一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
2．代数式，，，8﹣，中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如表： 型号 220 225 230 235 240 245 250 数量（双） 3 5 10 15 8 3 2
对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．面积相等的两个三角形（ ） A．必定全等 B．必定不全等
C．不一定全等 D．以上答案都不对 5．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
6．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D的度数为（ ） A．36° B．60° C．72° D．108°
7．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，
1
再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1
9．如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
10．如果方程有增根，那么m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无解
11．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A，B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．S△CMN=S△ABC B．CM：CA=1：2 C．MN∥AB D．AB=24m
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，
2
添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
14．若分式的值为零，则x的值为 ．
15．如图，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= ．
16．在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．2015～2016学年度八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩 ．
2
17．若已知一组数据x1，x2…，xn的平均数为x，方差为S，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的平均数为 ，方差为 ．
18．在▱ABCD中，AB、BC、CD三条边的长度分别为（a﹣3）cm、（a﹣4）cm、（9﹣a）cm，则这个平行四边形的周长为 cm．
三、解答题（10分+10分+8分+10分+10分+12分=60分）
19．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．
3
20．同学们，期2016届中考试的时候我们考了一个关于轴对称的图案设计问题，大家答得不错，开动脑筋，挑战一下下面这个题吧！相信你会做得更好！
（1）下面图均为4的网格，每个小正方形的边长为1，观察阴影部分组成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
（2）借助下面的网格，请设计三个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与①～④的图案不能重合）
21．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．
22．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．
23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
24．元旦假期，小明一家游览我市仓圣公园，公园内有一假山，假山上有条石阶小路，其中有两段台阶的高度如下图所示（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）．请你运用你所学习的统计
4
知识，解决以下问题：
（1）把每一级台阶的高度作为数据，请从统计知识方面（平均数、中位数）说一下有哪些相同点和不同点？
（2）甲、乙两段台阶哪段上行走会比较舒服？你能用所学知识说明吗？
（3）为方便行走，公园决定修整这两段台阶，在不改变台阶数量的前提下，应该怎样修改会比较好（在下图上填一下）？并说明一下你的方案的设计思路？
5
山东省潍坊市寿光市2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷 参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义作答．
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合． 故选：A．
【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．代数式，，，8﹣，中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义直接判断得出即可．
【解答】解：只有，，8﹣，符合分式的定义，一共有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的定义，准确把握分式定义是解题关键．
3．一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如表： 型号 220 225 230 235 240 245 250 数量（双） 3 5 10 15 8 3 2
对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【考点】统计量的选择；众数．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
【解答】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选B．
【点评】考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．
4．面积相等的两个三角形（ ）
6
A．必定全等 B．必定不全等
C．不一定全等 D．以上答案都不对 【考点】全等三角形的判定．
【分析】两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边和对应高不一定相等，故面积相等的两个三角形不一定全等．
【解答】解：因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等． 故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．解答此题需要熟悉三角形的面积公式． 5．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离．
【分析】作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到PF=PE=3，PG=PE=3，根据平行线间的距离的求法计算即可．
【解答】解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB， ∴PF=PE=3，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC， ∴PG=PE=3， ∵AD∥BC，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6， 故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D的度数为（ ） A．36° B．60° C．72° D．108° 【考点】平行四边形的性质．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，可得对角相等，邻角互补，又由在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，即可求得答案．
7
