0有唯一解．……………………………………………………………6分 25令g(x)2x3x2x，则g(x)6x25x1(2x1)(3x1)，

21111所以g(x)在区间(,)，(,)上是增函数，在(,)上是减函数，……………8分

2323得2x03第 6 页 共 10 页

1117又g()，g()，

28371故实数b的取值范围是(,)(,)． ……………………………………………10分

8(3)设A(x0,f(x0))，则点A处切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，

5与曲线C：yf(x)联立方程组，得f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，即(xx0)2[x(2x0)]0，

25所以B点的横坐标xB(2x0)． …………………………………………………………12分

2525由题意知，k1f(x0)3x025x0a，k2f(2x0)12x0220x0a，

2425a(3x025x0a)， 425即存在常数，使得(4)(3x025x0)(1)a，

440,25所以解得4，a． ………………………………………………15分 2512(1)a0.4若存在常数，使得k2k1，则12x0220x0故a2525时，存在常数4，使k24k1；a时，不存在常数，使k2k1．……16分 121220．(1)（ⅰ）因为Sn1SnSn13n22(n≥2,nN*)，所以S3S2S114，

即a32a23a114，又a1x,a23x，所以a3149x， ………………………………2分 又因为数列{an}成等差数列，所以2a2a1a3，即6xx149x，解得x1，

所以ana1n1d1n122n1nN*； ………………………………4分 （ⅱ）因为an2n1nN*，所以bn2an22n10，其前n项和Bn0，

又因为cnt2bn2tbn1bn16t24t1bn，………………………………………………5分 所以其前n项和Cn16t24t1Bn，所以CnBn28t22t1Bn，…………………7分 1111当t或t时，CnBn；当t或t时，CnBn；

424211当t时，CnBn．……………………………………………………………………9分

42（2）由Sn1SnSn13n22(n≥2,nN*)知Sn2Sn1Sn3n12(nN*)，

两式作差，得an2an1an6n3(n≥2,nN*)，…………………………………………10分 所以an3an2an16n13(nN*),作差得an3an6(n≥2,nN*)， ……………11分 所以，当n1时，ana1x；

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2

当n3k1时，ana3k1a2k163x6k62n3x4； 当n3k时，ana3ka3k16149x6k62n9x8；

当n3k1时，ana3k1a4k1616x6k62n6x7；………………14分 因为对任意nN*，anan1恒成立，所以a1a2且a3k1a3ka3k1a3k2，

x3x6k3x66k9x8137137所以，解得，x，故实数x的取值范围为,．…16分

1561566k9x86k6x56k6x56k3x

数学Ⅱ部分

21．【选做题】

A．(选修4—1：几何证明选讲)

由圆D与边AC相切于点E，得AED90，因为DFAF，得AFD90，

所以A,D,F,E四点共圆,所以DEFDAF． ……………………………………5分 111又ADFABDBAD(ABCBAC)(180C)90C，

2221所以DEFDAF90ADFC，由C50，得DEF25．……………10分

2B．（选修4-2：矩阵与变换）

设曲线C：x2+y2=1上任意一点P(x,y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1,y1)，

axx1a0xx1则，即． …………………………………………………………5分 yy0bbyy11x12x2ax222又点Py11，则by21为曲线C的方程． 1(x1,y1)在曲线C：y1上，所以444又曲线C的方程为x2+y2=1，故a2=4，b2=1，

因为a＞0，b＞0，所以a+b=3． …………………………………………………………10分 C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

因为圆C的极坐标方程为22cos2sin，所以22cos2sin，

2所以圆C的直角坐标方程为xy2x22,半径为1,…4分 ,2y0，圆心为22x因为直线l的参数方程为y

2t,2（t为参数）， 2t422第 8 页 共 10 页

2t2t,42所以直线l上的点P向圆C 引切线长是 222t22t2PC2R2422212222t4224≥26，

所以直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26． ……………………………………10分 D．（选修4-5：不等式选讲）

证法一：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得abc≥3(abc)，………………………2分

222231211111123因为≥3(abc)，所以()≥9(abc)3 ．…………………………………5分

abcabc221112222故abc()≥3(abc)39(abc)3．

abc又3(abc)9(abc)≥22763，所以原不等式成立．…………………………………10分 证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca． 所以a2+b2+c2≥abbcca．……………………………………………………………………2分

111111同理2+2+2≥，…………………………………………………………………5分

abcabbcca111333所以a2+b2+c2(++)2≥abbcca≥63．

abcabbcca所以原不等式成立．………………………………………………………………………………10分

3C4122. (1)设该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车为事件M，则P(M)3.

C1255所以该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.

333111C5C4C33C5C4C33则P(X1),P(X3)， 33C1211C124423231． ………………………………4分 55P(X2)1P(X1)P(X3)29． 44所以X的分布列为

X P １ 3 44２ 29 44３ 3 11……………………………8分

329397数学期望E(X)123．………………………………………………10分

4444114423．(1)设P(x,y)，则AP(x1,y)，FP(x1,y)，AF(2,0)，

由APAF2|FP|，得2(x1)2(x1)2y2，化简得y24x.

故动点P的轨迹C的方程y24x. …………………………………………………………5分

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(2)直线l方程为y2(x1)，设Q(x0,y0)，M(x1,y1) ，N(x2,y2)．

过点M的切线方程设为xx1m(yy1)，代入y24x，得y24my4my1y120，

y由16m216my14y120，得m1，所以过点M的切线方程为y1y2(xx1)，……7分

2同理过点N的切线方程为y2y2(xx2)．所以直线MN的方程为y0y2(x0x)，………9分

2又MN//l，所以2，得y01，而y02(x01)，

y01故点Q的坐标为(,1)． ……………………………………………………………………10分

2

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