2020年中考数学一轮专项复习17 二次函数(压轴题)(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——二次函数（压轴题）

1、【2019遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON． （1）求该二次函数的关系式．

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标． ②求证：∠BNM＝∠ONM．

1

42

2、如图，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点

33B(0，－2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．

2

3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n＜0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为M.

(1)求k的值；

(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．

3

4、已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低点的纵坐标为－4. (1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平

分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；

(3) 如图2，平移抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝－2上有一动点P，

过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)， 求证：直线EF恒过某一定点.

yyFADC图 1P图 2OBxEOx

5、如图1，点A是直线y＝kx(k＞0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．(点A，E，F两两不重合)

(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)

(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值．

图1 图2

4

6、已知直线y＝x－2t与抛物线y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k为已知数)，在t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

(1)求k的值；

(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y＝x－2t的值总小于y＝a(x－t)2＋k的值，

试求a与m的关系式；

(3)当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由．

7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的3倍，且有两边在坐标轴上．将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP，P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上，⊙E的半径为R.

(1)用R的式子表示点B的坐标；

(2)若抛物线y＝ax2＋3x＋c经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；

(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.

5

1

8、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，

2开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．

(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)； (2)求ac的值；

(3)若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当△PAC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标．

9、如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

6

参

1、【2019遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON． （1）求该二次函数的关系式．

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标． ②求证：∠BNM＝∠ONM．

【解析】（1）∵二次函数顶点为P（3，3）∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3∵二次函数图象过点A（6，0） ∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣

∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x

（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x ∵OB交对称轴l于点M∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6

∴M（3，﹣b+6）∵点M、N关于点P对称∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b） ①∵OP＝MN∴OP＝MP∴∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3∴OB2＝（3+3﹣3

＝b﹣3解得：b＝3+3

）2+2×（3+3

，﹣3），N（3，3+3

，BN2＝（3+3

）

﹣3）2+（﹣3﹣3

）＝﹣3 ∴B（3+3，ON2＝32+（3+3

）2+（﹣3）2＝36+18）2＝36+18

）2＝72+36∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2

7

∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．

②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b） 设直线BN解析式为y＝kx+d ∴

解得：

∴直线BN：y＝﹣bx+2b

当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴 ∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM

42

2、如图，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点

33B(0，－2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．

4

【解析】：(1)由直线y＝－x＋n过点

3C(0，4)，得n＝4，

442

∴y＝－x＋4.令y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝3.∴A(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－

3332)，

8

240＝3× 32＋3b＋c，b＝－3，∴∴ －2＝c，c＝－2.24

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

33(2)∵点P的横坐标为m，

24

m，m2－m－2，D(m，－2)． ∴P33若△BDP为等腰三角形，则PD＝BD. 24①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.

33(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m＜ 0，BD＝－m. 241

∴m2－m＝－m，∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)． 332(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m＞ 0，BD＝m. 247∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝. 332

24241②当点P在直线BD下方时，m＞ 0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.

333327171

综上所述，当m＝或，△BDP为等腰直角三角形，此时PD的长为或.

2222

3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n＜0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为M.

(1)求k的值；

(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．

【解析】 (1)根据题意得到：E(3n,0)，G(n，－n)．当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为(0，m)． ∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2， ∵FB＝AF，

∴m2＋n2＝(－2n－m)2， 化简，得m＝－0.75n，

9

对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0， ∴0＝kn－0.75n， ∴k＝0.75

(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G，



∴－n＝na＋nb＋c，－0.75n＝c，

0＝9n2a＋3nb＋c，

2

11

解得a＝，b＝－，c＝－0.75n.

4n2

11

∴抛物线为y＝x2－x－0.75n.

4n211y＝4nx2－2x－0.75n，

解方程组：

y＝0.75x－0.75n.

得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n. ∴H坐标(5n,3n)，HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n， ∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2. 而矩形AOBC的面积＝2n2，

∴△AMH的面积∶矩形AOBC的面积＝3∶1，不随着点A的位置的改变而改变．

4、已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低点的纵坐标为－4. (1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平

分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；

(3) 如图2，平移抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝－2上有一动点P，

过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)， 求证：直线EF恒过某一定点.

yyFADC图 1P图 2OBxEOx

10

【解析】(1) y＝x2＋(2m－1)x－2m＝(x＋m－0.5)2－m2－m－0.25，∵最低点的纵坐标为－4，

∴－m2－m－0.25＝－4，即4m2＋4m－15＝0，∴m＝1.5或－2.5. ∵m＞0.5，∴m＝1.5. ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.

