高中数学参数方程知识点大全-参数方程高中

高考复习之参数方程 一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.

二、知识结构 1.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是

xx0tcosa (t为参数) yytsina0 (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=

b的直线的参数方程是 axx0at(t不参数) ② yy0bt在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a+b=1,②即为标准式，此时， ｜

22

t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a+b≠1，则动点P到定点P0的距离是

2

2

a2b2｜t｜.

直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是

xx0tcosa  （t为参数）

yytsina0若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则 (1)P1、P2两点的坐标分别是 (x0+t1cosα,y0+t1sinα) (x0+t2cosα,y0+t2sinα)； (2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;

(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则 t=

t1t2 2t1t2｜ 2中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则 t1+t2=0.

- - 总结资料

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2.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是xarcos(φ是参数)

ybrsinφ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

x2y2(2)椭圆 椭圆221(a＞b＞0)的参数方程是

ab

xacosybsin (φ为参数)

y2y2椭圆 221(a＞b＞0)的参数方程是

abxbcos(φ为参数) yasin3.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)

极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

2x2y2xcos  yysin'tg(x0)x三、知识点、能力点提示

(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

22

例1 在圆x+y-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

解： 将圆的方程化为参数方程：

- - 总结资料

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x25cos（为参数） y15sin则圆上点P坐标为(2+5cosd=

，1+5sin)，它到所给直线之距离

120cos15sin304322

故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).

(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.

例2 极坐标方程ρ=A.直线

123sincosB.椭圆

所确定的图形是（ ）

C.双曲

D.抛物线

解： ρ=

12[1(31cos)]221121sin(6

)(三)综合例题赏析 例3 椭圆x3cos(是参数)的两个焦点坐标是 （ ）

y15sin

B.(3，3)，(3，-5) D.(7，-1)，(-1，-1)

A.(-3，5)，(-3，-3) C.(1，1)，(-7，1)

(x3)2(y1)21 解：化为普通方程得

925∴a=25,b=9,得c＝１６,c=4.

∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)

∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.

例4 参数方程

2

2

2

xcossin22(02)表示 y1(1sin)21) 21C.双曲线的一支，这支过(-1，)

2A.双曲线的一支，这支过点(1，

B.抛物线的一部分，这部分过(1，) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，

12- - 总结资料

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1) 2解：由参数式得x=1+sinθ=2y(x＞0) 即y=

2

12

x(x＞0). 2∴应选B.

xsin例5 在方程(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )

ycosA.(2,-7) B.（

解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2 将x=

12，） 33 C.(

11，) 22 D.(1，0)

11代入，得y= 22∴应选C.

2

例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x-y=0表示同一曲线的方程是( )

xtxcostA. B. 2ycostyt C.

xtgt1cos2t y1cos2t

xtgtD.1cos2t

y1cos2t

2

解：普通方程x-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.

2cos2t1122

C.中y==ctgt==，即xy=1，故排除C. 222tgtx2sint∴应选D.

例7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( ) 22222222A.x+(y+2)=4 B.x+(y-2)=4 C.(x-2)+y=4 D.(x+2)+y=4解：将ρ=x2y2，sinθ=∴应选B.

例8 极坐标ρ=cos(A.双曲线

yx2y2代入ρ=4sinθ，得x+y=4y，即x+(y-2)=4.

2222

4

)表示的曲线是( )

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

解：原极坐标方程化为ρ=

12(cosθ+sinθ)22=ρcosθ+ρsinθ，

- - 总结资料

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∴普通方程为2(x+y)=x+y，表示圆.

2

2

应选D.

例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是( ) A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2

C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4 例9图

解：如图.

⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有 cosθ=

OBOP22

，得ρcosθ=2，

∴应选B.

例10 4ρsin2=5 表示的曲线是( )

C.双曲线的一支 D.抛物线

A.圆 B.椭圆

cos12

解：4ρsin2=54ρ·22cos5.

2把ρ=x2y2 ρcosθ=x，代入上式，得 2x2y2=2x-5. 平方整理得y=-5x+

2

25..它表示抛物线. 4∴应选D.

