第２４卷第６期 文山学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＥＮＳＨＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．６ ＤＣＣ．２０１ｌ ２０１１年１２月 圆锥曲线焦点弦的新视角 玉邴图 （广南县第一中学，云南广南６６３３００） 摘要：圆锥曲线焦点弦，是高考和竞赛的热点，前些年仅以焦点弦长度和斜率（或倾斜）之间的关系出 现。但是，自平面向量进入高中数学课本以后，焦点弦问题更加丰富多彩，研究空间也更加宽阔。文章从共 线向量和向量数量积的角度对圆锥曲线焦点弦作深入的研究，得到几个重要的向量性质。 关键词：焦点弦；向量；高考题 中图分类号：Ｏ１２３．３文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—９２００（２０１１）ｏ６—０１１７—０４ 经过圆锥曲线焦点且被圆锥曲线截得的线段叫做圆锥曲线焦点弦。它是一个非常重要的几何量，也是高 考的重点和热点，长考不衰，视角常变，题型多姿多彩，可谓考试长青树。此类题型，涉及知识面广，前几 年的高考或竞赛题型仅仅与弦的倾斜角或斜率有关，而近两年来，视角更宽阔了，常常将向量的有关知识与 焦点弦倾斜角、长度以及圆锥曲线离心率联系起来，且有一定难度，作为高考解析几何压轴题，旨在考查考 生的逻辑推理能力和的综合运算能力，此类题考生失分严重。故值得我们深入总结和分析研究，为此，本文 介绍圆焦点弦的一些向量性质，并说明它们的应用，供读者参考。 对于焦点弦长度与斜率或倾斜角的关系，文献［１］介绍了如下结论。 引理过横向型圆锥曲线焦点Ｆ作斜率是后或倾斜角为０的弦ＡＢ，离心率是ｅ，焦点到相应准线的距 离为Ｐ，贝 ｌ Ａ ｌ＝ ＝广 ＿ 。 如果从共线向量的角度研究，可得到如下的重要结论。 定理１ 经过横向型圆锥曲线焦点Ｆ作倾斜角为０的弦ＡＢ，ｅ是离心率，焦点到相应准线的距离为Ｐ，若 ＝ＡＦＢ （Ａ∈ ），（对于椭圆、抛物线和Ａ，Ｂ两点在双曲线同一分支上时， 与 方向相反，Ａ＜０；对 于Ａ，曰两点在双曲线的两个分支上时， 与 方向相同，Ａ＞０），则 ①ｅＣ０ｓ０＝士＾一±｛； ②ｌ Ａ ｌ＝ Ｉ Ａ＋÷一２ ｌ。 证明设Ｅ是与焦点Ｆ相应的准线和对称轴的交点，不妨以有向直线ＥＦ所在直线为 轴，Ｆ为原点建立 直角坐标系，则焦点为Ｆ（ｏ，０），直线ＡＦＢ的方程为Ｙ＝ｋｘ （１） ①设Ｐ（ ，Ｙ）是圆锥曲线上的一点，它到准线的距离为ｄ，则由圆锥曲线定义知ｌ ＰＦｌ：ｅｄ，由此可得圆 锥曲线方程为￣／ ＋ｙ２＝８ ｌ ＋Ｐ ｌ 将（１）代入（２）得（１＋ｋ 一ｅ ） 一２ｅ ｐｘ—ｅ２ｐ ＝０ （２） （３） 设ａ（ｘ。，Ｙ ）， （ ：，Ｙ２），因为Ｆ（ｏ，０），则由条件 ＝Ａ 和方程（１）得 （４） （５） ２ （ １，Ｙ１）＝Ａ（ ２，Ｙｚ）＝ （ １，ｋｘ１）＝Ａ（ ２，ｋｘ２）＝争 １＝Ａｘ２＝ Ａ＝＝ａ，一１ 由（４）得Ａ＋１１： 『＾ 石２ ２＋／；：堕 兰： １ ２ ．ｑ．１７１Ｘ２ 一２，从而得Ａ＋＿１＋２： Ｌ Ａ Ｘ１Ｘ２ ９．