(2) ∵y＝x2＋2x－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3). 连AC交BD于E，

过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，

由△ABD与△CBD面积相等，得AM＝CN.

AODENMC图 1Bxy 于是易得△AEM≌△CEN(AAS)，∴AE＝CE，∴E(－1.5，－1.5). 又B(1，0)，∴直线BE的解析式为y＝0.6x－0.6.

y＝0.6x－0.61251

由，解得D(－，－). 2525

y＝x＋2x－3

(3) 设E(t，t2)，F(n，n2)，设直线PE为y＝k1(x－t)＋t2，

y＝x2

2－kx＋kt－t2＝0，△＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2＝0，∴k＝2t. 由，得 x111111

2

y＝k(x－t)＋t1

t2－2∴直线PE为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2. 令y＝－2，得xP＝.

2tn2－2t2－2n2－2

同理，设直线PF为y＝k2(x－n)＋n2，xP＝，得：＝，

2n2t2n ∵t≠n，∴tn＝－2.

y＝x2

设直线EF的解析式为y＝kx＋b，由，得x2－kx－b＝0，

y＝kx＋b

∴xE·xF＝－b，即tn＝－b，∴b＝2. ∴直线EF为y＝kx＋2，过定点(0，2).

5、如图1，点A是直线y＝kx(k＞0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．(点A，E，F两两不重合)

(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)

(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值．

11

图1 图2

【解析】 (1)∵抛物线顶点(h，m)在直线y＝kx上，∴m＝kh；

2y＝x－h＋kh，①

(2)解方程组

y＝kx，②

将②代入①得到：(x－h)2＋kh＝kx， 整理得：(x－h)[(x－h)－k]＝0， 解得：x1＝h，x2＝k＋h.

代入到方程②得y1＝kh，y2＝k2＋hk. 所以点E坐标是(k＋h，k2＋hk) 当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh， ∴点F坐标是(0，h2＋kh)

当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等， 即k2＋kh＝h2＋kh

解得：h＝k(h＝－k舍去，否则E，F，O重合) 此时点E(2k,2k2)，F(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)

∴AC∶OF＝k2∶2k2＝1∶2

6、已知直线y＝x－2t与抛物线y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k为已知数)，在t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

(1)求k的值；

(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y＝x－2t的值总小于y＝a(x－t)2＋k的值，

试求a与m的关系式；

(3)当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由．

【解析】 (1)由题意，t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点． 而此时直线解析式为y＝x－4， 对称轴坐标为直线x＝2. 易得k＝－2.

(2)当t＞m时，无论自变量x取何值，一次函数的值总小于二次函数的值， 说明当t＝m时，直线与抛物线有且只有一个公共点．

可设此时直线与抛物线解析式分别为y＝x－2m和y＝a(x－m)2－2，联立消去y，得：

12

ax2－(2am＋1)x＋am2－2＋2m＝0， 由Δ＝0得：8a＋1－4am＝0.

(3)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐标系内构造直角三角形后易知， AB＝2x1－x2

||

y＝x－2t，

联立直线与抛物线解析式消去y，得：ax2－(2at＋1)x＋at2－2＋2t＝0.

y＝ax－t2－2，

由求根公式可知：

Δ

＝|a|

－4at＋8a＋1

，

|a|

－4at＋8a＋1

.

|a|

|

x1－x2＝

|

AB＝2x1－x2＝2

||

由于a为定值且a>0，所以－4a<0，由于1,8a，2、|a|均为正，

从而t＝0时，AB＝2x1－x2最大．

7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的3倍，且有两边在坐标轴上．将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP，P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上，⊙E的半径为R.

||

(1)用R的式子表示点B的坐标；

(2)若抛物线y＝ax2＋3x＋c经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；

(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.

【解析】 (1)点B坐标为(3R，R)． (2)易求点P坐标为

3R3R，点A坐标为(3R,0)，则：

2，23R2a＋3·3R＋c＝3R，2223R2a＋3R＋c＝0，

∴抛物线的解析式为：y＝－

4a＝－，3R

解得

c＝R.

