(完整版)高中数学高考总复习复数习题【讲解】(最新整理)

高中数学高考总复习复数习题及详解

一、选择题

3＋2i

1．复数＝(　　)

2－3iA．i　　　　　　　　　B．－iC．12－13i D．12＋13i[答案]　A[解析]　

3＋2i(3＋2i)(2＋3i)6＋9i＋4i－6

＝＝＝i.2－3i(2－3i)(2＋3i)13

2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i[答案]　C

[解析]　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是(　　)A．－1 B．4C．－1和4 D．－1和6[答案]　C

[解析]　由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.

[点评]　复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

4．(文)已知复数z＝A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

含详解答案

6－25＋3

＝2，y＝＝4，22

1－

，则z·i在复平面内对应的点位于(　　)

1＋i

高考总复习

[答案]　B[解析]　z＝限，故选B.

z2＋1

(理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数(　　)

zA．是纯虚数

B．是虚数但不是纯虚数C．是实数 D．只能是零[答案]　C

[解析]　解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋isinθ.z2＋1cos2θ＋isin2θ＋12cos2θ＋2isinθcosθ则＝＝

zcosθ＋isinθcosθ＋isinθ＝2cosθ为实数．

解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1，

z2＋11∴＝z＋＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R.

zz5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数是(　　)A．－3＋i B．－3－iC．3＋i D．3－i[答案]　A

[解析]　(3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.

6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为(　　)A．－4 B．4C．－1 D．1[答案]　A

[解析]　由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.

含详解答案

1－i－1i－111111

，z＝＋，z·i＝－＋i.实数－，虚部，对应点－，在第二象 22 2222222

()高考总复习

7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]　D

[解析]　∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.

(理)现定义：eiθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋Ccosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋bi等于(　　)

A．cos5θ＋isin5θ B．cos5θ－isin5θC．sin5θ＋icos5θ D．sin5θ－icos5θ[答案]　A

[解析]　a＋bi＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4Ccosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(eiθ)5＝ei(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.

a

8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数∈R，则实数x的值

b为(　　)

A．－6 B．68C. 3D．－

83

[答案]　C

a3＋2i(3＋2i)(4－xi)

[解析]　＝＝b4＋xi16＋x2＝

12＋2x8－3x8－3x8＋　i∈R，∴＝0，∴x＝.16＋x216＋x216＋x23

()2

(理)设z＝1－i(i是虚数单位)，则z2＋＝(　　)

zA．－1－i B．－1＋iC．1－i

含详解答案

高考总复习

D．1＋i[答案]　C

22

[解析]　∵z＝1－i，∴z2＝－2i，＝＝1＋i，

z1－i2

∴z2＋＝1－i，选C.

z9．在复平面内，复数A.22 2

对应的点到直线y＝x＋1的距离是(　　)1－i

B.2C．2 D．22[答案]　A[解析]　∵，故选A.

－

10．(文)设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，则z等于(　　)

3A．－＋i

43B.－i43C.＋i 43D．－－i

4[答案]　C

－

[解析]　由z＝2－|z|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2－a2＋1，

3

∴a＝，故选C.

4

a＋i

(理)若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a＋2i|等于(　　)

1－2iA．2 B．22C．4 D．8[答案]　B

222(1＋i)1

＝＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离d＝＝1－i(1－i)(1＋i)22

含详解答案

高考总复习

[解析]　z＝

a＋i(a＋i)(1＋2i)a－22a＋1

＝＝＋i是纯虚数，∴Error!，∴a＝2，1－2i555

∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝22.二、填空题11．规定运算[答案]　1－i[解析]　由已知可得

||a　bz　i

＝ad－bc，若＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.

－i　2c　d

|||z　i

＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.－i　2

|12．若复数z1＝a－i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，且z1·z2为纯虚数，则实数a的值为________．[答案]　－1

[解析]　因为z1·z2＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i为纯虚数，所以a＝－1.

1＋i13．(文)若a是复数z1＝的实部，b是复数z2＝(1－i)3的虚部，则ab等于________．

2－i[答案]　－

25

1＋i(1＋i)(2＋i)13

＝＝＋i，2－i(2－i)(2＋i)55

[解析]　∵z1＝1∴a＝.5

又z2＝(1－i)3＝1－3i＋3i2－i3＝－2－2i，∴b＝－2.2

于是，ab＝－.5(理)如果复数[答案]　－[解析]　

23

2－bi

(i是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b等于________．1＋2i

2－bi2－bi1－2i2－2bb＋4

＝·＝－i，1＋2i1＋2i1－2i55

2－2bb＋4

＝，55

由复数的实数与虚数互为相反数得，2

解得b＝－.

3

14．(文)若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α＝________.[答案]　(2k＋1)π　(k∈Z)

[解析]　依题意，Error!，即Error!，所以α＝(2k＋1)π　(k∈Z)．

[点评]　新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．

含详解答案

高考总复习

(理)设i为虚数单位，复数z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，则tanθ的值为________．[答案]　－

512

5.12

[解析]　z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－三、解答题

a2－7a＋6

15．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．

a＋1试求实数a分别为什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解析]　(1)当z为实数时，Error!，∴a＝6，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，Error!，∴a≠－1且a≠6，

故当a∈R，a≠－1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，Error!∴a＝1，故a＝1时，z为纯虚数．16．求满足

||z＋12

＝1且z＋∈R的复数z.z－1z

[解析]　设z＝a＋bi(a、b∈R)，由

||z＋1

＝1⇒|z＋1|＝|z－1|，z－1

由|(a＋1)＋bi|＝|(a－1)＋bi|，

∴(a＋1)2＋b2＝(a－1)2＋b2，得a＝0，2

∴z＝bi，又由bi＋∈R得，

bi2

b－＝0⇒b＝±2，∴z＝±2i.b

17．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.

(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；(2)求点P(a，b)落在不等式组Error!表示的平面区域内(含边界)的概率．

[解析]　(1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.

含详解答案

高考总复习

1

依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为.即事件“z－3i为实数”的概

61率为.

6

(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：

1

123456(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．

由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．

181所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.

362

含详解答案