１７１ 将方程（３）的两根之和与积代入（５）化简得Ａ＋÷＋２＝－二 收稿日期：２０１１—０６—１３ 。 作者简介：玉邴图（１９５８一），云南广南人，云南省特级教师，全国模范教师，主要从事高中数学教学研究和解析几何理 论研究。 第２４卷 文山学院学报 ２０１１年第６期 从而得 ＝÷一 ＝｝一 １一丽１。 故得 一南＝ 所以 ｃｏｓ ＝ 等 咖ｓ ＝ 。 州。 ②将ｅｃ。ｓ ＝±Ａ＿ 代人引理化简整理得 Ｉ 南 ２ｅｐ 詈ｆ Ｉ＝詈Ｉ Ｉ 如果从向量数量积的角度研究，可得到如下的重要结论。 定理２经过横向型圆锥曲线焦点Ｆ作倾斜角为０的弦ＡＢ，ｅ是离心率，焦点到相应准线的距离为Ｐ，若 赢．赢：Ａ（Ａ∈ ），（对于椭圆、抛物线和Ａ，Ｂ两点在双曲线的同一分支上时， 与赢方向相反， Ａ＜０；Ａ，Ｂ两点在双曲线的两个分支上时，赢与赢方向相同，Ａ＞０）则 ①ｃ。ｓ ：譬＋＾ ｅ １；②ｌ。 ＡＢ Ｉ： Ｉｅｐ Ａ ｌ。 证明①设Ａ（ ，ｙ．），Ｂ（ ，ｙ２），ＡＢ的斜率为后，因为Ｆ（Ｏ，０），则由条件Ｆ—Ａ．Ｆ—Ｂ＝Ａ和方程（１）得 Ａ＝（ １，Ｙ１）・（ ２，Ｙ２）＝（ １，后 １）・（ ２，ｋｘ２）＝ＸｌＸ２＋ｋＺｘ１ ２＝ＸｌＸ２（１＋ｋ２） Ａ＝ＸｌＸ２（１＋ｔａｎ２０）＝Ｘ１ ２ ｓｅｅ２０ （６） 将方程（３）的两根之积代入（６）化简得 Ａ＝ ｓｅｃ ＝一 ｛ ＝ ２ ２ ＝ ｃ。ｓ ＝蛋＋ 。 ｃｏｓ 引蛸 南Ｉ／ｔ，一１ Ｉ 厶 角 。 ＝ｅ，ｐ，（对于椭圆、抛物线和Ａ，Ｂ两点在双曲线的同一 由定理１和定理２，又可得到如下有趣的结论。 定理３ ＡＢ是经过横向型圆锥曲线焦点Ｆ的弦，ｅ是离心率，焦点到相应准线的距离为Ｐ，若 赢：Ａ 赢， ・赢＝Ａ２（Ａ ，Ａ：∈Ｒ），则 分支上时，赢与赢方向相反，Ａ ，Ａ：＜０；对于Ａ，Ｂ两点在双曲线的两个分支上时，蔚与赢方向相同， Ａ１，Ａ２＞０，总有ＡｌＡ２＞０）。 证明设弦ＡＢ的倾斜角为０，则由题意及定理１①和定理２①得 ｅｚ ｃｏｓ￣０＝（ ｛｛） 和ｅ２ ｃ。ｓ ＝ ２ ２＋１，从而得（． Ａ１＋１） ＝誓＋１，故 ＝２ ２ｃ 一 ＝譬 等＝予。 。 定理４ 经过横向型圆锥曲线焦点Ｆ作倾斜角为０的弦ＡＢ，ｅ是离心率，焦点Ｆ到相应准线Ｌ的距离为 Ｐ，Ｌ与对称轴的交点为Ｅ，若ＥＡ和ＥＢ的斜率之积为Ａ，则 ①ｓｉｎ ＝一 ；②一ｅ ≤Ａ≤０；③ｌ ＡＢ ｌ＝ 证明不妨以有向直线ＥＦ所在直线为 轴，Ｆ为原点建立直角坐标系，则焦点为Ｆ（Ｏ，０），直线ＡＦＢ的 方程为Ｙ＝ｋｘ（ｋ＝ｔａｎＯ） （１） 设Ｐ（ｘ，ｙ）是圆锥曲线上的一点，它到准线的距离为ｄ，则由圆锥曲线定义知ｌ ＰＦＩ＝ｅｄ，由此可得圆锥 玉邴图：圆锥曲线焦点弦的新视角 曲线方程为 。＋ ＝ Ｉ ＋Ｐ Ｉ 将（１）代入（２）得（１＋．ｊ｝ 一ｅ ） 一２ｅ２ｐｘ—ｅ２ｐ ＝０ 设Ａ（ｘ。， ），Ｂ（ｘ ， ），因为层（一Ｐ，０），则由题意得 Ｙ１—０ Ｙ２—０ ｌ ２ （２） （３） Ａ 、 ， 船 ‘ ７ ｓｉｎ２ｎ＇０一 。Ｏ：一 （４） ①将方程（３）的两根之和与积代入（４）解得ｋ ＝ｔａｎ ０ ：一＿ 一 ②由①和ｓｉｎＯ的有界性得０≤ｓｉｎ２０＝一 Ａ≤１ 一 ≤一 ≤１ —ｅ２≤Ａ≤０。 