42

x＋3x＋R. 3R

33R25R3R

，令y＝0，可解得M点的坐标为－，从而，

1684，0

由于点C坐标为(0，R)，因其正好为抛物线与y轴的交点，故点C在抛物线上． (3)如图，由顶点坐标公式易求得Q点坐标为13R25R1253R2

S△AMQ＝＝. 23R＋416128

13

又易求OB解析式为y＝

3x. 3

设AQ解析式为y＝kx＋b，则：

3Rk＋b＝0，33R25R

k＋b＝，168

k＝－563，

解得5R

b＝2.

535R

∴设AQ解析式为y＝－x＋

62

联立AQ与OB的解析式解得交点N的坐标为15R53R2

从而易求S△AON＝·3R·＝.

2714S∴S

53R5R

.

7，7

△AON

53R21253R2＝÷＝.

14128175

△AMQ

111

直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是一个定值，且k＝或者.

111

1

8、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，

2开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．

(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)； (2)求ac的值；

(3)若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当△PAC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标．

【解析】 (1)点A(2m,0)，C(0，m)； (2)∵以AB为直径的⊙M经过点C， ∴∠ACB＝90°.

14

可证得，△BOC∽△COA，∴OB∶OC＝OC∶OA．

OC2m21

∵OA＝2m，OC＝m，∴OB＝＝＝m.

OA2m2

1

∴点B(－m,0)．

2

1

将点A(2m,0)，B(－m,0)，C(0，m)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，

2

13

解得a＝－，b＝，c＝m.

m2

131

∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋m，ac＝(－)×m＝－1.

m2m

(3)过点P作PH⊥x轴交AC于点E，交x轴于点H，过点C作CF⊥PH，垂足为F. ∵直线l平行于AC，设l的解析式为：

1

y＝－x＋n.

2

1

代入抛物线的解析式并整理，得－x2＋2x＋m－n＝0.

m

13

∵l与抛物线y＝－x2＋x＋m有且只有一个公共点P，

m21

∴Δ＝22－4(－)(m－n)＝0.解得n＝2m.

m

1

∴l的解析式为：y＝－x＋2m.

2111

S△PAC＝S△PCE＋S△PAE＝PE×CF＋PE×AH＝PE×AO.

222∵AO＝2m，PE＝2m－m＝m.

11

∴S△PAC＝PE×AO＝m×2m＝4.

22解得m＝±2.∵m＞0，∴m＝2.

13

∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋2.

22

13

∵⊙M与抛物线的一个交点C(0,2)的纵坐标为2，令－x2＋x＋2＝2.

22解得x＝0或x＝3.

∴⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标为：A(4,0)，B(－1,0)，C(0,2)和C1(3,2)．

9、如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

15

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得方程，根据解方程，可得A，B，根据OC＝OA，可得a的值；

（2）根据待定系数法，直线BC的解析式为：y＝﹣

x+5，根据平行于y轴直线上两点间的距离大的纵坐标减

小的纵坐标，可得PD，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据两点间距离公式，可得CD，根据菱形的判定，可得PD＝CD＝CQ＝PQ，可得关于n的方程，根据解方程，可得n的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣9ax﹣36a＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝12． 即A（﹣3，0），B（12，0）， 由OC＝OA，得 ﹣36a＝×3，解得a＝﹣故抛物线的解析式为：y＝﹣

（2）如图2，设P（m，﹣

m2+m+5）

x2+x+5；

∵直线BC经过B（12，0），C（0，5）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则

，解得：

16

∴直线BC的解析式为：y＝﹣则D（m，﹣S＝（﹣

m+5），PD＝﹣m2+m）×12

x+5， m2+m，

S＝﹣m2+10m＝﹣（m﹣6）2+30 ∴当m＝6时，S最大＝30．

（3）PD＝CD，翻折后PD＝CD＝CQ＝PQ， PDCQ是菱形． 设P（n，﹣CD＝而PD＝﹣∵PD＝CD， ﹣﹣

n2+n＝n2+n＝﹣

n① n②，

或0（不符合条件，舍去）， 或0（不符合条件，舍去）， ，

），

，

）或（

，﹣

）．

n2+n

n2+n+5），则D（n，﹣

＝|

n|

n+5），

解方程①得：n＝解方程②得：n＝当n＝

时，P（

综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（

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