人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (70)

的性质考试复习题（含答案)

如图所示，已知在△ABC中，△C=90°，AC=6，AB=10．点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．

（1）用直尺圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点D）；

（2）求点D到边AB的距离．

【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】

（1）作∠ABC的角平分线交AC于D，则根据角平分线的性质可判断点D到边AB和边BC的距离相等；

（2）过点D作DE∠AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=8，设DE=x，

83111108则DC=x，利用S△ADB+S△BCD=S△ABC得到x+x=×6×8，然后解222方程求出x即可．

【详解】

解：（1）如图，点D就是所要求作的点；

（2）过点D作DE⊥AB于E，如图， 在Rt⊥ABC中，BC=102-62 =8， 设DE=x，则DC=x， ⊥S△ADB+S△BCD=S△ABC， ⊥

1210x+

128

1x=×6×8 28⊥x=，

38⊥点D到边AB的距离为．

3【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．

92．（1）如图 1，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠ADC=∠CBA=90°，AB=AD，点 E、F 分别在四边形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF=45°，点 G 在 CD 的延长线上，BE=DG，连接 AG，求证：EF=BE+FD．

∠BAD≠90°，∠B+∠D=180°，(2)如图 2，四边形 ABCD 中，AB=AD，点 E、F 分别在边BC、CD 上，则当∠BAD=2∠EAF 时，仍有 EF=BE+FD 成立吗？说明理由．

∠BAD≠90°，(3)如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD，AC 平分∠BCD，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 交 CD 延长线于 F，若 BC=9，CD=4，则 CE= ．（不需证明）

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】 【分析】

（1）证明△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质得到AG=AE，∠DAG= ∠BAE，证明△AFG≌△AFE，得到GF=EF，证明结论；

（2）延长CB至 M，使 BM=DF，连接 AM，分别证明△ABM≌△ADF和△FAE≌△MAE，根据全等三角形的性质解答；

（3）证明 Rt△AEB≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得到BE=DF，根据题意列式计算．

【详解】

（1）在△ADG和△ABE中，

ADAB{ADGB， DGBE∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，

∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°， ∴∠GAF=∠FAE， 在△GAF 和△FAE中，

AGAE{GAFEAF， AFAF∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴GF=EF， 又∵DG=BE， ∴GF=BE+DF， ∴BE+DF=EF； （2）EF=BE+DF．

理由如下：如图2所示，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴∠D=∠ABM， 在△ABM和△ADF中，

ABAD{ABMD， BMDF∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF=AM，∠DAF=∠BAM， ∵∠BAD=2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

AFAM{AFEAME， AEAE∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF； （3）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE=AF，

在Rt△AEB和Rt△AFD中，

{ABADAEAF，

∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL）， ∴BE=DF，

由题意得，CE+BE=9，CE﹣BE=4， 解得，CE=6.5， 故答案为6.5． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

93．如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 OB=OC．

求证：AO平分∠BAC．

【答案】详见解析. 【解析】 【分析】

根据已知条件证明∠BOD∠∠COE（AAS），再利用全等三角形性质即可解题. 【详解】

证明：∠CD∠AB，BE∠AC， ∠∠BDO=∠CEO=90°， 在∠BOD 和∠COE 中，

∠∠BOD∠∠COE（AAS）， ∠OD=OE， ∠点 O 在∠BAC 的平分线上， 即 AO 平分∠BAC．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和全等三角形的性质，属于简单题．证明全等是解题关键.

∠AOB=∠COD=90°，94．如图①，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD． （1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数； （2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数； （3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．

【答案】（1）∠MON=90°；（2）∠MON=90°；（3）∠MON=90°. 【解析】 【分析】

(1)由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：

（2）同理由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：

（3）由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠AOC=∠BOD=90°+α，∠MOC=∠BON=45°+α可得∠MON的度数：

【详解】

解：

（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°， ∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∠BON=35°，

∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°； （2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α， ∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，

∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α， ∴∠AOC=∠BOD=90°+α．

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∠BON=45°+α，

∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+【点睛】

本题主要考查角平分线的性质及角度间的计算.

95．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在AB，CD上连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．已知∠A′EN=35°，求∠B′EM的度数．

=90°． =90°；

【答案】∠B′EM=55°． 【解析】

【分析】

先由翻折的性质得到∠AEN=∠A' EN, ∠BEM=∠B' EM, 从而可知∠NEM的值, 然后,根据余角的性质即可得到结论.

【详解】

解：

由翻折的性质可知：∠AEN=∠A′EN=35°，∠BEM=∠B′EM． ∠NEM=∠A′EN+∠B′EM=∠AEA′+∠BEB′=×180°=90°． ∴∠B′EM=90°﹣∠A′EN=55°． 【点睛】

本题主要考查角度间的计算.