一 ③由①的证明得．ｊ｝ ＝一 ，代人引理化简即得Ｉ ＡＢ Ｉ＝ 。 下面我们看这几个定理的应用。 例１（２０１０年高考全国卷Ｉ理科题）椭圆 ＋ ＝１（０＞ｂ＞０）的左焦点为Ｆ，上顶点为 ，ＢＦ的延长 口 Ｄ 线交椭圆于Ｄ，已知Ｂ—Ｆ：２ ，求椭圆的离心率。 解设０是椭圆中心，焦点弦肋的倾斜角为 ，￣Ｊｌ Ｃ０８ ＝ ＝詈＝ｅ， Ｂ—Ｆ＝２而得 赢＝一２ Ｆ—Ｄ，即知Ａ＝一２，定理１①得ｅ・ｅ＝± ｝等 ｅ＝ ３－。 例２（２０１０年高考全国卷Ⅱ理科题）椭圆 ＋鲁：１（口＞６＞０）的离心率为。： ，经过右焦点为Ｆ且 斜率为｜ｉ｝（后＞０）的直线交椭圆于 ，Ｂ两点，已知Ｆ—Ａ：一３ Ｆ—Ｂ求ｋ。 ，解因为Ａ＝一３，ｅ＝ ，由定理１①得譬ｃ。ｓｐ＝± ｛＝± ｃ。ｓ ＝± ３ 因为ｋ＞０，所以ｋ＝ｔａｎＯ＝ 。 例３（２０ｏ８１高考全国卷Ⅱ第１６题）Ｆ是抛物线ｙ２＝４ 的焦点，经过Ｆ且斜率为１的直线交抛物线于 Ａ， 两点，求 ＦＡ的值。 解 因为ｅ：１，ｔａｎ０：ｋ：１，即０：４５。，由定理１①得１．ｃｏｓ ４５。：±｝ Ａ：一些＾ 一 ｇ２—１ 或Ａ：一 为所求。 ４２＋１ 例４（２００９年高考全国卷Ⅱ理科第１１题）已知双曲线ｃ： 一 ＝１（口＞ｏ，６＞０）的右焦点为Ｆ，过Ｆ 且斜率为 的直线交双曲线于Ａ，Ｂ两点，若为 ＝４Ｆ—Ｂ求双曲线的离心率。 ，解 Ａ—Ｆ＝４赢得蔚＝一４赢，即知Ａ＝一４，而．ｊ｝＝ｔａｎ ＝ ｃｏ８ ＝÷。 由定理１①得争＝±三｝等 ｅ＝± ６，ｅ＝一詈＜１（不合题意，舍去），所以双曲线的离心率ｅ＝ ６。 例５（２ｏ１０年第２１届希望杯高二竞赛题）经过椭圆耋＋ ２＝１（口＞６＞。）的左焦点Ｆ作斜率为１的直 线与椭圆的两个交点为Ａ， ，如果 Ｉ ＡＦ Ｉ＝ ，求椭圆的离心率。 解 Ａ：嘉：一 ，ｔａｎ ：后：１ ：４５。，将Ａ和 代入定理１①得ｅ： 。 第２４卷 文山学院学报 ２０１１年第６期 例６（２０１０年全国高考辽宁卷）已知椭圆 ＋ ＝１ ａ＞６＞ｏ）的右焦点为Ｆ，经过Ｆ的且倾斜角为６０。 直线Ｌ与椭圆相交于不同两点Ａ、Ｂ，已知Ｆ—Ａ：一２ Ｆ—Ｂ。 （１）求椭圆离心率；（２）若Ｉ Ａ Ｉ＿萼，求椭圆方程。 ￣（１）ＮＮ ｏ＝６０。，Ａ＝一２，由定理１①得ｅｃ。ｓ６０。＝± ｝ ｅ＝± ２。因为ｅ＝一 ２＜ｏ（不合题意， 舍去），所以椭圆的离心率ｅ＝ ２。 （２）由题意和定理１②得萼＝ ｌ一２一 一２ Ｉ ＝詈。 故知ｆ口 ｅ 詈 ２：５ ．ａ＝３２ ｘＺ￣：。。 一参考文献： ［１］玉邴图．一个换算关系的完善［Ｊ］．数学通报，２００２，（２）：２１． Ｔｈｅ Ｎｅｗ Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｃｈｏｒｄ ｏｆ Ｃｏｎｉｃ Ｓｅｃｔｉｏｎ ＹＵ Ｂｉｎｇ—ｔｕ （Ｎｏ．