2021年北京市西城区中考数学一模试卷(有答案)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为（ ） A．9608×103 B．960.8×104

C．96.08×105

D．9.608×106

2．在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（ ）

A．a+b=0

B．a﹣b=0 C．|a|＜|b| D．ab＞0

3．如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠EAB=55°，则∠D的度数为（ ）

A．25° B．35° C．45° D．55°

4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱

5．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（ ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形

6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5=0，此方程可化为（ ） A．（x﹣3）=4 B．（x﹣3）=14 C．（x﹣9）=4 D．（x﹣9）=14

7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面距离为1.5m，则旗杆的高度为（单位：m）（ ）

2

2

2

2

A． B．9 C．12 D．

8．某商店举行促销活动，其促销的方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（ ） A．80%x﹣20 B．80%（x﹣20） C．20%x﹣20 D．20%（x﹣20） 9．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 频数（单位：名）

13 5

14 15

15 x

16 10﹣x

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、中位数 D．众数、方差

10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是（ ）

A．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

B．以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少 C．以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油 D．以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：ax2﹣2ax+a= ．

12．若函数的图象经过点A（1，2），点B（2，1），写出一个符合条件的函数表达式 ． 13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果： 投篮次数n 投中次数m 投中频率

100 58 0.580

150 96 0.0

300 174 0.580

500 302 0.604

800 484 0.605

1000 601 0.601

这名球员投篮一次，投中的概率约是 ．

14．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度数为 ．

15．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．若点A（﹣3，0），B（﹣1，2），则点A'的坐标为 ，点B'的坐标为 ．

16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l和直线l外一点P． 求作：直线l的平行直线，使它经过点P． 作法：如图2．

（1）过点P作直线m与直线l交于点O；

（2）在直线m上取一点A（OA＜OP），以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点B；

（3）以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D； （4）作直线PD．

所以直线PD就是所求作的平行线． 请回答：该作图的依据是 ．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）计算：（）﹣（2﹣

﹣1

）﹣2sin60°+|

0

﹣2|

18．（5分）解不等式组：．

19．（5分）已知x=2y，求代数式（﹣）÷的值．

20．（5分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．

21．（5分）某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植．在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率．为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下： 表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

西瓜质量．（单位：kg） 3.5 4.8 5.4 4.9 4.2 5.0 4.9 4.8 5.8 4.8

编号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

西瓜质量．（单位：kg） 5.0 4.8 5.2 4.9 5.1 5.0 4.8 6.0 5.7 5.0 表2 乙种种植技术种出的西瓜质量统计表

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

西瓜质量．（单位：kg） 4.4 4.9 4.8 4.1 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9

编号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

西瓜质量．（单位：kg） 5.4 5.5 4.0 5.3 4.8 5.6 5.2 5.7 5.0 5.3 回答下列问题：

（1）若将质量为4.5～5.5（单位：kg）的西瓜记为优等品，完成下表：

甲种种植技术种出的西瓜质量 乙种种植技术种出的西瓜质量

优等品西瓜个数

15

平均数 4.98 4.97

方差 0.27 0.21

（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术，并请说明理由．

22．（5分）在平面直角坐标系xOy，直线y=x﹣1与y轴交于点A，与双曲线y=交于点B（m，2）． （1）求点B的坐标及k的值；

（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式．

23．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的长．

24．（5分）汽车保有量是指一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车辆．进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．如图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图． 2007﹣2015年全国汽车保有量及增速统计图，

根据以上信息，回答下列问题：

（1）2016年汽车保有量净增2200万辆，为历史最高水平，2016年汽车的保有量为 万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为 %；

（2）从2008年到2015年， 年全国汽车保有量增速最快； （3）预估2020年我国汽车保有量将达到 万辆，预估理由是 ．

25．（5分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC． （1）求证：∠ECB=∠EBC；

（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB=，求AC的长．

26．（5分）阅读下列材料：

某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．

小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间． 下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的时间x （单位：min） 水箱中水的温度y （单位：℃） m的值为 ；

