河北省大名县第一中学2019届高三数学下学期第二次5月月考试题理美术班

题 理（美术班）

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，，共60分） 1．已知集合，，则等于（ ） A．{1,3}

B．{1,2,3}

C．{3}

D．{1}

2．若复数z满足(3-4i)z=，则z的虚部为（ ） A．-4

B．

C．4

D．

3．在等差数列中，，则（ ） A．

B．

C．

D．

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．

B．

C．

D．

5．若变量x，y满足约束条件，则x-2y的最大值是（ ） A．-1

B．0

C．3

D．4

6．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（ ） A．63

B．252

C．420

D．1260

7．在学校举行的一次年级排球比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：

李明预测：甲队第一，乙队第三.张华预测：甲队第三，丙队第一.王强预测：丙队第二，乙队第三.如果三人的预测都对了一半.则名次为第一、第二、第三的依次是（ ） A．丙、甲、乙 C．丙、乙、甲

B．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲

8．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

9．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点P满足，则该双曲线的离心率为（ ） A．2

B．

C．

D．5

10．在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A．

B． C． D．

11．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数，则的零点个数为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

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二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．的展开式中第四项的二项系数为______．（用数字作答） 14．设向量的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量与的夹角为____． 15．若数列满足，则________.

16．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，，则b+2c的最大值等于______． 三、解答题（17——21题，每题12分，22题或23题任选一题，每题10分） 17．已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)记，设{bn}的前n项和为Sn．求最小的正整数n，使得Sn＞．

18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有2名维修工人.

（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？ 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面PAB平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面PAD平面PBC；

（Ⅱ）M为直线PC的中点，且AP=AD=2，求二面角A-MD-B的正弦值．

20．已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直． (1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k1、k2,求证：k1+k2为定值． 21．已知函数.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若，且是函数f(x)的两个极值点，求的最小值.

22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半

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轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线与曲线C交于A,B两点，P(-1,2)，求. 23．已知函数.

(1)当a=1,b=2时，解关于x的不等式f(x)>2； (2)若函数f(x)的最大值是3，求的最小值.

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美术班理科数学答案

1.【答案】C 【解析】 【分析】

首先确定集合B，然后进行交集运算即可. 【详解】

由题意可得：，则等于. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.【答案】B 【解析】 【分析】

整理得：，问题得解。 【详解】 因为， 所以

所以的虚部为： 故选：B 【点睛】

本题主要考查了复数的模及复数的除法运算，还考查了复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。 3.【答案】B 【解析】 【分析】

利用等差数列的前项和公式直接求解即可． 【详解】 在等差数列中，

本题正确选项： 【点睛】

本题考查等差数列的前项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．

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4.【答案】A 【解析】 【分析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】

几何体的三视图的直观图如图所示，

则该几何体的体积为：． 故选：． 【点睛】

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 5.【答案】D 【解析】 【分析】

作出不等式组对应的区域，由目标函数的几何意义求出z＝x﹣2y的最大值． 【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图所示：

由z＝x﹣2y可得yxz，则表示直线yxz在y轴上的截距， 且截距越小，z越大，

结合图象可知，当z＝x﹣2y经过点A时，z最大， 由可得A（2，﹣1），此时z＝4． 故选：D． 【点睛】

本题考查线性规划，是线性规划中求最值的常规题型．其步骤是作图，找点，求最值． 6.【答案】C 【解析】 【分析】

首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两人在5个位置中选出2个位置进行排列，即可求解. 【详解】

首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两人在5个位置中选出2个位置进行排列有种不同的排法，所以不同的调整方法共有种，故选C. 7.【答案】A

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【解析】 【分析】

根据他们几个都只猜对了一半，假设李明说的前半句“甲队第一”是正确的，那么张华预测的“甲队第三”和“丙队第一”就都是错误的，这与每人只说对了一半相矛盾，得到张华说的后半句“乙队第三”就是正确的；再由此推理其它两人的说法，从而求得结果. 【详解】

假设李明说的前半句“甲队第一”是正确的，

那么张华预测的“甲队第三”和“丙队第一”就都是错误的，这与每人只说对了一半相矛盾，那么张华说的后半句“乙队第三”就是正确的；

由于乙队第三，那么张华说的前半句“甲队第三”就是错的，那么后半句“丙队第一”就是正确的，

由此可以得到，丙队第一，甲队第二，乙队第三，

由此可以得到王强说的前半句“丙队第二”是错的，后半句“乙队第三”是正确的， 所以名次为第一、第二、第三的依次是丙、甲、乙， 故选A. 【点睛】

该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目. 8.【答案】D 【解析】 【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】

解：模拟程序的运行，可得 S=12，k=0

执行循环体，k=2，S=10

不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6 不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0 满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6． 故选：D． 【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】B

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【解析】 【分析】

利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】 .选B. 【点睛】

本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式. 10.【答案】B 【解析】 【分析】

由余弦定理求出，利用正弦定理求得的外接圆的半径，根据题中的条件，可知三棱锥的顶点P在底面上的射影为的外心D，从而可知其外接球的球心在线段PD上，设其半径为，利用勾股定理可求得该三棱锥的外接球的半径，从而求得其表面积. 【详解】

因为，由余弦定理可求得，

再由正弦定理可求得的外接圆的半径， 因为，

所以P在底面上的射影为的外心D，且， 设其外接球的半径为， 则有，解得， 所以其表面积为， 故选B.