１ Ｍｉｄｄｌｅ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｇｕａｎｇｎａｎ ６６３３００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｈｏｒｄ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｉｃ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ａｔｔｒａｃｔｉｖｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｈｏｔｐｏｔ ｏｆ ｃｏｌｌｅｇｅ ｅｎｔｒａｎｃｅ ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｅｓｔｓ．Ｉｎ ｐｒｉｏｒ ｙｅａｒｓ，ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｎｌｙ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｓｅｅｋｉｎｇ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈｏｒｄ ａｎｄ ｓｌｏｐｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｃｈｏｒｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｅｃｏｍｅｓ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ａｎｄ ｓｐａｃｅ ｆｏｒ ｓｔｕｄｙ ｂｅｃｏｍｅｓ ｌａｒｇｅｒ ｓｉｎｃｅ ｈｅ ｔｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｌａｎｅ ｖｅｃｔｏｒ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｃｈｏｒｄ ｏｆ ｈｅ ｃｏｎｉｔｃ ｓｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｖｅｃｔｏｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｎｇｌａｅ ｏｆ ｃｏｌｌｉｎｅａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｖｅｃｔｏｒｓ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｐｒｏｄｕｃｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｈｏｒｄ；ｖｅｃｔｏｒ；ｃｏｌｌｅｇｅ ｅｎｔｒａｎｃｅ ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ｐａｐｅｒｓ （责任编辑李世云） 更正 该刊２０１１年第５期第７页图２题名应删除“国共决战”为“不同历史时期的行为及导向与云南壮 剧发展的关联图”。 特向作者、读者致歉！ 文山学院学报编辑部 ｌ２０