（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；

②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：

（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源

20 35 50 65 80 40 32 20

m

80 40 20 …

0

1

2

3

4

5

8

10 16 18 20 21 24 32 …

min．

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点． （1）求m的取值范围；

（2）若m取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；

②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，求n的值；

③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a（x﹣h）+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 28．（7分）在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．

（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F． ①求证：△BEF是等腰三角形； ②求证：BD=（BC+BF）；

（2）点E在AB边上，连接CE．若BD=（BC+BE），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．

2

2

29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点． （1）如图1，点A（﹣1，0）．

①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ； ②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为 ； ③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；

（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=

x（x≥0）上，b的取值范围是 ；

（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：

y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．

2021年北京市西城区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．春节假期，北京市推出了庙会休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、冰雪项目体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 000人次，将9 608 000用科学记数法表示为（ ） A．9608×103 B．960.8×104

C．96.08×105

D．9.608×106

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：9 608 000=9.608×10， 故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（ ）

A．a+b=0

B．a﹣b=0 C．|a|＜|b| D．ab＞0

n

6

【考点】29：实数与数轴．

【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案． 【解答】解：由数轴上点的位置，得 a＜0＜b，|a|=|b|， A、a+b=0，故A符合题意； B、a﹣b＜0，故B不符合题意； C、|a|=|b|，故C不符合题意； D、ab＜0，故D不符合题意； 故选：A．

【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得a，b的关系是解题关键．

3．如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠EAB=55°，则∠D的度数为（ ）

A．25° B．35° C．45° D．55° 【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．

【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=35°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数． 【解答】解：∵DA⊥CE， ∴∠DAE=90°， ∵∠EAB=55°， ∴∠BAD=35°， 又∵AB∥CD， ∴∠D=∠BAD=35°， 故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 【考点】U3：由三视图判断几何体．

【分析】根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．

【解答】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体； 故选B．

【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．

5．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是（ ） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得360°÷n=40， 解得n=9． 故选：C．

【点评】本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为360°．

6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5=0，此方程可化为（ ） A．（x﹣3）2=4 B．（x﹣3）2=14 C．（x﹣9）2=4 D．（x﹣9）2=14 【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．

【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【解答】解：∵x2﹣6x=5， ∴x﹣6x+9=5+9，即（x﹣3）=14， 故选：B

【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．

7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面距离为1.5m，则旗杆的高度为（单位：m）（ ）

2

2

A． B．9 C．12 D．

【考点】SA：相似三角形的应用．

【分析】根据题意容易得到△CDE∽△AEB，再根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵根据入射角与反射角相等可知，∠CED=∠AEB，故Rt△CDE∽Rt△AEB， ∴

=

，即

=

，解得AB=12m．

故选C．

【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

8．某商店举行促销活动，其促销的方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（ ） A．80%x﹣20 B．80%（x﹣20） C．20%x﹣20 D．20%（x﹣20） 【考点】32：列代数式．

【分析】根据题意可以用相应的代数式表示购买该商品实际付款的金额． 【解答】解：由题意可得，

若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额是：80%x﹣20（元）， 故选A．

【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键明确题意，列出相应的代数式．

9．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 频数（单位：名）

13 5

14 15

15 x

16 10﹣x

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、中位数 D．众数、方差

【考点】W7：方差；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．

【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．

【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10， 则总人数为：5+15+10=30，

故该组数据的众数为14岁，中位数为：

=14岁，

即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选C．

【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是（ ）

A．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

B．以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少 C．以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油 D．以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升 【考点】VD：折线统计图．

【分析】根据耗油效率的定义结合折线统计图解答即可．

【解答】解：A、以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，此选项错误；

B、以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，此选项错误；

C、以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，乙车燃油效率大于丙车燃油效率，乙车比丙车省油，此选项错误；

D、由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1L，行驶100km时耗油10L，此选项正确； 故选：D．

