第一章 数与式教用

1.1 实 数

命题者说

涉及本节的安徽中考考点有:

( 1 )正负数的意义,无理数、实数的概念;

( 2 )实数的相反数、绝对值、倒数,实数与数轴的关系; ( 3 )科学记数法; ( 4 )实数的大小比较; ( 5 )实数的运算.

本节考点的考查多以选择题、填空题为主,试题难度为易.其中,科学记数法是安徽中考必考内容之一,近几年均考查了用科学记数法表示“大数”,值得重点关注.实数的运算通常结合零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义、二次根式的运算和特殊角的三角函数值进行考查,考题以解答题为主,难度不大.

中考真题再现( 学用见P2 )探究规律

对接中考

命题点1实数的分类( 冷考 ) 1.( 2010·安徽第1题 )在-1,0,1,2这四个数中,既不是正数也不是负数的是( B ) A.-1 B.0 C.1 D.2

命题点2实数的相关概念( 常考 ) 2.( 2018·安徽第1题 )-8的绝对值是( B ) A.-8 B.8 C.±8

D.-

1

218

3.( 2017·安徽第1题 )的相反数是( B ) A.2 1

B.-2 1

C.2 D.-2 4.( 2017·安徽第11题 )27的立方根是 3 .

命题点3实数的大小比较( 常考 ) 5.( 2019·安徽第1题 )在-2,-1,0,1这四个数中,最小的数是( A ) A.-2 B.-1 C.0 D.1

6.( 2015·安徽第1题 )在-4,2,-1,3这四个数中,比-2小的数是( A ) A.-4 B.2 C.-1 D.3

【解析】根据正数大于负数,两个负数绝对值大的反而小,可得-4<-2<-1<2<3,所以在-4,2,-1,3这四个数中比-2小的数为-4.

命题点4科学记数法( 必考 ) 7.( 2019·安徽第4题 )2019年“五一”假日期间,我省银联网络交易总金额接近161亿元.其中161亿用科学记数法表示为( B ) A.1.61×109 B.1.61×1010 C.1.61×1011 D.1.61×1012

【解析】161亿=16100000000=1.61×1010. 8.( 2018·安徽第2题 )2017年我省粮食总产量为695.2亿斤,其中695.2亿用科学记数法表示为( C ) A.6.952×106 B.6.952×108 C.6.952×1010 D.695.2×108

【解析】695.2亿=69520000000=6.952×1010.

命题点5实数的运算( 常考 )

9.( 2013·安徽第15题 )计算:2sin 30°+( -1 )2-|2-√2|. 解:原式=2×+1-2+√2=√2.

1

2

名师考点精讲( 学用见P3~5 )学思结合

考点1实数及其分类( 8年1考 ) 1.实数

有理数和 无理数 统称为实数. 2.无理数

无限 不循环 小数叫做无理数. 3.实数的分类

( 1 )按定义分类

高效突破

正整数

整数{零

有限小数或

有理数负整数

无限循环小数

实数 正分数 分数{

负分数}{

正无理数 无理数{}无限不循环小数

负无理数{( 2 )按正负性分类

正整数 正有理数{

正实数{正分数

正无理数

实数零

负整数 负有理数{

负实数{负分数

负无理数{

【方法指导】 判断无理数的方法与无理数的类型 ( 1 )判断是不是无理数,先计算或者化简再判断.( 2 )常见的几种无理数:①根号型:√2,√8等开方不尽的数;②三角函数型:sin 60°,tan 30°等;③构造型:如1.323223…( 相邻两个3之间依次多一个2 );④与π有关的,如3,π-1等.

考点2实数的有关概念( 8年4考 ) 1.数轴

规定了 原点 、正方向和 单位长度 的直线叫做数轴.

有关数轴的注意事项 ( 1 )数轴是一条可以向两端无限延长的直线;( 2 )数轴的三要素:原点、正方向、单位长度;( 3 )原点的位置、正方向的选择、单位长度的确定都是根据实际需要而确定的;( 4 )实数和数轴上的点是一一对应的. 2.相反数

我们称只有 符号 不同的两个数互为相反数.0的相反数是 0 . 3.绝对值

在数轴上,表示数a的点到原点的 距离 叫做数a的绝对值.一个正数的绝对值是 它本身 ;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是 0 . 4.倒数

如果两个有理数的乘积为 1 ,我们称这两个有理数互为倒数.若a,b互为倒数,则ab= 1 .

典例1 如图为洪涛同学的小测卷,他的得分应是 分.

姓名 洪涛 得分 ? 填空( 每小题25分,共100分 ) π①2的相反数是 -2 ; ②倒数等于它本身的数是 1和-1 ; ③-1的绝对值是 1 ; ④8的立方根是 2 . 【解析】根据相反数的定义、倒数、绝对值的性质及立方根的定义逐一判断即可得.①2的相反数是-2,此题正确;②倒数等于它本身的数是1和-1,此题正确;③-1的绝对值是1,此题正确;④8的立方根是2,此题正确.则洪涛同学的得分是4×25=100. 【答案】 100 提分训练

1.( 2019·合肥瑶海区期中 )√49的相反数是 -7 . 【解析】√49=7,7的相反数是-7. 2.π-√10的绝对值是 √10-π .

【解析】∵π-√10<0,∴π-√10的绝对值是√10-π.

考点3科学记数法( 8年8考 )

一般地,一个绝对值大于10的数都可记成±a×10n的形式,其中1≤a<10,n等于原数的整数位数减1.这种记数方法习惯上把它叫做科学记数法.

