高中数学知识清单

集合

间的 子集 集合 A中任意一元素都在集合 B 中 A  B 或 B  A 基本 关系 集合 A中任意一元素都在集合 B 中，且集合 真子集 B 中至少有一个元素不在集合 A中 空集（没有任何元空集是任何集合的子集   A 素的集合） 空集是任何集合的真子集 三、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号集合 A 和集合 B 的所集合 A 和集合 B 的共若全集为U ，集合 A是U 的子集， 集合U 除去集合 A 中所有的元素， 表示 有元素，记作 A B 同元素，记作 A B 剩余的所有元素，记作CU A 图形表示 A B  x x  A A B  x x  A 意义 或 x  B 且 x  B CU A  x x U 且 x  A (1) A  A ; (1) A    ; (1) A CU A  U ; (2) A A  A ; (2) A A  A ; (2) A C U A  ; 性质 (3) A B  B A ; (3) A B  B A ; (3) CU CU A  A ; (4) A B  A  (4) A B  A  (4) CU  A B  CU A CU B B  A A  B (5) CU  A B  CU A CU B 知识拓展： 设有限集合 A 中元素的个数为 n ，则（1） （1） A 的子集个数是2n ； （2） A 的真子集个数是2n -1； （3） A 的非空子集个数是2n -1； （4） A 的非空真子集个数是2n -2。

1

一、不等式的定义

用数学符号“  、 、 、 、 ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系， 含有这些不等号的式子，称为不等式。

二、不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a  b  b  a  传递性 a  b,b  c  a  c  可加性 a  b  a  c  b  c  a  b   ac  bc c  0 可乘性 a  bc 的符号 c  0  ac  bc  a  b同向可加性   a  c  b  d c  d  a  b  0 同向同正可乘性 d  0  ac  bd c  可乘方 a  b  0  an  bn n  N, n  1  a  b  0  n a  n b n  N , n  2 可开方 同正 三、比较大小的基本方法

作差法：

理论依据： a  b  0  a  b; a  b  0  a  b; a  b  0  a  b 。基本步骤： （1）作差；

（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数

的恒等变形）；

（3）结论（与 0 比较）。

四、不等式的解法

1、一元一次不等式组（ a  b ）：

x  a

 x  a （1）  x  b 的解集为 x x  b ； （2） x x  a ； x  b 的解集为

（3） x  a 的解解为x a  x  b；（4）  x  a 的解集为



x  b 

x  b

2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

 b2  4ac  0  0  0 二 次 函 数 y  ax2  bx  c (a  0) 的图像 一元二次方程 有两个相等实根 ax2  bx  c  0 有两个不相等实根 b x 1  x 2  没有实数根 (a  0) 的根 x1, x2 x1  x2  2a ax2  bx  c  0  (a  0) 的解集 x x  x1 或 x  x2  b x x  2a   R ax2  bx  c  0 (a  0) 的解集 x x  x1 或 x  x2 R  ax2  bx  c  0 x x 1  x  x2   (a  0) 的解集 ax2  bx  c  0  (a  0) 的解集 x x1  x  x2 x x   b  2a    3、绝对值不等式

2



（1）当 a  0 时，有 x  a x x  a 或 x  a ； x  a 

x a  x  a； （2）当 a  0 时，有 x  0  

x x  0 ； x  0   ；

（3）当 a  0 时， x  a  x  R ； x  a   ； （4）当 a  0 时，有

cx  d  a  x cx  d  a 或cx  d  a； cx  d  a  x a  cx  d  a.

