历年自主招生考试数学试题大全-2014年华约自主招生数学试题+Word版含答案

2014年华约自主招生数学试题

1．x1,x2,x3,x4,x5是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．

2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是p(p)，甲赢得比赛的概率是q，求p为多少时，qp取得最大值．

3．函数f(x)求a,b的值．

4．（1）证明yf(g(x))的反函数为yg1(f1(x))；

（2）F(x)f(x),G(x)f1(x)，若G(x)的反函数是F(x)，证明f(x)为奇函数．

122(cosxsinx)sin(x)2asinxb(a0)的最大值为1，最小值为4，24x2y25．已知椭圆221与圆x2y2b2，过椭圆上一点M作圆的两切线，切点分别为P,Q，

ab直线PQ与x,y轴分别交于点E,F，求SEOF的最小值．

6．已知数列{an}满足:a10,an1npnqan．（1）若q1，求an；（2）若|p|1,|q|1，求证：数列{an}有界．

7．已知nN*,xn,求证:nn(1)nexx2．

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2014年华约自主招生数学试题

参

1．【解】五个数任取四个应该可以得到C5个不同的和，现条件中只有4个不同的和，故必有两个和值相同．而这五个和值之和为4(x1x2x3x4x5)，是4的倍数，所以这个相同的和值只可能是46，从而有x1x2x3x4x5444546464757，故这五个

4数分别为57-44=13，57-45=12，57-46=11，57-47=10，57-46=11，即10，11，11，12，13． 2．【解】若共比赛了3局，则甲赢得比赛的概率为p3；

若共赛了4局，则最后一局甲胜，甲赢得比赛的概率为C32p3(1p)； 若共比赛了5局，则最后一局甲胜，甲赢比赛的概率为C42p3(1p)2，因此 qp3C32p3(1p)C42p3(1p)2，

所以qpp3C32p3(1p)C42p3(1p)2p6p515p410p3p，p 设f(p)6p515p410p3p，p

1； 21

，则f(p)30p460p330p21， 2

1 即f(p)30p460p330p2130[p2(p22p1)]，

30111)(p2p)， 所以f(p)30[p2(p1)2]30(p2p303030 又因为p(,1)，所以p2p，故p2p1210， 30 所以令f(p)0时，即p2p10，得p30112430111； 2430 又因为p(,1)，所以取p12111， 24301111111易知当p(,)时，f(p)0,p(,1)时，f(p)0，

224243030所以当p111时，f(p)有唯一极大值，也是最大值． 2430

3．【解】易知f(x)(cos2xsin2x)2asinxbsin2x2asinxb1，令tsinx，则2问题等价于g(t)t22axb在[1,1]上的最大值和最小值分别为1和4． ①当对称轴ta1，即a1时，则g(t)在[1,1]上递减，则

1215g(1)2ab1,a,2 ，解得4 1g(1)2ab4b1212g(a)ab12②当对称轴1a0，即0a1时，则，

1g(1)2ab42 消去b得a22a40，解得a15(0,1)，舍去． 综上①②可知，a,b1为所求．

5．【解】设M(acos,bsin)([0,2))，直线PQ为点M关于圆x2y2b2的切点弦，其

b2b,yF方程为(acos)x(bsin)yb，从而xE， acossin2 于是SEOF1b3b3|xE||xF|， 2a|sin2|a22a,b)时，上述等号成立． 22 当且仅当M(6．【解】（1）当q1时，an1annpn，则anan1(n1)pn1(n2) 由累加法得ananan1an1an2a2a1a1(n2)，

即anp2p23p3①当p1时，an(n1)pn1(n2)……（1）

n(n1);当n1时，a10也适合； 2(n1)pn……（2）

pn1(n1)pn，

②当p1时，panp22p3 由（1）-（2）得anpanpp2p3p(1pn1)(n1)pn(n1)pn1npnp1p 所以an，当n1时，a10也适合；

1p(1p)2n(n1)2 于是ann1n(n1)pnpp(1p)2p1．

p1

xxn7．【证明】原不等式等价于nxn((1)e)n．

n2 当x2n，上述不等式左边非正，不等式成立；

当x2n时，由ey1y(y0)及贝努力不等式(1y)n1ny(n1,y1)，

xxnxxnx2nx2n 从而n((1)e)n((1)(1))n(12)n(1n2)nx2，即证．

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