学生版北京高考数学1920题的常见解题思路

A.近年来北京高考理科数学第20题特点刍议.

① 规避题型，突出新概念和陌生情境. 北京高考数学压轴题目往往是一种离散型最优化问题，呈现形式上

以集合或数列为主，本质上可能是组合极值或算法问题. 题目中几乎总是伴有新概念、新符号和陌生情境.具体请见后面例题和习题;

② 淡化技巧，有别于通常的竞赛题. 淡化技巧，不强调复杂的计算，强调学生的和数学阅读能力、数

学直观感觉和符号表达能力.数学竞赛欣赏选手们“出其不意”的解题技巧，压轴题则强调按部就班、逐个击破难点的解题策略；

③ 背景深刻，重视实际应用型问题. 压轴题中有很多具有实际背景的问题: 2005年第20题，背景是

单因素优选法; 2010年第20题，背景是纠错码理论中的普洛特金(Plotkin)上界; 2014年背景是两工序流水线时间最优化问题；

B.高考第20题的试题结构 通常分为3小问，第①问鼓励学生动手举例子实践、探究；第②问需要在完成第①问的基础上（熟悉概念）进行逻辑推理；第③小问通常需要“先猜后证”，这种思考问题的方式在平时较少遇到，需要主动训练.

C.近年来部分自主招生试题改编自高考数学压轴题（具体例子见例题）.

一、北京高考数学压轴题中的算法思想 1. (2016-北京理科-20题) 设数列A:a1,a2,,aN(N2). 如果对于小于n(2nN)的每个正整数k都有

akan, 则称n是数列A的一个“G时刻”.记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合. ① 对数列

A:2,2,1,1,3，写出G(A)的所有元素；②证明：若数列A中存在an使得ana1，则G(A)； ③证明：若数

列A满足

anan11(2nN)，则

G(A)的元素个数不小于aNa1.

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二、寻找不变量或单调变化的量

2.(2006年-北京-20题)在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an|an1an2|,n3,4,5,，则称{an}为“绝对

差数列”. ① 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；② 若“绝对差数列”{an}中，

a203,a210，数列{bn}满足bnanan1an2，n1,2,3,，分别判断当n时，an与bn的极限是否

存在，如果存在，求出其极限值；③ 证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

3. (2008年-北京-20题) 对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，，bm，定义变换T2，n，a11，a21，，an1．T1(A)：T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)；又定义

S(B)2(b12b22mbm)b12b22bm．现假设A0是每项均为正整数的有穷数列，令

Ak1T2(T1(Ak))(k01，，2，)．第①②问略； ③证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正

整数K，当kK时，S(Ak1)S(Ak)．

2

三、映射方法（构造一一对应） 4. (2007-北京-20) 已知集合A{a1,a2,应的集合：

,ak}(k2)，其中aiZ(i1,2,,k)，由A 中的元素构成两个相

S{(a,b)|aA,bA,abA},T{(a,b)|aA,bA,abA},

其中(a,b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n. 若对于任意的aA，总有aA ，则称集合A具有性质P． ①②略. ③判断m和n的大小关系，并给出证明.

四、 压轴题与部分自主招生试题命题背景 5. （2017年1月-清华能力测试-33题） 已知a1,a2,① 0a1a2,ann3不是等差数列，且满足

an; ② 对任意的 i,j(1ijn),ajai与ajai两数至少有一个属于集合

{a1,a2,,an}. 则n的值可能为______.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3

解析几何

6.（2016-北京-19题）已知椭圆C： 的离心率为 ， ，△ 的面积为1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证： 为定值.

2x2y21和点Am，nm≠0都在7. （2015-北京-20题）已知椭圆C：221ab0的离心率为，点P0，2ab椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

4

22

8. (2014-北京-理19) 已知椭圆C：x＋2y＝4.

(I)求椭圆C的离心率；

22

(II)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x＋y＝2的位置关系，并证明你的结论．

x22

9．(2013-北京-理19)(本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W：＋y＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

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