有关科学记数法的注意事项 ( 1 )a必须是整数位数只有一位的数;( 2 )小于-10的数的表示,只考虑它的绝对值,再加上“-”,不能把负号放到指数位置成为指数的符号;( 3 )当0<原数<1时,n的绝对值等于原数中左边第一个非零数前面零的个数( 包括小数点前的一个零 );( 4 )有计数单位的科学记数法,先把计数单位转化为数字表示,再用科学记数法表示.常用的计数单位有:1亿=108,1万=104. 典例2 ( 2019·六安霍邱二模 )据合肥晚报消息,合肥地铁6号线一期线路已基本

确定,6号线一期西端起于鸡鸣山路,东端止于东风大道,总投资估算为209.8亿元,其中数据

209.8亿用科学记数法表示为 .

【解析】将209.8亿用科学记数法表示为2.098×1010. 【答案】 2.098×1010 提分训练

3.( 2019·滁州定远一模 )2019年3月5日,李克强在工作报告中指出,去年农村贫困人口减少1386万,1386万用科学记数法表示为 1.386×107 . 【解析】将1386万用科学记数法表示为1.386×107. 4.( 2019·河北 )一次抽奖活动中,特等奖的中奖率为( D ) A.5×10-4 C.2×10-4

1

11

,把用科学记数法表示为5000050000

B.5×10-5

D.2×10-5

【解析】50000=0.00002=2×10-5.

考点4实数的运算( 8年7考 ) 1.实数的运算法则

( 1 )加法:同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加.异号两数相加,绝对值相等时和为 0 ;绝对值不相等时,取 绝对值较大的加数 的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数与0相加仍得这个数.

( 2 )减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

( 3 )乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数与0相乘仍得 0 . ( 4 )除法:两数相除,同号得 正 ,异号得 负 ,并把绝对值相除.0除以一个不为0的数仍得 0 ;0不能作 除数 .

( 5 )乘方:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.

( 6 )运算顺序:先乘方,再乘除,后 加减 ;如果有括号,先进行括号里的运算. 2.运算律

加法交换律: a+b=b+a ;

加法结合律:( a+b )+c=a+( b+c ); 乘法交换律:ab=ba;

乘法结合律: ( ab )c=a( bc ) ; 乘法分配律:a( b+c )=ab+ac. 3.实数的大小比较

( 1 )数轴上 右边 的数总比 左边 的数大. ( 2 )正数 > 0>负数.

( 3 )两个正数比较大小,绝对值大的数较大;两个负数比较大小,绝对值大的反而 小 . 4.作差比较法 a-b>0⇔a>b; a-b<0⇔a典例3 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是 ( )

A.a>b C.a+b>0

B.|a|<|b| D.𝑏<0

𝑎

𝑎

【解析】由图可得-2|b|,a+b<0,𝑏<0,故选项D正确.

【答案】 D

【变式拓展】 ( 2019·南京 )实数a,b,c满足a>b且ac典例4 1-2

计算:(2)

−√8+2cos 60°-( 2020-√2019 )0.

【解析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的

性质分别化简得出答案. 【答案】原式=4-2√2+2×2-1

1

=4-2√2+1-1 =4-2√2. 【方法归纳】 实数的运算步骤 步骤一:将实数的运算中所涉及的每一小项的值计算出来,一般包含零次幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根的运算等,其他运算符号保持不变. 步骤二:按照实数的运算顺序计算,( 1 )先乘方,再乘除,最后加减;( 2 )同级运算,从左到右进行;( 3 )如有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 步骤三:得出最终结果. 提分训练

5.( 2019·合肥包河区期末 )计算:( 1-√2 )0+√-27×√4-( -2 )-2. 【答案】( 1-√2 )0+√-=1-3×2−4 =12.

考点5数的开方( 8年2考 )

( 1 )平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 平方根 ,也叫做二次方根.一个正数a的平方根有两个,它们互为相反数.我们用√𝑎表示a的正的平方根,其中a叫做被开方数.这个根也叫做a的 算术 平方根.规定0的平方根是0,0的算术平方根也是0.负数没有平方根.

( 2 )立方根:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的 立方根 . ( 3 )开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方; 开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方.

典例5 ( 2019·南京 )面积为4的正方形的边长是

52

1

1

3

3

81

81

×√-( 274

-2 )-2

( )

A.4的平方根 B.4的算术平方根

C.4开平方的结果 D.4的立方根

【解析】已知正方形的面积求边长就是求面积的算术平方根.面积为4的正方形的边长为4的算术平方根. 【答案】 B

即时微专题( 学用见P5 )思维拓展

素养提升

科学记数法 在生活中,较大的数或较小的数的读写都不方便,为此在科学技术方面常用科学记数法记数.一般地,一个绝对值大于10的数可记成±a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,n等于原

数的整数位数减1;一个绝对值小于1的数可记成±a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,n等于原数中左边第一个非零数字前面的零的个数( 包括小数点前面的一个零 ).

多年来,安徽中考一直坚持考查用科学记数法记数,而且都是记“大数”,即记大于10的数,其目的就是发展学生的应用意识,引领学生从小就关注社会热点,弘扬社会正能量. 一 将一个“大数字”直接用科学记数法表示 1.( 2019·广东深圳 )预计到2025年,中国5G用户将超过460000000户.将数据460000000用科学记数法表示为( C ) A.4.6×109 B.46×107 C.4.6×108 D.0.46×109

二 将一个以“万”为单位的“大数字”用科学记数法表示 2.( 2019·湖南郴州 )曾说:“中东有石油,中国有稀土.”稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至今我国已探明稀土储量约4400万吨,居世界第一位.用科学记数法表示4400万为( B ) A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109