（5）当 a  0 时，有

cx  d  0  x cx  d  0； cx  d  0   。

（6）当 a  0 时，有

cx  d  a  x  R ； cx  d  a   。

4、分式不等式

（1） f  f xg  x x   0 

* g x  0 ； 

g x  0 f  x  f x* g x  0

（2） g x  0  



g x  0 （3）

f  x

 0 g x

f x* g x  0

（4）

f  x

 0 

g x

f x* g x  0

一、函数的概念

1、定义

（1）两个非空的数集 A 、 B ；

（2）如果按照某种确定关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的

数 f x 和它对应；

（3）称 f : A  B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y  f x, x  A 。 2、函数的定义域、值域

（1）定义域：自变量 x 的取值范围； （2）值域：与 x 相对应 y 的取值范围。 3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

二、函数的相关结论

1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。 2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。

3、分段函数：自变量 x 的取值范围不同，需要不同的对应法则。 （1）定义域：各个部分的并集； （2）是一个函数；

（3）求 f x ，要判断自变量 x 在哪个范围内，在代入相应的表达式。

4、求函数定义域的方法：

（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为 R ；分母 0 ；偶次根式下 0 ；奇次根式为 R ；

0 次幂底 0 ；指数为 R ；对数 0 。

（2）若已知函数 f x 的定义域为a, b ，则函数 f g x 的定义域由a  g x  b 求出。

（3）若已知函数 f g x

的定义域为a, b，则函数 f x 的定义域为 g x 在 x a, b时的值域。

5、求函数解析式的方法

（1）待定系数法：若已知 f x 的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；

例 1、已知 f x 是一次函数，且 f  f x

 4x  3 ，则 f x 的解析式。 （2）换元法：设t  g x ，解出 x ，代入 f g x

，求 f t  的解析式即可；

3

（3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于 f x 的方程组求出 f x ；

例 2、已知函数 f x  2 f

 1  

x 的解析式。

 x ，求 f x 

（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。

例 3、已知 f 0  1 ，对任意的实数 x, y 都有 f x  y  f x y 2x  y 1 ，求 f x 的解析式。

一、函数的单调性

1、单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 f x 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 定义 1 , x2 ，当 x1  x2 时，都有 f x1   f x2  ，那么当 x1  x2 时，都有 f x1   f x2  ，那就说函数 f x 在区间 D 上是增函数。 么就说函数 f x 在区间 D 上是增函数。 2、单调区间的定义

若函数 f x 在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f x 在这一区间上具有单调性，区间 D 叫做 f x 的单调区间。 3、判断（证明）单调性的方法

（1）图像法：在区间 D 上，图像呈上升趋势，则函数在区间 D 上是增函数；反之，图像呈下降 趋势，则函数在区间 D 上是减函数。 （2）利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取 x1 , x x2  f D x，且 x1  x2 ； b. 作差 f 1

2

；

c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；

d. 定号（即判断 f x1  f x2 的正负，和“0”比较）； e. 下结论（即指出函数 f x 在给定的区间上的单调性）。 4、几种初等函数单调性的判断（证明）

（1）一次函数 y  kx  b(k  0), x  R

解（证明）： 在定义域 R 上任取 x1, x2  R ,且

x1  x2 ，则 f x1  f x2   (kx1  b)  kx2  b

 k(x1  x2 )

x1  x2 x1  x2  0

当 k  0 时，有

f x  f x   k(x  x )  0

1 2 1 2

即 f x1   f x2  故函数 y  kx  b 在 R 上是增函数。

而当k  0 时，有

f x  f x

 k(x

1 2 

1  x 2)

 0 即 f x1   f x2  故函数 y  kx  b 在 R 上是减函数。 （2）二次函数 y  ax2

 bx  c 

a  0

解：单调区间为 ,  b

b

b 

2a  ，  2 a ,   ,当 a  0 时，函数在 ,  是减函数；在    2a 



  b  b b

2 a ,  上是增函数；当 a  0 时，函数在 ,  是增函数；在  ,  上是减函   2a 

 2a  数

证明函数 y  ax2

 bx  c a  0在

,  b  是减函数；在  b 2a  2a ,  上是增函数。







4



证明：a. 在 , 

b 

上任取 x , x ,且 x  x ，则

 

