2.8 电轴法

在电力传输和通信传输等工程中，带等值异号电荷的两平行长直圆柱导体的电场有着广泛的应用。两平行长直圆柱均匀带电导体，其线电荷密度为、。由于静电感应，电荷沿圆柱导体表面的不均匀分布是未知的，要按边值问题直接计算它们在周围空气中产生的电场有困难。

我们的思路：采用等效观点，寻找到分布于圆柱导体表面电荷的对外作用中心线---等效电轴，以等效电轴位置设置的长直平行线电荷产生的电场，来解决两平行长直圆柱均匀带电导体的外部电场问题。

2.8.1 真空中两平行长直线电荷的电场

设有两条等值异号的平行线电荷，线电荷密度为和，相距2b。线电荷周围的电场为平行平面场，设置直角坐标系中，沿线电荷方向为z坐标方向，于是，可以仅对图示x0y平面上的场分布进行分析讨论。

y P(x , y) 取r0点为电位参考点，线电荷在P点引起的电位为

1r2 - (-b, 0) QEdl2πε0Pr0r1drr

r1 + x 2πε0lnr1C1

o (b, 0) 在P点引起的电位为

2lnr2C2

2πε0于是，P点的电位为

r212lnC

2πεr10电位参考点选在y轴上，即r1r2时，0，C0，可得两等值异号的平行长直线电荷电位的最简表达式

r2ln （2.8.1） 2πεr10r2k（k为常数）分析电位的分布。为常数时，有，即等位线方程， r1r22(xb)2y22k 222r1(x-b)y经整理后得

k2122kb22(x2b)y(2) （2.8.2）

k1k1这是圆族方程。在x0y平面上，等位线是一族以y轴为对称分布的偏心圆，圆心在x轴

y 2kbk21b,0)，半径为2上，坐标为(2。

k1k1- 如果令

a b h d b h + a x 2kbk21ahb ， 22k1k1则h，a和b三者的关系为

h2a2b2

它是关于圆柱面的反演关系，对每一个等位圆均成立。把上式写成如下形式

a2h2b2(hb)(hb) （2.8.3）

即表明线电荷所在点是与圆心同在一条直线上的两个反演点，线电荷到同一等位圆心距离的乘积等于该等位圆半径的平方。

2. 电轴法

再回到两圆柱导体的电场中。设导体半径为

a - + a a，轴线间距离为d，线电荷密度分别为和

，导体表面为等位面。若这两圆柱导体表面

与上面等位圆图中的某一对等位圆柱面重合，由

d

于圆柱导体单位长度上的电荷与线电荷的线密度相等，边界条件相同，根据唯一性定理，圆柱导体外部电场就与这对等位圆柱面外部的电场完全一样了。由此，这两根线电荷的位置实际上就是圆柱导体所带电荷的对外作用中心线，称之为等效电轴。于是，要求解两长直平行均匀带电圆柱导体的电场，只需确定它们的等效电轴的位置，然后以在其上放置的一对带同样电量线电荷的场代为解之，这种求解方法称为电轴法。

由上分析可知，确定两电轴的位置是运用电轴法的关键。

两根不同半径、互相平行的传输线，按电轴法有

2h12a1b2222hab2 2dhh12+

-

d

（a） y a2 a1 - o + x b h2 d （b）

联立求解得

h1d22a12a22d22d2a1a2h22d2bh12a1b

h1 即可确定电轴位置。

再看右图是两轴线平行的圆柱导体偏心套合的情况，要求它们套合中间部分的电场，由图所示，可列出关系式

a2 b222hab 22dhh21联立解上式，即得电轴位置

h122a12o2 a1 o1

-

+

(a)

22a2a1d2h12d

2a2a12d2h2

2da2 a1 o2 o1 + - bh122a1

使用电轴法应注意： ① 等效区域的确定；

② 当两圆柱导体轴线间的距离d >>a圆柱导体的半径时，可忽略静电感应，电轴位置近似与导体轴线重合；

③ 电轴法不适用于三根及以上长直平行圆柱均匀带电导体的电场。

b d h1 h2 (b)

b 2.8.3 计算举例

例： 已知两输电线之间的电压为U，尺寸关系如图所示，试求：①求空间电位分布；②导体表面上电场强度最大值Emax。

解： 运用电轴法，电轴 b外，还须知线电荷

- + 。此处虽未知，可以设电荷线密度为，

按电轴法计算，再由线间电压U求。为简便计

密度

算，取图中导体上c、d两点，其电位差

a a d y r2Ucd2clnπεr10b(ha)πε0lnb(ha)

πε0ln[b(ha)]2b2(ha)2

a - d b o b c + a x (hb)lnπε0ad/2lnπε0d/2a2a2

h=d/2 h=d/2

有

2πε0于是，场中任意点的电位为

U2 lnd/2d/2a2a2

2 lnUd/2d/2a2r2ln2r1a

导体上的c（d）点与两线电荷相距最近，同在一条直线上，且两线电荷在c（d）点产生的电场方向相同，应具有最大电场强度：

EmaxE1cE2c

112πεb(ha)b(ha)0U2 lnd/22b222πε0b(ha)d/22a2ad/22a2ad/2a2 d当 a 时，有

2

Emax1Udad2 ln2alnaaU

Emax近似与a成反比，可增大a以减小Emax。

作业： P46 1-7-5、

补充题1-11