三 将一个以“亿”为单位的“大数字”用科学记数法表示 3.( 2019·湖北襄阳 )习总指出,善于学习,就是善于进步.“学习强国”平台上线后的某天,全国大约有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为 1.2×108 . 四 将一个“较小的数字”用科学记数法表示 4.( 2019·甘肃天水 )自然界中的数学不胜枚举,如蜜蜂造的蜂房既坚固又省料,其厚度为0.000073米,将0.000073用科学记数法表示为( D ) A.73×10-6 B.0.73×10-4 C.7.3×10-4 D.7.3×10-5 本节课后练( ☞见强化练习册教用P2;学用P2 ) 1.2 整 式

命题者说

涉及本节的安徽中考考点有:

( 1 )列代数式表示实际问题中的数量关系;

( 2 )整数指数幂的运算性质;

( 3 )整式的运算( 化简 )及求代数式的值; ( 4 )用提公因式法和公式法因式分解;

( 5 )在合情推理中用代数式( 或等式 )表示数量关系,并运用整式的运算进行验证. 本节考点的考查多以选择题、填空题为主,试题难度为易.整式的化简求值和在合情推理中用代数式( 或等式 )表示数量关系( 与数和式有关的规律题 ),并运用整式的运算进行验证多以解答题的形式进行考查,但难度不大.

中考真题再现( 学用见P6 )探究规律

对接中考

命题点1幂的运算性质( 常考 ) 1.( 2019·安徽第2题 )计算a3·( -a )的结果( D ) A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a4 2.( 2017·安徽第2题 )计算( -a3 )2的结果是( A ) A.a6 B.-a6 C.-a5 D.a5

命题点2因式分解( 常考 ) 3.( 2018·安徽第5题 )下列分解因式正确的是( C ) A.-x2+4x=-x( x+4 ) B.x2+xy+x=x( x+y )

C.x( x-y )+y( y-x )=( x-y )2 D.x2-4x+4=( x+2 )( x-2 )

【解析】-x2+4x=-x( x-4 ),选项A错误;x2+xy+x=x( x+y+1 ),选项B错

误;x2-4x+4=( x-2 )2,选项D错误;x( x-y )+y( y-x )=x( x-y )-y( x-y )=( x-y )2,选项C正确. 4.( 2017·安徽第12题 )因式分解:a2b-4ab+4b= b( a-2 )2 . 【解析】原式=b( a2-4a+4 )=b( a-2 )2.

命题点3整式的运算( 常考 ) 5.( 2013·安徽第4题 )下列运算正确的是( B ) A.2x+3y=5xy B.5m2·m3=5m5 C.( a-b )2=a2-b2 D.m2·m3=m6 6.( 2012·安徽第15题 )计算:( a+3 )( a-1 )+a( a-2 ). 解:原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.

命题点4求代数式的值( 冷考 ) 7.( 2014·安徽第7题 )已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为( B ) A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30 【解析】∵x2-2x-3=0,∴x2-2x=3,∴2x2-4x=2( x2-2x )=2×3=6.

命题点5用字母表示数( 常考 ) 8.( 2018·安徽第18题 )详见专题一典例1 9.( 2017·安徽第19题 )详见专题九典例4

名师考点精讲( 学用见P6~9 )学思结合

高效突破

考点1列代数式( 8年2考 ) 1.代数式的概念

用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.

代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号,而公式和等式中都含有等号. 2.列代数式

把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做列代数式.列代数式的常见模型有:

( 1 )原量a增加( 减少 )10%为a( 1±10% );比原量a的n倍多( 少 )m为 an±m ; ( 2 )原价a的八折为a·;原价a按成本提高x%后再打七五折为 a( 1+x% )×0.75 ; 10( 3 )x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为 ax+by 元; ( 4 )每天完成的工作量为a,则要完成m的工作量所需的时间为 天.

典例1 ( 2019·合肥庐江一模 )某深度贫困村2018年人均收入只有a万元,自精准

𝑚

𝑎8

扶贫实施以后,人均收入稳步提高.预计以后几年人均收入都将比上一年增长b%,到2020年人均收入达到y万元,实现全面脱贫,那么y用a,b表示正确的是 ( ) A.y=a( 1+b )2 B.y=a( 1+b% )2 C.y=a[1+( b% )2] D.y=a( 1+b2 )

【解析】由2020年人均收入=2018年人均收入×( 1+增长率 )2,即可用含a,b的代数式表示出y的值.依题意得y=a( 1+b% )2. 【答案】 B 提分训练

1.甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%.此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是( B ) A.甲 B.乙 C.丙 D.都一样

【解析】降价后三家超市的售价:甲为( 1-20% )2m=0.m,乙为( 1-40% )m=0.6m,丙为( 1-30% )·( 1-10% )m=0.63m.因为0.6m<0.63m<0.m,所以此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是乙.

考点2代数式求值( 8年1考 )

用数值代替代数式里的 字母 ,按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.

列代数式求值的注意事项:( 1 )代入求值时,一般要先化简,再代入计算,这样能减少运算量;( 2 )代数式中的字母取值一定要使原代数式有意义. 典例2 ( 2019·江苏泰州 )若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b的值为 ( )

A.-1 B.1 C.2 D.3

【解析】将代数式4a2-6ab+3b变形后,整体代入可得结

论.4a2-6ab+3b=2a( 2a-3b )+3b=-2a+3b=-( 2a-3b )=1. 【答案】 B

【方法指导】 整体代入思想,即先通过已知定值关系式与所求代数式的对比,找出两个式子间共同的部分,作为切入点,然后将已知定值关系式整体代入计算求值即可.( 提示:有的定值关系式需通过已知等式进行转化 )

考点3数式规律探究( 8年6考 )

规律探究题是安徽中考必考题型,近10年的试卷中,除2015年在填空题中考查、2010年在选择题中考查外,其余均在解答题中考查.此类题型主要考查学生通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程,来总结出一般性结论的能力.解决这类问题的一般思路是通过所给出的式子、图形进行观察、分析、比较,从而发现其中的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以应用.