【点评】本题主要考查折线统计图，理解燃油效率的定义并从折线统计图中得出解题所需数据是解题的关键．

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：ax﹣2ax+a= a（x﹣1） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式． 【解答】解：ax2﹣2ax+a， =a（x﹣2x+1）， =a（x﹣1）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．若函数的图象经过点A（1，2），点B（2，1），写出一个符合条件的函数表达式 y= ．

2

2

2

【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；G7：待定系数法求反比例函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．

【分析】由两坐标可看出两点横纵坐标之积相等，可判断函数可以为反比例函数，k值可由任意一点横纵坐标之积求得．

【解答】解：由于某函数图象经过点A（1，2）和点B（2，1），且两点横纵坐标之积相等， 则此函数可以为反比例函数，k=1×2=2， 满足条件的反比例函数可以为y=； 故答案为y=．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只需把所给点的横纵坐标相乘，结果即是比例系数．

13．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果： 投篮次数n 投中次数m 投中频率

100 58 0.580

150 96 0.0

300 174 0.580

500 302 0.604

800 484 0.605

1000 601 0.601

这名球员投篮一次，投中的概率约是 0.6 ． 【考点】X8：利用频率估计概率．

【分析】根据频率估计概率的方法结合表格可得答案．

【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.6附近， 这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6， 故答案为：0.6．

【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．

14．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度数为 70° ．

【考点】M6：圆内接四边形的性质．

【分析】先根据圆周角定理求出∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠CBD=80°， ∴∠CAD=∠CBD=80°． ∵∠BAC=30°，

∴∠BAD=30°+80°=110°． ∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，

∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣110°=70°． 故答案为：70°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．

15．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．若点A（﹣3，0），B（﹣1，2），则点A'的坐标为 （0，3） ，点B'的坐标为 （2，1） ．

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．

【分析】根据点A（﹣3，0），由旋转的性质得到点A'的坐标；根据点B（﹣1，2），OB绕原点O顺时针旋转90°得到OB′可看作是Rt△OCB绕原点O顺时针旋转90°得到Rt△OC′B′，再写出B′点的坐标． 【解答】解：如图所示：

则点A'的坐标为（0，3），点B'的坐标为（2，1）． 故答案为：（0，3），（2，1）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l和直线l外一点P． 求作：直线l的平行直线，使它经过点P．

作法：如图2．

（1）过点P作直线m与直线l交于点O；

（2）在直线m上取一点A（OA＜OP），以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点B；

（3）以点P为圆心，OA长为半径画弧，交直线m于点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D； （4）作直线PD．

所以直线PD就是所求作的平行线．

请回答：该作图的依据是 同位角相等，两直线平行 ．

【考点】N3：作图—复杂作图．

【分析】利用作法得OA=OB=PD=PC，CD=AB，原式可判断△OAB≌△PCD，则∠AOB=∠CPD，然后根据平行线的判定方法可判断PD∥l．

【解答】解：如图2，由作法得OA=OB=PD=PC，CD=AB，则△OAB≌△PCD， 所以∠AOB=∠CPD， 所以PD∥l．

故答案为同位角相等，两直线平行．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：（）﹣1﹣（2﹣

）0﹣2sin60°+|

﹣2|

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（）﹣1﹣（2﹣2|的值是多少即可．

）0﹣2sin60°+|

﹣

【解答】解：（）﹣（2﹣=2﹣1﹣2×=1﹣=3﹣2

+2﹣

+2﹣

﹣1

）﹣2sin60°+|

0

﹣2|

【点评】此题主要考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

18．解不等式组：

．

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可． 【解答】解：由①得x＜3； 由②得x≥；

所以，原不等式的解集为≤x＜3．

【点评】本题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

19．已知x=2y，求代数式（﹣）÷【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=2y代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=

•

=

，

的值．

当x=2y时，原式==2．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．

【考点】KG：线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的想知道的CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