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【点睛】

该题考查的是有关三棱锥的外接球的表面积的问题，涉及到的知识点有三棱锥的外接球的球心的位置的确定方法，球的表面积公式，属于简单题目. 11.【答案】A 【解析】 【分析】

利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程 【详解】

函数，若为奇函数， 可得，所以函数，可得，； 曲线在点处的切线的斜率为：5， 则曲线在点处的切线方程为：．即． 故选：A． 12.【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，设，则，作出的图象，结合图象可知，方

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程有三个实根，进而可得答案. 【详解】

由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数， 设，则，作出的图象，

如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，，， 则有一个解，有一个解，有三个解， 故方程有5个解. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用. 13.【答案】10 【解析】 【分析】

根据二项式系数的定义进行求解即可． 【详解】

解：第四项的二项式系数为, 故答案为：10． 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，结合二项式系数的定义是解决本题的关键．比较基础．注意要区分二项式系数和项的系数的区别． 14.【答案】 【解析】 【分析】

利用向量夹角公式cosθ，先求出的模以及与的数量积，再代入公式计算求解． 【详解】

∵（）﹣2•＝1﹣2×1×2×cos60°+2＝3， ∴||， （）•＝3， ∴cosθ， ∴θ＝ 故答案为 【点睛】

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22

2

2

2

本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积的计算，模的计算知识比较基础，掌握基本的公式和技巧即可顺利求解 15.【答案】 【解析】 【分析】

先求出=8，再求出，（n≥2），与已知等式作差，即得. 【详解】 当n=1时， =8. 因为， 所以，（n≥2） 两式相减得8=， 所以（n≥2），适合n=1. 所以. 故答案为： 【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.【答案】 【解析】 【分析】

先根据正弦定理化为边的关系，再根据余弦定理得A，最后根据正弦定理以及三角形内角关系化基本三角函数，根据正弦函数性质得最大值. 【详解】

原等式可化为，整理，得， 故.因为，

其中为锐角，.∵，故当时，取得最大值为. 【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.

17.【答案】（1）an＝2n－1；（2）n＝1010 【解析】 【分析】

（1）根据等差数列的通项公式，对两个等式进行化简，组成方程组，求得等差数数列的首项及公差；

（2）根据（1）写出的通项公式，用裂项相消法，求出的前和，然后解不等式，求出最小的

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正整数. 【详解】

(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意有 ，

从而的通项公式为. (2)因为, 所以Sn＝，

令，解得n>1009，n∈N，故取n＝1010. 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式以及裂项相消法求数列前项和。

18.【答案】（1）；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是. 【解析】 【分析】

（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．

（2）X的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列． 【详解】

（1）因为该厂只有1名维修工人，

所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障， 故该工厂能正常运行的概率为. （2）（ⅰ）的可能取值为34，46，58， ， ， ，

则的分布列为 故.

（ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元. 因为，所以该厂应再招聘1名维修工人. 【点睛】

本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.【答案】（Ⅰ）见解析；

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*

（Ⅱ）. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面，则，结合，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；

（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值． 【详解】

（Ⅰ）证明：为矩形，， 平面平面，平面平面， 平面，则， 又，， 平面，而平面， 平面平面；

（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

由，是以为直角的等腰直角三角形， 得：， ．

设平面的一个法向量为， 由，取，得；

设平面的一个法向量为， 由，取，得. ．

∴二面角的正弦值为． 【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题． 20.【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】

（1）根据几何条件得即可，（2）先考虑斜率不存在时特殊情况，再考虑斜率存在情况，设直线方程以及交点坐标，化简，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理代入化简即得结果. 【详解】

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(1)依题意，由已知得,解得 所以椭圆的方程为

（2）①当直线的斜率不存在时，由解得 设

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 代入化简整理得

依题意，直线与椭圆必相交于两点，设则 又 故 = = =为定值. 综上，为定值2. 【点睛】

本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果； （Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可. 【详解】 （Ⅰ），，， 令，，

①当，即时，恒成立，∴， ∴在上单调递增； ②当，即或时， 有两个实数根，， 若，则，∴，

∴当时，，；当时，，， ∴在上单调递减；在上单调递增， 若，则，∴， 当或时，，； 当时，，，

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∴在，上单调递增；在上单调递减； （Ⅱ），

令，由，，得，，∴， ∴或（舍去）， ∴， 令，，， ∴在上单调递减，

∴，且当时，，也取得最小值， ∴. 【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.【答案】（1）,；（2）2. 【解析】 【分析】

（1）由直线l的参数方程能求出l的普通方程. 由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．

(2) 将,代人，得，利用韦达定理能求出|PA|•|PB|的值． 【详解】

（1）直线的普通方程为. 由，得，

则，故曲线的直角坐标方程为. （2）将,代人，得， 则， 故. 【点睛】

本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查两段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力. 23.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）代入，的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 【详解】

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（Ⅰ）∵当，时，， ∴的解集为； （Ⅱ）∵，， ， ∴，∴，

当且仅当，即，时，等号成立. 故的最小值为. 【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

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