典例3 ( 2019·合肥蜀山区三模 )观察以下等式:

1

1

第1个等式:(1-2)÷6=3; 第2个等式:(1-3)÷12=2; 第3个等式:(1-4)÷20=3; 第4个等式:(1-)÷=;

5304第5个等式:(1-6)÷42=5;

…

按照以上规律,解决下列问题.

( 1 )写出第7个等式: ;

( 2 )写出你猜想的第n个等式( n为正整数 ),并证明.

1

25

7

1

16

6

1

9

5

1

4

【解析】( 1 )由已知等式即可求解;( 2 )根据已知等式得出第n个等式为(1-𝑛+1)÷

𝑛2

( 𝑛+1 )( 𝑛+2 )

1

=

𝑛+2

,再利用分式的运算法则证明即可. 𝑛

1

49

9

【答案】( 1 )(1-8)÷72=7. ( 2 )第n个等式为(1-证明:∵左边=𝑛+1·

𝑛

1𝑛2

÷)𝑛+1( 𝑛+1 )( 𝑛+2 )

=

𝑛+2

, 𝑛

( 𝑛+1 )( 𝑛+2 )

𝑛2=

𝑛+2

=右边, 𝑛

∴等式成立.

提分训练 2.观察下列等式:

第1个等式:a1=1×4=3×(1-4); 第2个等式:a2=4×7=3×(4-7); 第3个等式:a3=7×10=3×(7-10); 第4个等式:a4=10×13=3×(10-13); …

请解答下列问题:

( 1 )按以上规律列出第5个等式:a5=

1

13×16

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

11

= ×(-1

1

311

) 1316

;

第n( n为正整数 )个等式:an= ( 3𝑛-2 )( 3𝑛+1 ) = 3×( 2 )求a1+a2+a3+a4+…+a2019的值.

【答案】( 2 )a1+a2+a3+a4+…+a2019 =

1111+++…+ 1×44×77×10( 3×2019-2 )×( 3×2019+1 )1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

11

−3𝑛-23𝑛+1

.

=3×(1-4)+3×(4-7)+3×(7-10)+…+3×(6055-6058) =3×1-4+4−7+7−10+…+6055−6058 =×(1-11

3

1) 6058

1

1

1

1

1

1

1

1

=3×6058 =6058.

考点4整数指数幂的意义和基本性质( 8年6考 )

2019

6057

1.整数指数幂的运算性质 当m,n都是正整数时,①am·an= am+n ;②am÷an= am-n ( a≠0 );③( am )n= amn ;④( ab )= ab n

nn

𝑎𝑛𝑎𝑛

;⑤()= 𝑛 𝑏𝑏

( b≠0 ).

2.零指数幂与负整数指数幂

( 1 )a0= 1 ( a≠0 ); ( 2 )a-p= 𝑎𝑝 ( a≠0,p是正整数 ).

典例4 下列运算结果是a5的是

1

( )

A.a10÷a2 B.( a2 )3 C.( -a )5 D.a3·a2 【解析】a10÷a2=a8,A选项错误;( a2 )3=a6,B选项错误;( -a )5=-a5,C选项错误;a3·a2=a5,D选项正确. 【答案】 D 提分训练

3.下列运算:①a2·a3=a6;②( a3 )2=a6;③a5÷a5=a;④( ab )3=a3b3.其中结果正确的个数为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】a2·a3=a5,①错误;( a3 )2=a6,②正确;a5÷a5=1,③错误;( ab )3=a3b3,④正确.结果正确的有2个.

考点5整式( 8年3考 ) 1.整式的概念

单项式 与 多项式 统称为整式. 2.同类项

( 1 )同类项:多项式中,所含 字母 相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项. ( 2 )合并同类项:把多项式中的 同类项 合并成一项,叫做合并同类项.

合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的 指数 不变. 3.整式的加减

一般地,几个整式相加减,如果有括号,就先去括号,然后再合并同类项. 4.整式的乘法

( 1 )单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

( 2 )单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的 每一项 分别相乘,再把所得的积 相加 .

( 3 )多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积 相加 . 5.整式的除法

( 1 )单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

( 2 )多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加 .

6.乘法公式

( 1 )完全平方公式:( a±b )2= a2±2ab+b2 .

( 2 )平方差公式:( a+b )( a-b )= a2-b2 .

典例5 有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘

米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:

小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=( a+b )2, 对于方案一,小明是这样验证的:

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=( a+b )2.

请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.

【解析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程,即可求解. 【答案】 由题意可得,

方案二:a2+ab+( a+b )b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=( a+b )2, 方案三:a2+

[𝑎+( 𝑎+𝑏 )]𝑏[𝑎+( 𝑎+𝑏 )]𝑏11

+=a2+ab+b2+ab+b2=a2+2ab+b2=( 2222

a+b )2.

提分训练

4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“奇巧数”,如

12=42-22,20=62-42,28=82-62,……因此12,20,28这三个数都是“奇巧数”. ( 1 )52,72都是“奇巧数”吗?为什么?

( 2 )设两个连续偶数为2n,2n+2( 其中n为正整数 ),由这两个连续偶数构造的“奇巧数”是8的倍数吗?为什么?

( 3 )研究发现:任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数,请给出验证. 【答案】 ( 1 )∵52=142-122,68=182-162,76=202-182, ∴52是“奇巧数”,72不是“奇巧数”.

( 2 )∵( 2n+2 )2-( 2n )2=( 2n+2+2n )( 2n+2-2n )=4( 2n+1 ), ∴这两个连续偶数构造的“奇巧数”不是8的倍数.