【解答】证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E， ∴CE=BE， ∴∠ECB=∠EBC， ∵∠EBC=∠A+∠ACB， ∴∠BCE=∠A+∠ACB．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

21．某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植．在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率．为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下： 表1 甲种种植技术种出的西瓜质量统计表

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

西瓜质量．（单位：kg） 3.5 4.8 5.4 4.9 4.2 5.0 4.9 4.8 5.8 4.8

编号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

西瓜质量．（单位：kg） 5.0 4.8 5.2 4.9 5.1 5.0 4.8 6.0 5.7 5.0 表2 乙种种植技术种出的西瓜质量统计表

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

西瓜质量．（单位：kg） 4.4 4.9 4.8 4.1 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9

编号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

西瓜质量．（单位：kg） 5.4 5.5 4.0 5.3 4.8 5.6 5.2 5.7 5.0 5.3 回答下列问题：

（1）若将质量为4.5～5.5（单位：kg）的西瓜记为优等品，完成下表：

甲种种植技术种出的西瓜质量

优等品西瓜个数

15

平均数 4.98

方差 0.27

乙种种植技术种出的西瓜质量 15 4.97 0.21

（2）根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术，并请说明理由． 【考点】W7：方差；VA：统计表；W2：加权平均数． 【分析】（1）根据统计表解答； （2）根据方差的性质进行解答．

【解答】解：（1）甲种种植技术种出的西瓜优等品西瓜个数是15， 故答案为：15；

（2）该科研小组应选择乙种种植技术，

∵甲、乙优等品西瓜个数相同，虽然甲种种植技术种出的西瓜平均数略高，但乙种种植技术种出的西瓜的质量比较稳定， ∴应选择乙种种植技术．

【点评】本题考查的是平均数和方差，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

22．在平面直角坐标系xOy，直线y=x﹣1与y轴交于点A，与双曲线y=交于点B（m，2）． （1）求点B的坐标及k的值；

（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【分析】（1）先B（m，2）代入y=x﹣1求出m的值，然后将B的坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值．

（2）设直线CD的解析式为：y=x﹣1+b，直线AB与x轴交于点E，然后求出点A、C、E的坐标，最后根据△ABC的面积即可求出b的值．

【解答】解：（1）将B（m，2）代入y=x﹣1 ∴2=m﹣1 ∴m=3，

将B（3，2）代入y=， ∴k=6

（2）设直线CD的解析式为：y=x﹣1+b， 直线AB与x轴交于点E， 令x=0和y=0分别代入y=x﹣1， ∴y=﹣1

∴A（0，﹣1），E（1，0） ∴y=0代入y=x﹣1+b， ∴x=1﹣b ∴C（1﹣b，0） 当C在E的左侧时， 此时CE=1﹣（1﹣b）=b ∴S△ABC=b（2+1）=6， ∴b=4

当C在E的右侧时， 此时CE=1﹣b﹣1=﹣b

∴S△ABC=×（﹣b）（2+1）=6， ∴b=﹣4 综上所述，b=±4

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据待定系数法求出B的坐标以及k的值，本题属于中等题型．

23．如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的长．

【考点】LA：菱形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【分析】（1）证明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，证明四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°，得出AB=DE=2，CE=CD+DE=4，在Rt△CEF中，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴▱ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD=BC=2， ∵AB∥CD，AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF=∠ABC=45°， ∴AB=DE=2， ∴CE=CD+DE=4， ∵EF⊥BC，∠ECF=45°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EF=CF=

CE=2

．

【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形判定与性质是解决问题的关键．

24．汽车保有量是指一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车辆．进入21世纪以来，我国汽车保有量逐年增长．如图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图． 2007﹣2015年全国汽车保有量及增速统计图，

根据以上信息，回答下列问题：

（1）2016年汽车保有量净增2200万辆，为历史最高水平，2016年汽车的保有量为 19400 万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为 13 %；