2

例11 极坐标方程4sinθ=3表示曲线是( ) A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 线

D.抛物

y222解：由4sinθ=3,得4·2＝3,即y=3 x，y=±3x,它表示两相交直线. 2xy2

∴应选B.

四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcosθ=

4表示( ) 3

B.一条垂直于x轴的直线 D.一条抛物线

A.一条平行于x轴的直线 C.一个圆 2.直线：3x-4y-9=0与圆：x2cos(为参数)的位置关系是( )

y2sin,- - 总结资料

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A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：①θ=

312

和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ρ-9=0和ρ= 3；④

32662x2t2和x22t 1y3ty3t2

其中表示相同曲线的组数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是( )

A.重合 B.关于极点对称

C.关于直线θ=

 2D.关于极轴

对称

5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

6.经过点M(1，5)且倾斜角为是( )

的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程31x1t2 y53t211

x1tx1t22A． B.

y53ty53t223y1t2D. x51t2 C.

m22mxa2m2m2(m是参数，ab≠0)化为普通方程是( )

7.将参数方yb2m2m22m2y2A.221(xa) abx2y2C.221(xa) abx2

x2y2B.221(xa) abx2y2D.221(xa) ab

- - 总结资料

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 )，则圆心的极坐标和半径分别为( ) 6A.(1,),r=2 B.(1,),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1,

3638.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+-

),r=2 31xt9.参数方程t (t为参数)所表示的曲线是( )

y2A.一条射线 B.两条射线

直线

C.一条直线 D.两条

x2tg10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方 程为( )

y12secA.y-1=11(x2) B.y=x 22 C.y-1=2(x2)

D.y+1=2(x2)

x4at22

11.若直线( (t为参数)与圆x+y-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )

ybtA.

2 B.

33 C.

2或 D. 或

3335 3x2pt212.已知曲线 (t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t 1，t2，且t1+t2=0，

y2pt那么M，N间的距离为( )

22

A.2p(t1+t2) B.2p(t1+t2) C.│2p(t1-t2)│ D.2p(t1-t2)2

22

13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y-x)也在单位圆上运动，其运动规律是( )

A.角速度ω，顺时针方向 B.角速度ω，逆时针方向 C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω，逆时针方向

22

14.抛物线y=x-10xcosθ+25+3sinθ-25sinθ与x轴两个交点距离的最大值是( )

A.5 B.10 15.直线ρ=

C.23 D.3

3与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是( )

2cossin433A． B．

2cossin2coscos33C． D．

cos2sincos2sin- - 总结资料

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(二)填空题

4

x3t5

16.若直线l的参数方程为(t为参数)，则过点(4，-1)且与l平行的直线在

3y2t

5

y轴上的截距为

.

cosx1cos17.参数方程（为参数）化成普通方程为 .

siny1cos18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是 . 19.直线x13t(t为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)

y23t的距离为 .

(三)解答题

x4cos20.设椭圆(θ为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求

3y23sin点P的坐标.

x2pt221.曲线C的方程为(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点

y2pt为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.

x2y2=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左 半部分交于C、22.已知椭圆2D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.

2

(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF│·│F2H│成立的直线BD是否存在?并说明理由 .

(2)若点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.

23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线左顶点，且焦点到相应的准线的距离为

x84sec(θ为参数)的左焦点和

y3tg9，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 4x2y224.A，B为椭圆22=1，(a＞b＞0) 上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大

ab值和最小值.

- - 总结资料

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x2y2xy25.已知椭圆=1，直线l∶=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，2416128又点Q在OP上且 满足│OQ│·│OP│=│OR│，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方

2

程.并说明轨迹是什么曲线.

-

- 总结资料

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参

(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y=-2(x-２

11),(x≤);18.抛 物线；19.135°,|32t| 2223; 3(三)20.(

815,55)；21.

122.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.(27-341)；24.S

max

ab=，smax

a2b2=;

525.

(x1)2(y1)255=1(x,y)不同时为零)

22

- 2- a2b2 总结资料