( 3 )∵[( 2n+2 )2-( 2n )2]-[( 2n+4 )2-( 2n+2 )2]

=( 2n+2+2n )( 2n+2-2n )-( 2n+4+2n+2 )( 2n+4-2n-2 ) =4( 2n+1 )-4( 2n+3 ) =8n+4-8n-12 =-8,

∴任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数.

考点6因式分解( 8年6考 ) 1.因式分解

把一个多项式化为几个整式的 积 的形式,叫做把这个多项式因式分解. 2.因式分解的方法

( 1 )提公因式法:把 公因式 提到括号外面,这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积 m( a+b+c ) ,这种因式分解的方法叫做提公因式法.

( 2 )公式法:利用公式( 完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫做公式法.

( 1 )因式分解时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,先提公因式,然后再考虑是否能用公式法分解;( 2 )因式分解一定要分解到不能再分解为止.( 3 )检查分解因式是否彻底.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”. 典例6 下列因式分解正确的是

( )

A.x3-x2+x=x(𝑥-)

42

B.x4-2x2+1=( x2-1 )2

C.xy2-3x2y+xy=xy( y-3x ) D.( x-3 )( x+4 )=x2+x-12

1

【解析】x3-x2+x=x

4

12(𝑥-2),A

1

12

选项正确;x4-2x2+1=( x2-1 )2=( x+1 )2( x-1 )2,B选项错

误;xy2-3x2y+xy=xy( y-3x+1 ),C选项错误;( x-3 )( x+4 )=x2+x-12,不是因式分解,是整式的乘法,D选项错误. 【答案】 A 提分训练

5.下列因式分解正确的是( B ) A.ab+ac+d=a( b+c )+d B.x2-3x+2=( x-1 )( x-2 ) C.( m+n )2-1=m2+2mn+n2-1 D.4x2-1=( 4x+1 )( 4x-1 )

【解析】ab+ac+d=a( b+c )+d不是因式分解,A选项错误;x2-3x+2=( x-1 )( x-2 )成立,B选项正确;( m+n )2-1=m2+2mn+n2-1不是因式分解,是整式乘法运算,C选项错误;4x2-1=( 2x+1 )·( 2x-1 ),D选项错误.

即时微专题( 学用见P9 )思维拓展

素养提升

发展运算能力 运算能力是重要的数学素养,对于发展学生的运算能力,安徽中考一直非常关注,单独考查时有难有易,更多的是结合其他内容考查.而在中学阶段,运算能力主要体现在代数式的运算上,这里说的代数式运算不仅有代数式的加、减、乘、除、乘方、开方,还包括代数式的恒等变形,对于考查实数运算和较为容易的代数式运算的试题这里不做分析,以下只研究考查运算能力时难度较大的试题.

一 结合等式、不等式,发展运算能力 1.( 原创 )已知x为实数. ( 1 )求证:x2+1≥2x;

( 2 )当x≠0时,求代数式x2+𝑥2的最小值; ( 3 )求代数式𝑥2+1的取值范围.

解:( 1 )当x为实数,且x≠0时,( x-1 )2≥0,

𝑥

1

∴x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x.

( 2 )当x为实数,且x≠0时,

1211

∵(𝑥-𝑥)≥0,即x2+𝑥2≥2x·, 𝑥

∴x2+𝑥2≥2,即代数式x2+𝑥2的最小值为2.

( 3 )∵x为实数,且x≠0,∴x2+2x+1≥0,即x2+1≥-2x.

1

𝑥

𝑥

1

11

∵2( x2+1 )>0,∴将x2+1≥-2x两边同除以2( x2+1 ),得2≥-𝑥2+1,即𝑥2+1≥-2.

同理x2+1≥2x,两边同除以2( x2+1 ),得𝑥2+1≤2, 𝑥

1

∴-2≤𝑥2+1≤2.

命题意图▶本题表面上涉及等式和不等式知识,其本质是考查整式的运算能力,对考生的运算能力这个数学素养要求较高. 二 结合图形,发展运算能力 2.( 原创 )我国古代数学家刘徽将勾股形( 古人称直角三角形为勾股形 )分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.如图,在△ABC中,∠C=90°,四边形CDEF为正方形,△ADE≌△AGE,△BGE≌△BFE. 设BC=a,AC=b,AB=c. ( 1 )求正方形CDEF的边长;

( 2 )利用该图形,证明勾股定理成立.

1𝑥1

解:( 1 )设正方形CDEF的边长为x. ∵△ADE≌△AGE,△BGE≌△BFE, ∴BG=BF=a-x,AG=AD=b-x,

∴a-x+b-x=c,解得x=

𝑎+𝑏-𝑐

, 2

𝑎+𝑏-𝑐

. 2

即正方形CDEF的边长为

( 2 )∵S△ABC=2S△ADE+2S△BGE+S正方形CDEF,

∴2×2·

1𝑎+𝑏-𝑐𝑎+𝑏-𝑐1𝑎+𝑏-𝑐𝑎+𝑏-𝑐𝑎+𝑏-𝑐2

-+2×··-+(𝑏)(𝑎)()222222

=2ab,即

1

𝑎+𝑏-𝑐𝑏+𝑐-𝑎𝑎+𝑐-𝑏

·+222

𝑎+𝑏-𝑐2

+()2

=ab,

=2ab,即( a+b )2-c2=2ab,

1

1

2

即

𝑎+𝑏-𝑐𝑎+𝑏+𝑐

·22

∴a2+b2=c2.