（2）从2008年到2015年， 2010 年全国汽车保有量增速最快；

（3）预估2020年我国汽车保有量将达到 24390 万辆，预估理由是 平均每年增加1438万辆，5年时间将会增加7190万辆 ．

【考点】VD：折线统计图；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．

【分析】（1）根据2016年汽车保有量净增2200万辆，即可得出2016年汽车的保有量，根据2200÷17200，即可得到2016年的增长率；

（2）由图可得，从2008年到2015年，2010年全国汽车保有量增速最快； （3）根据每年的汽车增长量，求得2020年我国汽车保有量即可． 【解答】解：（1）∵2200+17200=19400万辆，2200÷17200≈13%，

∴2016年汽车的保有量为19400万辆，与2015年相比，2016年的增长率约为13%， 故答案为：19400，13%；

（2）由图可得，从2008年到2015年，2010年全国汽车保有量增速最快，为19%； 故答案为：13%；

（3）∵（17200﹣5697）÷8=1438万辆， ∴5年增加：1438×5=7190万辆，

∴2020年我国汽车保有量将达到7190+17200=24390万辆，

故答案为：24390，平均每年增加1438万辆，5年时间将会增加7190万辆．

【点评】本题主要考查了折线统计图以及条形统计图，解题时注意：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．

25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC． （1）求证：∠ECB=∠EBC；

（2）连接BF，CF，若CF=6，sin∠FCB=，求AC的长．

【考点】MC：切线的性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）只要证明EB是⊙O的切线，利用切线长定理可知EC=EB，即可解决问题． （2）连接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH=，推出FH=CF•sin∠FCH==

，设OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2，可得x2=（

）2+（x﹣

，CH=

）2，解得x=5，推出OH=，

再利用三角形中位线定理证明AC=2OH即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵BE⊥OB， ∴BE是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线， ∴EC=EB， ∴∠ECB=∠EBC．

（2）解：连接CF、CO、AC． ∵EB=EC，OC=OB， ∴EO⊥BC，

∴∠CHF=∠CHO=90°，

在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH=， ∴FH=CF•sin∠FCH=设OC=OF=x，

在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2， ∴x2=（∴x=5，

）2+（x﹣

）2， ，CH=

=

，

∴OH=， ∵OH⊥BC， ∴CH=HB，∵OA=OB， ∴AC=2OH=

．

【点评】本题考查切线的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

26．阅读下列材料：

某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．

小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间． 下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的时间x （单位：min） 水箱中水的温度y （单位：℃） m的值为 50 ；

（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y=15x+20 ； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式

；

20 35 50 65 80 40 32 20

m

80 40 20 …

0

1

2

3

4

5

8

10 16 18 20 21 24 32 …

②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：

（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 56

min．

【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）观察表格，可得每分钟上升多少温度，由此即可解决问题． （2）①关系表格，可知函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题． ②关系表格可知，函数反比例函数，利用待定系数法即可解决问题． （3）根据表格，利用描点法画出图象即可解决问题． （4）利用图象寻找规律即可解决．

【解答】解：（1）由题意可知2分钟温度上升30°C，所以m=50， 故答案为50．

（2）①当0≤x≤4时，函数解析式是一次函数，y=15x+20． ②当4＜x≤16时，函数解析式是反比例函数y=故答案为y=15x+20，y=

（3）函数图象如图所示，

．

．

（4）观察图象可知预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源8min． 故答案为8．

【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型．

27．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点． （1）求m的取值范围；

（2）若m取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；

②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，求n的值；

③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a（x﹣h）+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值．

【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程mx﹣（2m+1）x+m﹣5=0有两个不相等的实数根，利用根的判别式△＞0结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；

（2）①取（1）中m的最小整数，将其代入二次函数解析式中即可；

②找出抛物线的对称轴为x=，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程以及一元一次不等式，解之即可得出n的值；

③根据平移的性质可得出a=1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k=﹣h，进而即可得出k的取值范围．