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，AD∥BC， ∴∠C+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=2：3：2， ∴∠D=×180°=108°． 故选D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
7．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简分式． 【专题】探究型．
【分析】将选项中式子进行化简，不能化简的选项即是所求的最简分式．
【解答】解：，，，
不能化简．
故选D．
【点评】本题考查最简分式，解题的关键是明确最简分式的定义．
8．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．
8
【专题】压轴题．
【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．
【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故2a+b+1=0，
整理得：2a+b=﹣1， 故选：B．
【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．
9．如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的应用．
【分析】根据已知条件分析，题目中给出了三角形的边相等，两条垂线，可得一对角相等，加上图形中的对顶角相等，条件满足了ASA，答案可得． 【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC， ∴∠ABC=∠EDC=90°， 在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）． 故选B． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要根据已知选择方法．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．如果方程A．1
B．2
C．3
有增根，那么m的值为（ ） D．无解
9
【考点】分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣3）， 得x=3m．
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣3）=0， 解得x=3．
m=x=1， 故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A，B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A．S△CMN=S△ABC B．CM：CA=1：2 C．MN∥AB D．AB=24m
【考点】三角形中位线定理． 【专题】应用题．
【分析】根据三角形中位线定理可得MN∥AB，MN=AB，然后可得△CMN∽△CAB，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，线段的中点定义进行分析即可． 【解答】解：∵AC，BC的中点M，N， ∴MN∥AB，MN=AB， ∴△CMN∽△CAB，
2
∴S△CNM：S△ACB=（MN：AB）， ∴S△CNM：S△ACB=4：1，
∴S△CMN=S△ABC，故A描述错误； ∵M是AC中点，
∴CM：CA=1：2，故B描述正确； ∵AC，BC的中点M，N， ∴MN∥AB，故C描述正确；
10
∵MN的长为12m，MN=AB， ∴AB=24m，故D描述正确， 故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线，以及相似三角形的性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 【考点】正方形的判定；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可． 【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF， ∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形； 当BC=AC时， ∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形． ∵∠A=45°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意； 当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意． 故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 两直线平行，同位角相等 ．
11
【考点】命题与定理．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．” 故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．若分式的值为零，则x的值为 ﹣2 ．
【考点】分式的值为零的条件． 【专题】计算题．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣2=0，x﹣2≠0， 由|x|﹣2=0，解得x=2或x=﹣2， 由x﹣2≠0，得x≠2， 综上所述，得x=﹣2， 故答案为：﹣2．
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
15．如图，在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= 35° ．
【考点】等腰三角形的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，可知△ADB≌△AEC，可得出AB=AC，根据等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°， ∴△ADB≌△AEC， ∴AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
在△AEC中，∠CAE+∠C+∠AEC=180°， ∴∠CAE=180°﹣40°﹣105°=35°， 故答案为：35°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，关键是先求出AB=AC，再根据等腰三角形等边对等角的关系即可．
12
16．在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．2015～2016学年度八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩 90分 ．
【考点】加权平均数．
【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90（分）． 故答案为90分．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求85，90，95这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．
2
17．若已知一组数据x1，x2…，xn的平均数为x，方差为S，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，
2
3xn﹣2的平均数为 3x﹣2 ，方差为 9S ． 【考点】方差；算术平均数．
【分析】一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；一组数据中的每一个
2
数都变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n倍；依此规律求解即可．
2
【解答】解：∵一组数据x1，x2…，xn的平均数为x，方差为S， ∴另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的平均数 =（3x1﹣2+3x2﹣2+…+3xn﹣2） =[3（x1+x2+…+xn）﹣2n] =3x﹣2，
原来的方差S=[（x1﹣x）+（x2﹣x）+…+（xn﹣x）]，