命题意图▶证明勾股定理的方法有很多,其中大多是利用图形面积去完成的,在计算图形的面积的过程中蕴含着较为复杂的代数式运算,找到其中的运算方法并能正确运算则需要较强的运算能力. 三 结合函数,发展运算能力

3.( 原创 )已知二次函数y=ax2-2x+c的图象与y轴的交点为A( 0,3 ). ( 1 )当a为何值时,该二次函数的图象与x轴一定有两个交点?

( 2 )设a=-1,矩形PQMN的顶点P,Q在x轴上,另两个顶点M,N在二次函数y=ax2-2x+c的图象上( 如图 ).当点P在什么位置时,矩形PQMN的周长最大?求这个最大值及点P的坐标.

解:( 1 )∵二次函数y=ax2-2x+c的图象与y轴的交点为A( 0,3 ),∴c=3,即y=ax2-2x+3. ∵该二次函数的图象与x轴一定有两个交点,

∴Δ=( -2 )2-4×3a>0,解得a<3,

∴当a<3时,该二次函数的图象与x轴一定有两个交点.

( 2 )易得二次函数y=ax2-2x+c为y=-x2-2x+3,其图象的对称轴为直线x=-1. 设点P( x,0 ),则N( x,-x2-2x+3 ), ∵点P,Q关于直线x=-1对称,

∴Q( -x-2,0 ),∴M( -x-2,-x2-2x+3 ),

矩形PQMN的周长为l=2( -x-2-x-x2-2x+3 )=-2x2-8x+2=-2( x+2 )2+10, ∴当点P的坐标为( -2,0 )时,矩形PQMN的周长最大,最大值为10. 本节课后练( ☞见强化练习册教用P4;学用P4 )

1

1

1.3 分 式

命题者说

涉及本节的安徽中考考点有: ( 1 )分式和最简分式的概念; ( 2 )分式的基本性质;

( 3 )分式的加、减、乘、除运算;

( 4 )分式的化简求值.

本节考点的考查多以选择题和填空题为主,试题难度为中等.分式的化简及分式的化简求值通常会与因式分解、方程、不等式、二次根式和合情推理等知识结合考查,试题以解答题为主,难度不大,但为了求值更简便,一般要先进行分式的化简.

中考真题再现( 学用见P10 )探究规律 对接中考

命题点1分式化简求值( 冷考 ) 1.( 2012·安徽第6题 )化简𝑥2𝑥-1+𝑥

1-𝑥

的结果是( D )

A.x+1

B.x-1 C.-x

D.x

【解析】原式=

𝑥2-𝑥𝑥-1

=

𝑥( 𝑥-1 )

𝑥-1

=x. 2.( 2015·安徽第15题 )先化简,再求值:𝑎21𝑎-1+1

1-𝑎

·,其中a=-1

𝑎

2.

解:原式=(𝑎2

11

𝑎2-11

𝑎-1-𝑎-1)·𝑎=

𝑎-1·𝑎

=

( 𝑎+1 )( 𝑎-1 )1

𝑎-1

·𝑎

=

𝑎+1

𝑎

. 1

当

a=-1

-+12时,原式=2-1=-1.

2

命题点2分式的规律探究问题( 热点 ) 3.( 2019·安徽第18题 )观察以下等式: 第1个等式:2

1

1

1=1+1, 第2个等式:2=1+13

2

6

, 第3个等式:2

1

1

5=3+15, 第4个等式:2=1+17

4

28, 第5个等式:2

=119

5+

45

, …

按照以上规律,解决下列问题:

( 1 )写出第6个等式: 2

1

1

11=6+66 ;

( 2 )写出你猜想的第n个等式: 2

1

1

2𝑛-1=𝑛+( 2𝑛-1 )𝑛 ( 用含n的等式表示 ),并证明.

( 2 )证明:右边=𝑛+( 2𝑛-1 )𝑛=( 2𝑛-1 )𝑛+( 2𝑛-1 )𝑛=( 2𝑛-1 )𝑛=2𝑛-1=左边, 所以猜想的等式正确.

112𝑛-112𝑛2

名师考点精讲( 学用见P10~11 )学思结合

考点1分式的概念

高效突破

一般地,如果a,b表示两个整式,并且b中含有 字母 ,那么式子叫做分式.

典例1 若分式

𝑥2-9

的值为𝑥-3

𝑎𝑏

0,则x的值为 .

x=±3.因为x-3≠0,所以x=-3.

【解析】由题意知【答案】 -3

𝑥2-9

=0,化简得x2-9=0,即x2=9,解得𝑥-3

考点2分式的基本性质及约分、通分 1.分式的基本性质

分式的分子与分母同乘( 或除以 )一个不等于0的整式,分式的值 不变 .用式子表示:𝐵=𝐵×𝑀(𝐵=𝐵÷𝑀)( M≠0 ).

2.约分

把一个分式的分子和分母的 公因式 约去叫做分式的约分. 3.通分

化异分母分式为 同分母分式 的过程叫做分式的通分.

( 1 )约分和通分的理论依据就是分式的基本性质;( 2 )约分和通分前往往要把分式的分子与分母因式分解. 典例2 下列分式约分正确的是

𝐴

𝐴×𝑀𝐴

𝐴÷𝑀

( )

A.C.

2𝑥+𝑦

=2 𝑥+𝑦

B.

𝑥2+𝑦2

=x+y 𝑥+𝑦-𝑥+𝑦

=-1 𝑥-𝑦

𝑥2+𝑦2

选项错误;𝑥+𝑦是最简分式,不能约分,B

𝑥+𝑚𝑥+𝑛

=

𝑚𝑛

D.