【解答】解：（1）∵二次函数y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点， ∴关于x的方程mx﹣（2m+1）x+m﹣5=0有两个不相等的实数根， ∴

解得：m＞﹣

（2）①∵m＞﹣∴m=1，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

②∵抛物线的对称轴为x=﹣

=，1＞0，

且m≠0，m取其内的最小整数， 且m≠0．

，

2

2

2

2

∴当x≤时，y随x的增大而减小．

又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，

∴，解得：n=﹣2．

③根据平移的性质可知，a=1， ∵当x＜2时，y随x的增大而减小，

∴h≥2．

∵平移后的图象经过原点O， ∴0=（0﹣h）2+k，即k=﹣h2， ∴k≤﹣4．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用根的判别式△＞0以及二次项系数非零求出m的取值范围；（2）①根据m的取值范围找出m的值；②根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；③利用二次函数图象上点的坐标特征找出k=﹣h2．

28．在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．

（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F． ①求证：△BEF是等腰三角形； ②求证：BD=（BC+BF）；

（2）点E在AB边上，连接CE．若BD=（BC+BE），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形． 【分析】（1）①根据∠ABC=90°，∠FDC=90°，以及∠ECB=∠ACE=22.5°，即可得到∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，即可判定△BEF是等腰三角形；

②延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，根据三角形中位线定理可得BD∥CM，BD=CM，再根据∠BFE=∠MCE=∠BEF，可得EM=MC，进而得出BD=EM=（BC+BF）；

（2）与（1）②同理可得BD∥PC，BD=PC，BP=BC；由BD=（BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形；由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得到∠ACE与∠ABC之间的数量关系：∠ACE=∠ABC． 【解答】解：（1）①在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD，AD=CD， ∵∠ABC=90°，

=90°﹣∠DCF，即可得

∴∠ACB=45°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB=∠ACE=22.5°， ∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°， ∴BE=BF，

∴△BEF是等腰三角形；

②如图，延长AB至M，使得BM=AB，连接CM， ∴BD∥CM，BD=CM，

∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°， ∠BFE=∠MCE， ∴BC=BM，

由①得，∠BEF=∠BFE，BE=BF， ∴∠BFE=∠MCE=∠BEF， ∴EM=MC，

∴BD=EM=（BC+BF）；

（2）∠ACE=∠ABC．

求解∠ACE与∠ABC关系的思路：

a，延长AB至P，使得BP=AB，连接CP，与（1）②同理可得BD∥PC，BD=PC，BP=BC； b，由BD=（BC+BE），可证明△PEC和△BEF分别是等腰三角形； c，由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得ACE=∠ABC．

=90°﹣∠DCF，即可证明∠

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．

29．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点． （1）如图1，点A（﹣1，0）．

①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 （3.0） ； ②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为 ﹣2 ； ③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为 y=﹣x+2 ；

（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=

x（x≥0）上，b的取值范围是 ﹣≤b≤1 ；

（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=

x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题． （2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题． （3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=

x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E

上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E′的坐标即可解决问题．

【解答】解：（1）．①如图1中，点A（﹣1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．

②如图2中，由题意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称， ∴a=﹣2．

③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），

∴直线A1D的解析式为y=x﹣1，线段A1D的中垂线的解析式为y=﹣x+2， ∴直线l3的解析式为y=﹣x+2．

故答案分别为（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．

（2）如图4中，

由题意b=MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值， ∵直线OM′的解析式为y=∴∠MM′O=∠M′OD=30°，

∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2， ∴b的最大值为1，

如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣，

x，

综上所述，满足条件的b取值范围为﹣≤b≤1． 故答案为﹣≤b≤1．

（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=

x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E

上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．

连接E1E′交直线y=x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=﹣x﹣t，

由解得，

∴K（，），

∵KE1=KE′， ∴E′（

，

），

|=2，解得t=

﹣4或

+4， +4．

当⊙E′与y轴相切时，|

综上所述，满足条件的t的取值范围为﹣4≤t≤

【点评】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．