96．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于

1EF长为半径作圆弧，两2条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，求∠CMA的度数______．

【答案】∠CMA =35°． 【解析】 【分析】

根据两直线平行，同旁内角互补得出CAB70，再根据AM是CAB的平

分线，即可得出MAB的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得出结论．

【详解】

∵AB⊥CD，⊥⊥ACD+⊥CAB=180°．

又∵⊥ACD=110°，⊥⊥CAB=70°，由作法知，AM是CAB的平分线，⊥

1MABCAB35．

2又∵AB⊥CD，⊥⊥CMA=⊥BAM=35°． 【点睛】

本题考查了角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等．

97．如图，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，比较∠1与∠2的关系，并说明街道EOF是笔直的．

【答案】∠1＝∠2, 街道EOF是笔直的,理由见解析 【解析】 【分析】

根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠1=

121∠AOC，∠2=∠BOD，从而得到∠1=∠2，再根据AB是笔直的街道可得

2∠2+∠AOF=180°，求出∠1+∠AOF=180°，从而得解．

【详解】

∵∠AOC和∠BOD是对顶角， ∴∠AOC=∠BOD，

∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，

11∴∠1=∠AOC，∠2=∠BOD，

22∴∠1=∠2， ∵AB是笔直的街道， ∴∠2+∠AOF=180°， ∴∠1+∠AOF=180°， 即∠EOF=180°， ∴EOF是一条直线， 即街道EOF是笔直的． 【点睛】

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，求出∠EOF=180°是解题的关键．

98．如图，ABC中，C90，AC6，BC8．

（1）在AC边上作一点D，使得D到AB的距离等于CD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求CD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】

4. 3（1）作∠B的平分线与AC相交，则交点即为点D. （2）利用等面积法列方程即可. 【详解】

（1）如图所示，作∠B的平分线与AC交于点D.

（2）如图，过D作DE⊥AB于点E,设CD=x,

由（1）可设DE=DC=x, 在RtABC中，

ABAC2BC2 =10,

SABCSABDSBCD, 111AC·BCAB·DEBC·CD,222∴ 12=5x+4x,

4∴ x= .

34即CD=.

3【点睛】

本题考查了角平分线的性质，利用等面积法列方程解题关键.

99．如图1，将一块含60角的三角板ABO的一边BO放在直线MN上，AB边在直线MN的上方，其中A60，另一块含45角的三角板POQ的一边OQ在直线MN上，另一边OP在直线MN的下方．

1现将图1中的三角板POQ绕点O按顺时针方向旋转，当直线MN恰好

为POQ的平分线时，如图2所示，则AOP的度数______度；

2继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得

边OA落在QOB的内部，且AO恰好为POQ的平分线时，求BOP的度数；

3在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，

若三角板POQ绕点O以每秒15的速度匀速旋转，当三角板POQ的OP边或OQ边所在直线平分AOB，则求此时三角板POQ绕点O旋转的时间t的值(请直接写出答案)．

【答案】（1）75；（2）BOP15；（3）当OP边所在直线平分AOB时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平分AOB时旋转时间为11秒或23秒．

【解析】 【分析】

(1)根据三角板PQO的特性结合题意可得出∠POM=45°，在平角MON中

可求出∠AOP的度数；

(2)根据角平分线的定义即可得到结论；

(3)此题分两种情况，一种OP边所在直线平分∠AOB，另一种OQ边所在直线平分∠AOB，找出两种情况下三角板PQO绕点O旋转的度数，即可求出时间t．

【详解】

解：1直线MN平分POQ，POQ90，

POM45，

又AOB60且MOB为平角，

POA180POMAOB180456075，

故AOP的度数为75； 故答案为：75；

2AO恰好为POQ的平分线，

1AOPPOQ45，

2AOB30，

BOPAOPBOP15；

3根据题意可知，分两种情况，

①当OP边所在直线平分AOB时，三角板PQO绕点O旋转的度数为

1136090AOB或90AOB，

22AOB30，

时间t36090151517(秒)或t9015155(秒)；

②当OQ边所在直线平分AOB时，三角板PQO绕点O旋转的度数为

11360AOB或180AOB，

22AOB30，

时间t360151523(秒)或t180151511(秒)．

综合①②得当OP边所在直线平分AOB时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平分AOB时旋转时间为11秒或23秒．

【点睛】

此题考查了角平分线的定义，根据题意找到各个量之间的关系是解题的关键． 100．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． (1)如果∠AOC＝70°，∠COE＝50°，那么∠BOD是多少度？ (2)如果∠BOD＝70°，那么∠AOE是多少度？

【答案】(1)∠BOD＝60°;(2)∠AOE＝140° 【解析】 【分析】

（1）利用角平分线的性质再利用角与角的和差关系计算； （2）根据角平分线的定义易求∠AOE=2∠BOD． 【详解】

（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，

11∴∠COD=∠COE，∠BOC=∠AOC，

22又∵∠AOC=70°，∠COE=50°， ∴∠BOC=35°，∠COD=25°，

∴∠BOD=∠COD+∠BOC=25°+35°=60°；

（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴∠AOC=2∠BOC，∠COE=2∠COD， ∵∠BOC+∠COD=∠BOD=70°， ∵∠AOE=∠AOC+∠COE，

∴∠AOE=2（∠BOC+∠COD）=2∠BOD=140°. 【点睛】

本题考查了角平分线的定义．解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．