2𝑥+𝑦

【解析】是最简分式,不能约分,A𝑥+𝑦

-𝑥+𝑦

选项错误;𝑥+𝑛是

𝑥+𝑚

最简分式,不能约分,C选项错误;𝑥-𝑦=-1,D选项正确. 【答案】 D 提分训练

1.下列各选项中,所求的最简公分母错误的是( C ) A.3𝑥与6𝑥的最简公分母是6x B.

13𝑎2𝑏311

1

与

1

3𝑎2𝑏3𝑐

的最简公分母是3a2b3c

C.𝑎( 𝑥-𝑦 )与𝑏( 𝑦-𝑥 )的最简公分母是ab( x-y )·( y-x ) D.𝑚+𝑛与𝑚-𝑛的最简公分母是m2-n2

【解析】3𝑥与6𝑥的最简公分母是6x,A选项正确;正确;

11

与的最简公分母是𝑎( 𝑥-𝑦 )𝑏( 𝑦-𝑥 )

1

1

13𝑎2𝑏31

1

1

与

1

3𝑎2𝑏3𝑐

的最简公分母是3a2b3c,B选项

11

与的最𝑚+𝑛𝑚-𝑛

ab( x-y )或ab( y-x ),C选项错误;

简公分母是m2-n2,D选项正确.

考点3分式的运算( 8年4考 )

1.分式的加减法则

同分母分式相加减,分母不变,分子 相加减 ;异分母分式相加减,先 通分 ,变为同分母的分式,再加减. 2.乘法法则

两个分式相乘,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母. 3.除法法则

两个分式相除,将除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 4.分式的乘方法则

分式乘方就是把分子、分母分别乘方,用式子表示为()= 𝑛 .

𝑏𝑏

通常将分式的除法转化为乘法进行运算. 典例3 ( 2019·山东东营 )化简求值:

𝑎𝑏2−2𝑎-𝑏𝑎-𝑎𝑏

𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2

÷,当a=-1时,请你选择

𝑎

𝑎𝑛

𝑎𝑛

一个适当的数作为b的值,代入求值.

【解析】先化简分式,然后将a,b的值代入计算即可. 【答案】原式==

𝑎2-𝑏2𝑎

·

𝑎( 𝑎-𝑏 )( 𝑎+𝑏 )2( 𝑎-𝑏 )( 𝑎+𝑏 )𝑎

·

𝑎( 𝑎-𝑏 )( 𝑎+𝑏 )21

=𝑎+𝑏,

当a=-1时,取b=2,原式=-1+2=1.( 本题答案不唯一,合理即可 )

【易错警示】 分式化简求值的2个易错点 ( 1 )符号错误:分数线有括号作用,若分数线前为“一”,同分母分式运算时要变号;( 2 )代值易错:代值计算时,要使原分式的分母不为0,若含有除法运算,还要使除式不为0. 1

提分训练

2.( 2019·辽宁本溪 )先化简,再求值

𝑎2-412【答案】(2-)÷2

𝑎-4𝑎+42-𝑎𝑎-2𝑎

𝑎2-41

−2𝑎-4𝑎+42-𝑎

÷2

2

,其中𝑎-2𝑎

a满足a2+3a-2=0.

=[

( 𝑎+2 )( 𝑎-2 )

( 𝑎-2 )2𝑎+2

1

+

1𝑎( 𝑎-2 )

· ]𝑎-22

=(+)·

𝑎-2𝑎-2=𝑎-2·=

𝑎+3𝑎( 𝑎-2 )

2𝑎2+3𝑎

, 2𝑎( 𝑎-2 )

2

∵a2+3a-2=0,∴a2+3a=2,∴原式=2=1.

2𝑥2-1-2𝑥<4,

3.( 2019·贵州安顺 )先化简(1+𝑥-3)÷𝑥2-6𝑥+9,再从不等式组{的整数解中选

3𝑥<2𝑥+4

2

一个合适的x的值代入求值.

𝑥-3+2( 𝑥-3 )2

【答案】原式=𝑥-3×( 𝑥+1 )( 𝑥-1 )

=𝑥+1,

𝑥-3

-2𝑥<4,

解不等式组{得-23𝑥<2𝑥+4,

∴其整数解为-1,0,1,2,3.

∵要使原分式有意义,∴x可取0,2.

∴当x=0时,原式=-3.( 或当x=2时,原式=-3 )

本节课后练( ☞见强化练习册教用P6;学用P6 )

1

1.4 二次根式

命题者说

涉及本节的安徽中考考点有:

( 1 )平方根、算术平方根、立方根的概念; ( 2 )二次根式的概念及性质; ( 3 )二次根式的估值; ( 4 )二次根式的运算.

本节考点的考查多以选择题、填空题为主,试题难度一般不大.二次根式很多时候都会与实数的运算、勾股定理相结合考查,在选择题、填空题和解答题中都可能出现.

中考真题再现( 学用见P12 )探究规律

命题点1无理数的估值( 常考 )

对接中考

1.( 2015·安徽第5题 )与1+√5最接近的整数( B ) A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】由√4<√5<√9可得3<1+√5<4,∵√5更接近2,所以1+√5更接近整数3. 2.( 2014·安徽第6题 )设n为正整数,且n<√65命题点2二次根式有意义的条件( 冷考 )

3.( 2013·安徽第11题 )若√1-3𝑥在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≤3 . 【解析】根据被开方数的非负性可得1-3x≥0,解得x≤3.

命题点3二次根式的计算( 冷考 )

4.( 2019·安徽第11题 )计算√18÷√2的结果是 3 . 【解析】√18÷√2=√9=3. 5.( 2018·安徽第15题 )计算:50-( -2 )+√8×√2. 解:50-( -2 )+√8×√2=1+2+4=7.