2a 1 2 1 2



f (x 1 )  f x 2   ax2 1  bx 1  c ax2

2

 bx 2  c  ax2  ax2  bx  bx

 a 1

x2  x2 2

 b 1 x  x2



1

2

1

2

 a x1  x x 2 xa 1  xx  2x   b  bx1  x x 2 

1 2  1 2 

x1  x2 x1  x2  0

b b

又 x1  2a , x2  

b 2ab

b

 x1  x2   2a   2a , x1  x2   a

又 a  0,a x  x   b

1 2

a x  x 2

 b  0

1

 f (x1 )  f x2   x1  x2 a x1  x2  b  0

即 f (x1 )  f x2 

2  b x 故函数 y  ax  bx  c a  0在 ,   是减函数。  2a

 b.在 

b 2a ,  

 

上任取 x 1 , x 2 ,且 x 1  x 2

，则 f (x )  f x   ax2  bx  c1 1  ax2  bx  c 1

2

2 2



 ax2 2

1  ax2  bx 1

 bx

2

 a x2

 x2

 x 1

2

 b x1

2

 a x1  x2 x1  x2   b x1  x2  x1  x2 a x1  x2   b

x1  x2 x1  x2  0

b b

又 x1   2a , x2   2a

 x  x   b   b , x   b2 2a 2a 1 x 1 2 a

又 a  0,a x1  x2   b

a x1  x2  b  0

 f (x1 )  f x2   x1  x2 a x1  x2  b  0

即 f (x1 )  f x2  故函数 y  ax2

 bx  c a  0在 

b 2a ,  



是减函数。

（3）反比例函数 y  k x (k  0)

解：单调区间为,0 ， 0, ，当k  0 时，函数在,0和0, 上都为减函数；当k  0 时，函数在,0和0, 上都为增函数。

证明函数 y  k (k  0) 在,0上是减函数；在0, 上是减函数。 证明：在,0上任取 x , x ,且 x  x ，则

1 2 1 2

f (x 1 )  f x k k

2

  xkx1 x2

2  kx1

 x x k  1 2

x  x 

2 1 x1 x2

x 1  x 2 x 2 x 1

0

又 k  0,k x2  x1   0

5



又 x1  0, x2  0 ， x1 x2  0



 f (x1 )  f x2  k x2  x1 

 0

x1x2

即 f (x1 )  f x2  故函数 y  k

(k  0) 在,0上是减函数。

x

（4）指数函数 y  ax ，当0  a  1 时，在 R 上是减函数；当a  1 时，在 R 上是增函数。证明：a. 在定义域 R 上任取 x1, x2  R ,且 x1  x2 ，则

f (x 1 )  ax1 

x  x f xax2

a 1 2

2 x  x ,x  x  0

1 2 1 2

又 0  a 1,ax1 x2 1 f (x)

即

1

 1

f x2 

故 f (x1 )  f x2  所以函数 y  a

x

0  a  1 在 R 上是减函数。b.

在定义域 R 上任取 x1, x2  R ,且 x1  x2 ，则

f (x ) 

ax1

x  x



1

f x2 ax1 2 2

a

x1  x2 ,x1  x2  0

又 a 1,ax1 x2 1



即 f (x1 )

f x 1 2 

故 f (x1 )  f x2  所以函数 y  a

x

0  a  1 在 R 上是增函数。

例 1 讨论函数 f x 

ax x2 1

a  0 在1,1 上的单调性。解：任取 x1, x2 1,1，且 x1  x2 ，则

f (x x ax2 1 1 1 )  f x2 1 x ax2 2

2

1 ax x 2 1 ax x 2 1

1

2

2

1



x

2

1

1x 2

2 1ax x 2  ax  ax x 2  ax

 1 2 1

2 1 2

x 1 2 1 x 2 2 12 2 ax x  ax x  ax  ax  1 2 2 1 2 1

x 2 1 x 2 1 2 1 ax1 x2 xx 22  1x1 

x 2 a 1x2  x1 1

2



a  x2  x1  x1x2 1

x 2 1x 2 1

2

1

1 x1  x2 1

x  x  0, x x 1  0,x 2 1x 2 1 0

2 1 1 2 1 2

又a  0, f x1  f x2   0 故函数 f x ax x2 1

a  0在1,1 上为减函数。

6

二、函数的奇偶性

1、奇函数、偶函数的概念 奇偶性 定义 图像特点 如果对于函数 f 偶函数 x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x  f x 关于 ，那么函数 f x 是偶函数。 y 轴对称 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 奇函数 关于原点对称 f x   f x ，那么函数 f x 是奇函数。 2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤

（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称； （2）求 f x ；

（3）判断 f x 是否等于 f x 或 f x ：

a. 若 f x  f x，则 f x 是偶函数； b. 若 f x   f x,则 f x 是奇函数；

c. 若 f x  f x且 f x   f x,则 f x 既是偶函数又是奇函数； d. 若 f x  f x且 f x   f x,则 f x 既不是偶函数也不是奇函数； 例 2 判断下列函数的奇偶性

（1） f x  1 x1 x 1 x （2） f x 4  x2

x  3  3 x2    2x 1 (x  0), （3） f x x2

 2x 1

(x  0);

1 x

解：（1）因为要使函数有意义，要满足

1 x

 0 ，即

1 x  0 1 x  0 或

1 x  0 

1 x  0

解 得 1  x  1

由于定义域关于原点不对称，所以函数 f x 既不是偶函数也不是奇函数。

 4  x2

 0

（2）因为要使函数有意义，要满足 x  3  3  0

解 得 2  x  2 且 x  0

所以函数的定义域关于原点对称。

 f x  4  x2 4  x2 x  3  3 x

又 f x  4  x2 4  x2x   x  f x   f x ，即函数是奇函数。

（3）函数的定义域为

x x  0 ，关于原点对称，

当 x  0 时， x  0, f x  x2

 2x1  x2

 2x 1   f x ，

当 x  0 时， x  0, f x  x2

 2x1  x2

 2x 1  f x ， f x   f x ，即函数是奇函数

三、二次函数

1、二次函数的定义

2

形如 f x  ax  bx  c(a  0) 的函数叫做二次函数。

2、二次函数的三种表示形式

（1）一般式： f x  ax2

 bx  c(a  0) ；



b 2

4ac  b2 （2）顶点式： f x  a  x 

2a 

4a

(a  0) ；

（3）两根式： f x  a x  x x  x (a  0) 。

1

2

7

3、二次函数的图象和性质

解析式 f x  ax2  bx  c(a  0) f x  ax2  bx  c(a  0) 图象 定义域 R R 

 4ac  b2  4ac  b2 值域   4a ,    , 4a   2f x  4ac  b2 最值 f x  4ac  b min 4a max 4a 在  ,  b  上 单 调 递 减 ， 在 在  ,  b   2a  上单调递增，在  2a 单调性   b ,   2a 上单调递增  b 2a ,   上单调递减  奇偶性 当b  0 时为偶函数；当b  0 时为非奇非偶函数  b , 4ac  b2  顶点坐标   2a 4a   对称性 图像关于直线 x  b 对称 2a 四、幂函数

1、幂函数的定义

形如 y  x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数。 2、幂函数的性质

（1）当  0 时，幂函数 y  x 有下列性质： a. 图像都通过点0, 0, 1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大。

（2）当  0 时，幂函数 y  x 有下列性质：

a. 图像都通过点1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小

例 1 若函数 f x 是幂函数，且满足 f 4  3 f 2，求（1）f x 的函数表达式；（2）求

f  1  2 

。 解：设 f x  x

， f 4  3 f 2,4

 3* 2

，22  3* 2 ，即2  3 ，故  log 23 ，  1 log2 3 所以 f x  x

log2 3

，则 f 1  2  = 2  2 log12 3  3 。

例 2 已知幂函数 f x  xm2

2m3

m Z 为偶函数，且在区间0, 上是单调增函数，求

f x 的函数表达式

解： f x 在区间0, 上是单调增函数

m2  2m  3  0 ，即m2  2m  3  0

1  m  3, 又m  Z,m  0,1, 2

当m  0, 2 时， f x  x3

不是偶函数，而当m  1 时， f x  x4

是偶函数

 f x  x4 。

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