量子力学

2012复习： 一、 填空题

1. 力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，

测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 。 2. 设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E1和E2，相应的本征矢量为

n1,n2。则在能量表象中，体系Hamilton量的矩阵表示是 。 3. 对于力学量A不含时的量子体系,则A的平均值守恒的条件是： 。 4. l2,j2,jz有共同的本征态，但有各自不同的本征值，可分别表示为 _______________。

5. 电子自旋向上，位置在r处的概率密度可表示为________________________。 答案：

1. 厄米，实数，力学量的本征值，力学量的本征态，波粒二象性，相互对易

2. E100E 23. A,H0

4. l(l1)2,j(j1)2,mj或(m1/2)

5. r,/22

二、 选择题

答案：1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 1. 完全描述微观粒子运动状态的是：_______

A 薛定谔方程 B 测不准关系 C 波函数 D 能量 2. 以下哪个实验证实了原子的自旋磁矩取向量子化：_______ A 卢瑟福粒子实验 B 斯特恩-盖拉赫实验

1

C 戴维逊-革末实验 D 康普顿效应 3. 关于不确定(测不准)关系，有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定

(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定

(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子,也适用于其它粒子 其中正确的是：_______

A (1),(2) B (2),(4) C (3),(4) D (4),(1) 4. 下列说法正确的是：_______

A 在非定态下，量子体系力学量的平均值随时间变化 B 量子体系的守恒量在任意态下一定取确定的值 C 若哈密顿量为守恒量，则量子体系处于定态 D 以上说法都不正确

5. 下面关于全同粒子的说明，最确切的是：_______ A 质量、速度、动量、能量、角动量均相同的粒子。 B 自旋相同的粒子（有时被称为同类粒子）。

C 所有固有物理性质如质量、电荷、自旋、磁矩、……均相同的粒子。 D 所有固有物理性质相同，且彼此间无相互作用的粒子。

ˆ,Bˆ是两个互不对易的厄米算符，有以下几个算符： 6. 设AˆˆBAˆˆBAˆˆ (2) ABˆˆ (3) Aˆˆ ˆ2 (4) AB(1) AB其中本征值为实数的是：____

A (1),(2) B (2),(4) C (3),(4) D (4),(1) 7. 下列说法正确的是：_______

ˆ,ˆˆ A 自旋算符分量SxSy,Sz有共同的本征函数 ˆ,ˆˆ B自旋算符分量SxSy,Sz有相同的两个本征值

ˆ,ˆˆ C存在一种表象，使得自旋算符分量SxSy,Sz皆为对角矩阵 D 以上说法都不正确

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三、 简答题

1. 简述简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？

答：未扰态能级E0n有简并，是未扰哈密顿算符Hˆ0的一个本征值E0n对应几个(如s个)本征函数0n，于是我们就不知道在s个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰

波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。

2. 试描述量子力学求解问题的近似方法——变分法的原理。

答：设一个体系能量本征值和本征态分别为：En,n，其中E1为能量基态，则能

量在任意态下的平均值可写为：

E*Hˆd

又有：

ann

n则有：

E*Hˆda**mmHˆanndmna**mmHaˆnndm,na**mmEnanndm,n

a**manEnmnd

m,na*manEnmnm,na*nanEnnE1a2nnE1

3

即有：

*ˆHdE1

ˆd的最小值，即为能量基态从而我们可以选取合适的态函数，然后求*H的近似值。

四、 证明题

ˆ的本征方程为HˆnEn，E与n分别为能量本1. 设体系的Hamilton量Hnn征值和本征态，n为一组完备量子数。证明：Hamilton算符可以表示为：

ˆEnn Hnn证明： 已知nn1

nˆHˆnnHˆnnEnn 则有： Hnnnn得证。

ˆ1,2，波函数为1,2，试证明交换算2. 设全同二粒子体系的Hamilton量为Hˆ是一个守恒量。 符P12证明：全同粒子的不可区分性体现在体系Hamilton量的交换对称性。即有：

ˆ(1,2)Hˆ(2,1) H因此，

ˆHˆ(1,2)(1,2)Hˆ(2,1)(2,1)Hˆ(1,2)Pˆ(1,2) P1212由此得到，

ˆHˆ(1,2)HˆPˆ(1,2)0 (P121212)ˆ,Hˆ(1,2)][P(1,2)0 12上式对于任意的波函数1,2成立，所以有：

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ˆ,Hˆ]0，Pˆ为守恒量 [P1212装订线 得证。

五、 计算题

1R(r)Y2111(,)1. 设氢的状态是 23，求： 2R)Y)21(r10(,（1）轨道角动量z分量Lˆz的平均值； （2）自旋角动量z分量Sˆz的平均值。 解：可以改写为：

1R)13021(r)Y1(1,R(2r)1Y(1,0)

2021

12R321(r)Y1(1,)(S1z)R(r2)Y1(,10)(Sz)1222从的表达式，可以看出Lˆz的可能取值为：,0，相应的几率为：14,34，从而可得：

L1z434014 同理，从的表达式，可以看出Sˆz的可能取值为：2,2，相应的几率为：14,34，从而可得：

S13z24244

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2. 某体系由两个自旋12的非全同粒子组成，已知粒子1处于s1z2 的本征态，粒子2处于s2x2的本征态，求体系自旋S2的可能测值及相应的取值概率。

解：S2的可能测值即为S2的本征值：22,0 对应0的本征态为：00对应2的本征态为：

211212 21112111210112122

下面给出体系所处的状态：

1粒子1处于s1z2的本征态，即为：1

0粒子2处于s2x2的本征态，即为：2所以体系所处的状态为： 12112 1222111 22212设S2取值为0的概率为C0，则有：

C0*00d

12*1112121212d 22 故有：C021 4所以测得S2的可能测值为22的概率为：1-1/4=3/4.

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