现在的方差s=[（3x1﹣2﹣3x+2）+（3x2﹣2﹣3x+2）+…+（3xn﹣2﹣3x+2）]
=[9（x1﹣x）+9（x2﹣x）+…+9（xn﹣x）]
2
=9S．
2
故答案为3x﹣2，9S．
【点评】本题考查了平均数与方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
18．在▱ABCD中，AB、BC、CD三条边的长度分别为（a﹣3）cm、（a﹣4）cm、（9﹣a）cm，则这个平行四边形的周长为 10 cm．
【考点】平行四边形的性质；解一元一次方程．
【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程，从而解出a，这样就可得出各边的长，继而得出周长．
【解答】解：∵平行四边形的对边相等， 当a﹣3=9﹣a时 a﹣3=9﹣a， 解得：a=6cm，
即得AB=3cm、BC=2cm、CD=3cm、DA=2cm，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
13
∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA=10cm； 当a﹣4=9﹣a时， a=6.5cm，
即得AB=3.5cm、BC=2.5cm、CD=2.5cm、DA=2.5cm， ∴AB≠BC=CD=DA，
∴四边形不是平行四边形， 故答案为10
【点评】本题考查平行四边形的性质，需要熟练掌握平行四边形对边相等的性质，如果不能看出哪两组边为对边，可以画出草图，这样有助于分析．
三、解答题（10分+10分+8分+10分+10分+12分=60分）
19．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】先根据∠BAC=∠DAE得出∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形的判定得出△ABD≌△ACE，解答即可．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAD=∠CAE
∵∠ABD=∠ACE，AB=AC ∵在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（ASA） ∴BD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
20．同学们，期2016届中考试的时候我们考了一个关于轴对称的图案设计问题，大家答得不错，开动脑筋，挑战一下下面这个题吧！相信你会做得更好！
（1）下面图均为4的网格，每个小正方形的边长为1，观察阴影部分组成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
14
（2）借助下面的网格，请设计三个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与①～④的图案不能重合）
【考点】利用轴对称设计图案． 【分析】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形； （2）根据轴对称图形的特点设计图案即可． 【解答】解：（1）这四个图案都具有的两个共同特征是：都是轴对称图形；
（2）如图：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
21．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】开放型．
【分析】先算小括号里的，小括号里面的先对第二项的分母分解因式，然后找出两项分母的最简公因式（x﹣1）（x+1），对小括号里的第一项的分子分母都乘以x﹣1，第二项不变，然后根据同分母相加减的法则，分母不变．只把分子相加减，再把除法统一成乘法，约分化为最简．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．
【解答】解：
=
=
2
=x+1；
当x=0时，原式的值为1．
说明：只要x≠±1，且代入求值正确，均可记满分．
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计
15
算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．
22．列方程解应用题：
A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度． 【考点】分式方程的应用． 【专题】行程问题．
【分析】设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．根据题意，知小汽车所用的时间比公共汽车所用的时间少3小时﹣20分=小时，列方程求解．
【解答】解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时． 依题意，得
，
解，得 x=20．
经检验x=20是原方程的根，且符合题意． ∴3x=60．
答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时．
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
此题中关键是弄清两车的时间关系．
23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定． 【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，AB∥CD，推出∠EAO=∠FCO，证出△AOE≌△COF即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中，
，
16
∴△AOE≌△COF（ASA）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是根据平行四边形的性质得出AO=CO．
24．元旦假期，小明一家游览我市仓圣公园，公园内有一假山，假山上有条石阶小路，其中有两段台阶的高度如下图所示（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）．请你运用你所学习的统计知识，解决以下问题：
（1）把每一级台阶的高度作为数据，请从统计知识方面（平均数、中位数）说一下有哪些相同点和不同点？
（2）甲、乙两段台阶哪段上行走会比较舒服？你能用所学知识说明吗？
（3）为方便行走，公园决定修整这两段台阶，在不改变台阶数量的前提下，应该怎样修改会比较好（在下图上填一下）？并说明一下你的方案的设计思路？
【考点】方差． 【分析】（1）利用平均数计算公式、中位数解答即可；
（2）先求出方差，根据方差的大小再确定哪段台阶路走起来更舒服； （3）要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小． 【解答】解：（1）将甲、乙两台阶高度值从小到大排列如下， 甲：10，12，15，17，18，18；乙：14，14，15，15，16，16；
甲的中位数是：（15+17）÷2=16，平均数是：（10+12+15+17+18+18）=15； 乙的中位数是：（15+15）÷2=15，平均数是：（14+14+15+15+16+16）=15； 故两台阶高度的平均数相同，中位数不同； （2）
=[（10﹣15）+（12﹣15）+（15﹣15）+（17﹣15）+（18﹣15）+（18﹣15）]=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
=[（14﹣15）+（14﹣15）+（15﹣15）+（15﹣15）+（18﹣15）+（18﹣15）]=∵乙台阶的方差比甲台阶方差小， ∴乙台阶上行走会比较舒服； （3）修改如下：
，
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为使游客在两段台阶上行比较舒服，需使方差尽可能小，最理想应为0，同时不能改变台阶数量和台阶总体高度，
故可使每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．
【点评】此题主要考查了方差在实际生活中的应用，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
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