1

1

名师考点精讲( 学用见P12~13 )学思结合

高效突破

考点1二次根式的概念及性质( 8年1考 ) 1.二次根式的概念

形如√𝑎( a≥0 )的式子叫做二次根式.

最简二次根式应满足的条件:( 1 )被开方的因数是 整数 ,因式是 整式 ;( 2 )被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式. 2.二次根式的性质

( 1 )( √𝑎 )2= a ( a≥0 ); ( 2 )√𝑎2= |a| ;

( 3 )√𝑎𝑏= √𝑎·√𝑏 ( a≥0,b≥0 );

( 4 )√= ( a≥0,b>0 ).

二次根式√𝑎具有双重非负性,即a≥0,√𝑎≥0. 典例1 在下列二次根式中,x的取值范围是x>3的是

𝑎𝑏√𝑎√𝑏( )

A.√3-𝑥 B.√𝑥+3 C.√𝑥-3 D.√𝑥-3 1

1

【解析】∵√3-𝑥是二次根式,∴3-x≥0,∴x≤3,A选项错误;∵√𝑥+3是二次根式,∴x+3≥0,∴x≥-3,B选项错误;∵√𝑥-3是二次根式,∴x-3≥0,∴x≥3,C选项错误;∵√𝑥-3是二次根式,∴1

≥0,且𝑥-3

x-3≠0,∴x>3,D选项正确.

【答案】 D 提分训练

1.无论x取任何实数,代数式√𝑥2+6𝑥+𝑚都有意义,则m的取值范围为 m≥9 .

【解析】由题意得x2+6x+m≥0,即( x+3 )2+m-9≥0,∵( x+3 )2≥0,∴m-9≥0,即m≥9.

考点2二次根式的运算( 8年2考 ) 1.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后,如果 被开方数 相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

2.二次根式相加减

先把各个二次根式化成 最简二次根式 ,再把同类二次根式合并.

( 1 )只有同类二次根式才能相加减;( 2 )合并同类二次根式与合并同类项类似. 3.二次根式的乘除

√𝑎×√𝑏=√𝑎𝑏( a≥0,b≥0 ),

𝑎√𝑎= √𝑏 √𝑏( a≥0,b>0 ).

典例2 下列计算正确的是

( )

A.3√10-2√5=√5 B.√11×(√7÷√11)=√11 C.( √75−√15 )÷√3=2√5 D.3√18-3√9=√2 1

8

7

11

1

【解析】3√10与-2√5不是同类二次根式,不能合并,A选项错误;√√

711

×√×11117

7111

×(√÷√)11711

=

=√

711

××111171

8

=√11,B选项正确;( √75−√15 )÷√3=√25−

√5=5-√5,C选项错误;3√18-3√9=√2-2√2=-√2,D选项错误. 【答案】 B 提分训练

2.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如一步化简:5√3522√,,这样的式子,其实我们还可以将其进3√3+1√32√3+1=

5×√3√3×√3=

5√32

;√33

=√

2×3

3×3

=

√63

;=

2×( √3-1 )( √3+1 )( √3-1 )=

2×( √3-1 )( √3 )2-12=√3-1. =

( √3 )2-12√3+1以上这种化简的步骤叫做分母有理化.( √3+1 )( √3-1 )√3+122还可以用以下方法化简:√3+1√3+1=

3-1√3+1=

=√3-1.

2; √5+√3( 1 )请用不同的方法化简( 2 )化简:1111+++…+. √3+1√5+√3√2𝑛+1+√2𝑛-1√7+√52√5+√3【答案】 ( 1 )方法一:

=

2( √5-√3 )( √5+√3 )( √5-√3 )=√5−√3.

方法二:2√5+√3=

1

5-3√5+√3=

( √5-√3 )( √5+√3 )√5+√3=√5−√3.

( 2 )原式=2×[( √3-1 )+( √5−√3 )+( √7−√5 )+…+( √2𝑛+1−√2𝑛-1] =

√2𝑛+1-1

2

.

考点3二次根式的估值( 8年3考 ) 1.确定在哪两个相邻的整数之间

( 1 )先对根式平方,如( √7 )2=7;

( 2 )找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4和9; ( 3 )对以上两个整数开方,如√4=2,√9=3;

( 4 )确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间,如2<√7<3. 2.确定离哪个整数较近

( 1 )先确定这个根式在哪两个整数之间,如2<√7<3; ( 2 )求这两个整数的平均数,如

2+3

=2.5; 2

( 3 )用平方法比较根式和平均数的大小:若根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近,否则离较小的整数近.如2.52=6.25<7,则√7离3较近.

另外,熟记常见二次根式的值也能快速解题,如√2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236等.

典例3 ( 2019·重庆 )估计( 2√3+6√2 )×√的值应在

1

3

( )

A.4和5之间 C.6和7之间 B.5和6之间 D.7和8之间

1

2

2

【解析】( 2√3+6√2 )×√3=2+6√3=2+√36×3=2+√24,∵4<√24<5,∴6<2+√24<7. 【答案】 C 提分训练

3.( 2019·南京 )下列整数中,与10-√13最接近的是( C ) A.4 B.5 C.6 D.7

【解析】∵9<13<16,∴3<√13<4,∴与√13最接近的整数是4,∴与10-√13最接近的整数是6. 4.小明学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法后,进行练习:首先画数轴,原点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB=3( 如图 ).以点O为圆心、OB长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,则点P所表示的数介于( C )

A.1和2之间 C.3和4之间

B.2和3之间 D.4和5之间

【解析】由勾股定理得OB=√22+32=√13,∵9<13<16,∴3<√13<4,∴点P所表示的数介于3和4之间.

本节课后练( ☞见强化练习册教用P9;学用P8 ) 单元综合检测一 数与式( ☞见活页卷1-1 )